Giải SGK Toán 7 Bài 3 (Cánh diều): Phép cộng, phép trừ đa thức một biến
A. Câu hỏi
Giải Toán 7 trang 54 Tập 2
Câu hỏi khởi động trang 54 Toán 7 Tập 2:
Phép cộng, phép trừ hai đa thức một biến được thực hiện như thế nào?
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Để cộng hoặc trừ hai đa thức một biến ta làm một trong hai cách sau:
- Cách 1. Cộng (hoặc trừ) đa thức theo cột dọc:
+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
+ Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột;
+ Cộng (hoặc trừ) hai đơn thức trong từng cột, ta có tổng cần tìm.
- Cách 2. Cộng (hoặc trừ) đa thức theo hàng ngang:
+ Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
+ Viết tổng (hoặc hiệu) hai đa thức theo hàng ngang;
+ Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau;
+ Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng (hoặc hiệu) cần tìm.
Hoạt động 1 trang 54 Toán 7 Tập 2:
a) Thực hiện phép cộng trong mỗi trường hợp sau: 5x2 + 7x2; axk + bxk (k ∈ ℕ*).
b) Nêu quy tắc cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến.
Lời giải:
a) Ta có:
5x2 + 7x2 = (5 + 7)x2 = 12x2;
axk + bxk = (a + b)xk (k ∈ ℕ*).
b) Quy tắc cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến: Để cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta cộng phần hệ số của hai đơn thức với nhau và giữ nguyên phần biến.
Hoạt động 2 trang 54 Toán 7 Tập 2:
Cho hai đa thức: P(x) = 5x2 + 4 + 2x và Q(x) = 8x + x2 + 1.
a) Sắp xếp các đa thức P(x), Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.
c) Dựa vào kết quả cộng hai đơn thức theo từng cột, xác định đa thức R(x).
Lời giải:
a) Sắp xếp đa thức theo số mũ giảm dần của biến:
P(x) = 5x2 + 4 + 2x = 5x2 + 2x + 4.
Q(x) = 8x + x2 + 1 = x2 + 8x + 1.
b) Ta có bảng sau:
Đa thức |
Đơn thức có số mũ 2 của biến (Đơn thức chứa x2) |
Đơn thức có số mũ 1 của biến (Đơn thức chứa x) |
Số hạng tự do (Đơn thức không chứa x) |
P(x) |
5x2 |
2x |
4 |
Q(x) |
x2 |
8x |
1 |
R(x) |
6x2 |
10x |
5 |
c) Dựa vào kết quả ở bảng ta có đa thức R(x) = 6x2 + 10x + 5.
Giải Toán 7 trang 55 Tập 2
Lời giải:
Bạn Dũng thực hiện cộng hai đa thức theo cột dọc chưa đúng vì các đơn thức 3x và 6 không có cùng số mũ của biến nên chúng không được viết ở cùng cột, tương tự như vậy với các đơn thức ‒1 và 2x cũng không được viết cùng cột.
Cách viết đúng là:
Giải Toán 7 trang 56 Tập 2
Hoạt động 3 trang 56 Toán 7 Tập 2:
Cho hai đa thức: P(x) = -2x2 + 1 + 3x và Q(x) = -5x + 3x2 + 4.
a) Sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.
b) Viết tổng P(x) + Q(x) theo hàng ngang.
c) Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau.
d) Tính tổng P(x) + Q(x) bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.
Lời giải:
a) Sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo số mũ giảm dần của biến:
P(x) = -2x2 + 1 + 3x = -2x2 + 3x + 1.
Q(x) = -5x + 3x2 + 4 = 3x2 + (-5x) + 4 = 3x2 - 5x + 4.
b) Viết tổng P(x) + Q(x) theo hàng ngang ta có:
P(x) + Q(x)
= (-2x2 + 3x + 1) + (3x2 - 5x + 4)
= -2x2 + 3x + 1 + 3x2 - 5x + 4.
c) Ta có: P(x) + Q(x)
= -2x2 + 3x + 1 + 3x2 - 5x + 4.
= (-2x2 + 3x2) + (3x - 5x) + (1 + 4).
d) Ta có: P(x) + Q(x)
= (-2x2 + 3x2) + (3x - 5x) + (1 + 4)
= x2 - 2x + 5.
Vậy P(x) + Q(x) = x2 - 2x + 5.
Luyện tập 2 trang 56 Toán 7 Tập 2: Tính tổng của hai đa thức sau bằng hai cách:
Lời giải:
Ta sắp xếp đa thức Q(x) theo số mũ giảm dần như sau:
Q(x) = -8x3 + 4x2 + 6 + 3x
Q(x) = -8x3 + 4x2 + 3x + 6.
Cách 1. Tính tổng theo cột dọc:
Vậy
Cách 2. Tính tổng theo hàng ngang:
P(x) + Q(x)
Vậy
Giải Toán 7 trang 57 Tập 2
Hoạt động 4 trang 57 Toán 7 Tập 2:
a) Thực hiện phép trừ trong mỗi trường hợp sau: 2x2 - 6x2; axk - bxk (k ∈ ℕ*).
b) Nêu quy tắc trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến.
Lời giải:
a) Ta có:
2x2 - 6x2 = (2 - 6)x2 = -4x2.
axk - bxk = (a - b)xk (k ∈ ℕ*).
b) Quy tắc trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến: Để trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến, ta trừ phần hệ số của hai đơn thức với nhau và giữ nguyên phần biến.
Hoạt động 5 trang 57 Toán 7 Tập 2:
Cho hai đa thức: P(x) = 4x2 + 1 + 3x và Q(x) = 5x + 2x2 + 3.
a) Sắp xếp các đa thức P(x), Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.
c) Dựa vào kết quả trừ hai đơn thức theo từng cột, xác định đa thức S(x).
Lời giải:
a) Sắp xếp các đa thức P(x), Q(x) theo số mũ giảm dần của biến:
P(x) = 4x2 + 1 + 3x = 4x2 + 3x + 1.
Q(x) = 5x + 2x2 + 3 = 2x2 + 5x + 3.
b) Ta có bảng sau:
Đa thức |
Đơn thức có số mũ 2 của biến (Đơn thức chứa x2) |
Đơn thức có số mũ 1 của biến (Đơn thức chứa x) |
Số hạng tự do (Đơn thức không chứa x) |
P(x) |
4x2 |
3x |
1 |
Q(x) |
2x2 |
5x |
3 |
S(x) |
2x2 |
-2x |
-2 |
c) Dựa vào kết quả ở bảng ta có đa thức S(x) = 2x2 - 2x - 2.
Giải Toán 7 trang 58 Tập 2
Luyện tập 3 trang 58 Toán 7 Tập 2:
Lời giải:
Sắp xếp đa thức Q(x) theo số mũ giảm dần của biến x như sau:
Ta có:
Vậy P(x) - Q(x) = 6x4 - 3x2 - 8x - 1.
Hoạt động 6 trang 58 Toán 7 Tập 2:
Cho hai đa thức: P(x) = -3x2 + 2 + 7x và Q(x) = -4x + 5x2 + 1.
a) Sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.
b) Viết hiệu P(x) - Q(x) theo hàng ngang, trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc.
d) Tính hiệu của P(x) - Q(x) bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.
Lời giải:
a) Sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo số mũ giảm dần của biến ta có:
P(x) = -3x2 + 2 + 7x = -3x2 + 7x + 2.
Q(x) = -4x + 5x2 + 1 = 5x2 + (-4x) + 1 = 5x2 - 4x + 1.
b) Viết hiệu P(x) - Q(x) theo hàng ngang trong đó đa thức Q(x) được đặt trong dấu ngoặc:
P(x) - Q(x)
= -3x2 + 7x + 2 - (5x2 - 4x + 1)
c) Bỏ dấu ngoặc và nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau ta có:
P(x) - Q(x)
= -3x2 + 7x + 2 - (5x2 - 4x + 1)
= -3x2 + 7x + 2 - 5x2 + 4x - 1
= (-3x2 - 5x2) + (7x + 4x) + (2 - 1)
d) Tính hiệu:
P(x) - Q(x)
= (-3x2 - 5x2) + (7x + 4x) + (2 - 1)
= -8x2 + 11x + 1.
Vậy P(x) - Q(x) = -8x2 + 11x + 1.
Giải Toán 7 trang 59 Tập 2
Luyện tập 4 trang 59 Toán 7 Tập 2: Tính hiệu P(x) - Q(x) bằng hai cách, trong đó:
Lời giải:
Cách 1. Tính hiệu theo cột dọc:
Ta sắp xếp đa thức Q(x) theo số mũ giảm dần của biến x được:
Q(x) = -9x3 + 6x2 + 3 + 2x
Q(x) = -9x3 + 6x2 + 2x + 3.
Thực hiện tính hiệu P(x) – Q(x):
Vậy P(x) - Q(x) = 15x3 + 2x2 + 3x - 5.
Cách 2. Tính hiệu theo hàng ngang:
P(x) - Q(x)
= 6x3 + 8x2 + 5x - 2 - (-9x3 + 6x2 + 3 + 2x)
= 6x3 + 8x2 + 5x - 2 + 9x3 - 6x2 - 3 - 2x
= (6x3 + 9x3) + (8x2 - 6x2) + (5x - 2x) + (-2 - 3)
= 15x3 + 2x2 + 3x - 5.
Vậy P(x) - Q(x) = 15x3 + 2x2 + 3x - 5.
B. Bài tập
Cho hai đa thức: R(x) = -8x4 + 6x3 + 2x2 - 5x + 1 và S(x) = x4 - 8x3 + 2x + 3. Tính:
Lời giải:
a) Cách 1: Tính tổng R(x) + S(x) theo cột dọc:
Vậy R(x) + S(x) = -7x4 - 2x3 + 2x2 - 3x + 4.
Cách 2: Tính tổng R(x) + S(x) theo hàng ngang:
R(x) + S(x)
= (-8x4 + 6x3 + 2x2 - 5x + 1) + (x4 - 8x3 + 2x + 3)
= -8x4 + 6x3 + 2x2 - 5x + 1 + x4 - 8x3 + 2x + 3
= (-8x4 + x4) + (6x3 - 8x3) + 2x2 + (-5x + 2x) + (1 + 3)
= -7x4 - 2x3 + 2x2 - 3x + 4.
Vậy R(x) + S(x) = -7x4 - 2x3 + 2x2 - 3x + 4.
b) Cách 1: Tính hiệu R(x) ‒ S(x) theo cột dọc:
Vậy R(x) - S(x) = -9x4 + 14x3 + 2x2 - 7x - 2.
Cách 2: Tính hiệu R(x) ‒ S(x) theo hàng ngang:
R(x) - S(x) = (-8x4 + 6x3 + 2x2 - 5x + 1) - (x4 - 8x3 + 2x + 3)
= -8x4 + 6x3 + 2x2 - 5x + 1 - x4 + 8x3 - 2x - 3
= (-8x4 - x4) + (6x3 + 8x3) + 2x2 + (-5x - 2x) + (1 - 3)
= -9x4 + 14x3 + 2x2 - 7x - 2
Vậy R(x) - S(x) = -9x4 + 14x3 + 2x2 - 7x - 2.
Bài 2 trang 59 Toán 7 Tập 2: Xác định bậc của hai đa thức là tổng, hiệu của:
A(x) = -8x5 + 6x4 + 2x2 - 5x + 1 và B(x) = 8x5 + 8x3 + 2x - 3.
Lời giải:
- Ta có thể thực hiện A(x) + B(x) theo hai cách
Cách 1: Cộng theo cột dọc:
Cách 2: Cộng theo hàng ngang:
A(x) + B(x) = -8x5 + 6x4 + 2x2 - 5x + 1 + 8x5 + 8x3 + 2x - 3
= (-8x5 + 8x5) + 6x4 + 8x3 + 2x2 + (-5x + 2x) + (1 - 3)
= 6x4 + 8x3 + 2x2 - 3x - 2
Do đó A(x) + B(x) = 6x4 + 8x3 + 2x2 - 3x - 2
Vậy bậc của đa thức A(x) + B(x) là 4.
- Ta có thể thực hiện A(x) ‒ B(x) theo hai cách
Cách 1: Trừ theo cột dọc:
Cách 2: Trừ theo hàng ngang:
A(x) - B(x)
= -8x5 + 6x4 + 2x2 - 5x + 1 - (8x5 + 8x3 + 2x - 3)
= -8x5 + 6x4 + 2x2 - 5x + 1 - 8x5 - 8x3 - 2x + 3
= (-8x5 - 8x5) + 6x4 - 8x3 + 2x2 + (-5x - 2x) + (1 + 3)
= -16x5 + 6x4 - 8x3 + 2x2 - 7x + 4
Do đó A(x) - B(x) = -16x5 + 6x4 - 8x3 + 2x2 - 7x + 4
Vậy bậc của đa thức A(x) - B(x) là 5.
Lời giải:
a) Khi hết kì hạn 1 năm thì tiền lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ hai là:
80 . (x + 1,5)% = = (x + 1,5) = 0,8x + 1,2 (triệu đồng).
Khi hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi ở ngân hàng thứ hai là:
80 + 0,8x + 1,2 = 0,8x + 81,2 (triệu đồng).
Vậy bác Ngọc nhận được 0,8x + 81,2 triệu đồng cả gốc lẫn lãi ở ngân hàng thứ hai khi hết kì hạn 1 năm.
b) Khi hết kì hạn 1 năm thì tiền lãi bác Ngọc nhận được ở ngân hàng thứ nhất là:
90 . x% = 90 . = x = 0,9x (triệu đồng).
Khi hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi ở ngân hàng thứ nhất là:
90 + 0,9x (triệu đồng).
Khi hết kì hạn 1 năm, bác Ngọc có được cả gốc và lãi ở cả hai ngân hàng là:
0,8x + 81,2 + 90 + 0,9x = 1,7x + 171,2 (triệu đồng).
Vậy bác Ngọc nhận được 1,7x + 171,2 triệu đồng cả gốc lẫn lãi ở cả hai ngân hàng khi hết kì hạn 1 năm.
Lời giải:
Thể tích nước trong bể khi mực nước có chiều cao h (cm) là:
20 . 20 . h = 400h (cm3).
Đổi 400h cm3 = 0,4h dm3; 10 lít = 10 dm3.
Thể tích nước trong can ban đầu là 10 dm3.
Thể tích nước trong bể hình lập phương chính là thể tích nước trong can rót ra nên thể tích nước còn lại trong can là: 10 - 0,4h (dm3).
Vậy thể tích nước trong can còn lại là 10 – 0,4h dm3.
Lời giải:
Minh và Quân nói như vậy là không đúng vì tổng hoặc hiệu của hai đa thức bậc bốn có thể không phải là đa thức bậc bốn.
Ví dụ như: Với hai đa thức A(x) = 2x4; B(x) = -2x4 + x2; C(x) = 2x4 + x.
Ta có:
A(x) + B(x) = 2x4 + (-2x4 + x2) = 2x4 - 2x4 + x2 = (2x4 - 2x4) + x2 = x2 là đa thức bậc hai. Do đó Minh nói sai.
A(x) - C(x) = 2x4 - (2x4 + x) = 2x4 - 2x4 ‒ x = (2x4 - 2x4) ‒ x = ‒x là đa thức bậc một. Do đó Quân nói sai.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 1: Biểu thức số. Biểu thức đại số
Bài 2: Đa thức một biến. Nghiệm của đa thức một biến
Bài 4: Phép nhân đa thức một biến