Giải SGK Toán 7 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 6

Giải SGK Toán 7 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 6

Giải Toán 7 trang 68 Tập 2

Bài 1 trang 68 Toán 7 Tập 2: Biểu thức nào sau đây là đa thức một biến? Tìm biến và bậc của đa thức đó.

a) -7x + 5.

b) 2 021x² - 2 022x + 2 023.

c) 2y³ - $\frac{3}{y+2}$ + 4.

d) -2t^m + 8t² + t - 1, với m là số tự nhiên lớn hơn 2.

Lời giải:

a) Biểu thức -7x + 5 là đa thức một biến x, đa thức này có bậc bằng 1.

b) Biểu thức 2 021x² - 2 022x + 2 023 là đa thức một biến x, đa thức này có bậc bằng 2.

c) Biểu thức 2y³ - $\frac{3}{y+2}$ + 4 không phải đa thức do có chứa biến ở dưới mẫu.

d) Biểu thức -2t^m + 8t² + t - 1 là đa thức một biến t, đa thức này có bậc bằng m, với m là số tự nhiên lớn hơn 2.

Bài 2 trang 68 Toán 7 Tập 2: Tính giá trị của biểu thức:

a) A = -5a - b - 20 tại a = -4, b = 18;

b) B = -8xyz + 2xy + 16y tại x = -1, y = 3, z = -2;

c) C = -x²⁰²¹y² + 9x²⁰²¹ tại x = -1, y = -3.

Lời giải:

a) Thay a = -4, b = 18 vào biểu thức A = -5a - b - 20 ta được:

A = -5.(-4) - 18 - 20

A = 20 - 18 - 20

A = -18.

Vậy A = -18 khi a = -4, b = 18.

b) Thay x = -1, y = 3, z = -2 vào biểu thức B = -8xyz + 2xy + 16y ta được:

B = -8.(-1).3.(-2) + 2.(-1).3 + 16.3

B = -48 + (-6) + 48

B = -6.

Vậy B = -6 khi x = -1, y = 3, z = -2.

c) Thay x = -1, y = -3 vào biểu thức C = -x²⁰²¹y² + 9x²⁰²¹ ta được:

C = - (-1)²⁰²¹ .(-3)² + 9.(-1)²⁰²¹ 

C = -(-1) . 9 + 9 . (-1)

C = 1.9 + (‒9)

C = 9 + (-9)

C = 0.

Vậy C = 9 khi x = -1, y = -3.

Bài 3 trang 68 Toán 7 Tập 2: Viết đa thức trong mỗi trường hợp sau:

a) Đa thức bậc nhất có hệ số của biến bằng -2 và hệ số tự do bằng 6;

b) Đa thức bậc hai có hệ số tự do bằng 4;

c) Đa thức bậc bốn có hệ số của lũy thừa bậc 3 của biến bằng 0;

d) Đa thức bậc sáu trong đó tất cả hệ số của lũy thừa bậc lẻ của biến đều bằng 0.

Lời giải:

a) Đa thức cần tìm là đa thức bậc nhất nên số mũ cao nhất của biến là 1.

Đa thức có hệ số của biến bằng -2 và hệ số tự do bằng 6 nên đa thức bậc nhất cần tìm là: -2x + 6.

b) Đa thức cần tìm là đa thức bậc hai nên số mũ cao nhất của biến là 2 và hệ số của luỹ thừa bậc 2 của biến là một số tuỳ ý khác 0.

Đa thức có hệ số của luỹ thừa bậc 1 của biến là một số tùy ý (do đề bài không đề cập đến) và hệ số tự do bằng 4.

Khi đó đa thức cần tìm có dạng ax² + bx + 4 với a, b ∈ ℝ và a ≠ 0.

Chẳng hạn, ta có đa thức cần tìm có thể là x² + x + 4; 2x² + 4;…

c) Đa thức cần tìm là đa thức bậc bốn nên số mũ cao nhất của biến là 4 và hệ số của luỹ thừa bậc 4 của biến là một số tuỳ ý khác 0.

Đa thức có hệ số của lũy thừa bậc 3 của biến bằng 0 và hệ số của lũy thừa bậc 2, bậc 1 của biến là một số tùy ý, hệ số tự do là một số tùy ý.

Khi đó đa thức cần tìm có dạng ax⁴ + bx² + cx + d với a, b, c, d ∈ ℝ và a ≠ 0.

Chắng hạn, ta có đa thức cần tìm có thể là: x⁴; x⁴ + 2x² + 3x + 4;…

d) Đa thức cần tìm là đa thức bậc sáu nên số mũ cao nhất của biến là 6 và hệ số của luỹ thừa bậc 6 là một số tùy ý khác 0.

Trong đa thức này tất cả hệ số của lũy thừa bậc lẻ của biến đều bằng 0 và hệ số các lũy thừa bậc chẵn còn lại của đa thức là một số tùy ý, hệ số tự do là một số tùy ý.

Khi đó đa thức cần tìm có dạng ax⁶ + bx⁴ + cx² + d với a, b, c, d ∈ ℝ và a ≠ 0.

Chẳng hạn, ta có đa thức cần tìm có thể là 2x⁶ + 3; x⁶ + 2x²;…

Bài 4 trang 68 Toán 7 Tập 2:

Kiểm tra xem trong các số -1, 0, 1, 2, số nào là nghiệm của mỗi đa thức sau:

a) 3x - 6;

b) x⁴ - 1;

c) 3x² - 4x;

d) x² + 9.

Lời giải:

a) Ta thay lần lượt các giá trị x = -1, x = 0, x = 1, x = 2 vào đa thức 3x - 6 để kiểm tra số nào là nghiệm của đa thức đó.

+ Thay x = -1 vào đa thức ta được: 3.(-1) - 6 = -3 - 6 = -9 ≠ 0.

Do đó số -1 không là nghiệm của đa thức 3x - 6.

+ Thay x = 0 vào đa thức ta được: 3.0 - 6 = 0 - 6 = -6 ≠ 0.

Do đó số 0 không là nghiệm của đa thức 3x - 6.

+ Thay x = 1 vào đa thức ta được: 3.1 - 6 = 3 - 6 = -3 ≠ 0.

Do đó số 1 không là nghiệm của đa thức 3x - 6.

+ Thay x = 2 vào đa thức ta được: 3.2 - 6 = 6 - 6 = 0.

Do đó số 2 là nghiệm của đa thức 3x - 6.

Vậy trong các số -1, 0, 1, 2 thì số 2 là nghiệm của đa thức 3x - 6.

b) Ta thay lần lượt các giá trị x = -1, x = 0, x = 1, x = 2 vào đa thức x⁴ - 1 để kiểm tra số nào là nghiệm của đa thức đó.

+ Thay x = -1 vào đa thức x⁴ - 1 ta được: (-1)⁴ - 1 = 1 - 1 = 0.

Do đó số -1 là nghiệm của đa thức x⁴ - 1.

+ Thay x = 0 vào đa thức x⁴ - 1 ta có: 0⁴ - 1 = -1 ≠ 0.

Do đó số 0 không là nghiệm của đa thức x⁴ - 1.

+ Thay x = 1 vào đa thức x⁴ - 1 ta có: 1⁴ - 1 = 0.

Do đó số 1 là nghiệm của đa thức x⁴ - 1.

+ Thay x = 2 vào đa thức x⁴ - 1 ta có: 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15 ≠ 0.

Do đó số 2 không là nghiệm của đa thức x⁴ - 1.

Vậy trong các số -1, 0, 1, 2 thì số - 1 và số 1 là nghiệm của đa thức x⁴ - 1.

c) Ta thay lần lượt các giá trị x = -1, x = 0, x = 1, x = 2 vào đa thức 3x² - 4x để kiểm tra số nào là nghiệm của đa thức đó.

+ Thay x = -1 vào đa thức trên ta được: 3.(-1)² - 4.(-1) = 3 + 4 = 7 ≠ 0.

Do đó số -1 không là nghiệm của đa thức 3x² - 4x.

+ Thay x = 0 vào đa thức trên ta được : 3.0² - 4.0 = 0.

Do đó số 0 là nghiệm của đa thức 3x² - 4x.

+ Thay x = 1 vào đa thức trên ta có: 3.1² - 4.1 = 3 - 4 = -1 ≠ 0.

Do đó số 1 không là nghiệm của đa thức 3x² - 4x.

+ Thay x = 2 vào đa thức trên ta có: 3 . 2² - 4 . 2 = 12 - 8 = 4 ≠ 0.

Do đó số 2 không là nghiệm của đa thức x⁴ - 1 .

Vậy trong các số -1, 0, 1, 2 thì số 0 là nghiệm của đa thức 3x² - 4x.

d) Ta thay lần lượt các giá trị x = -1, x = 0, x = 1, x = 2 vào đa thức x² + 9 để kiểm tra số nào là nghiệm của đa thức đó.

+ Thay x = -1 vào đa thức trên ta có: (-1)² + 9 = 10 ≠ 0.

Do đó số -1 không là nghiệm của đa thức x² + 9.

+ Thay x = 0 vào đa thức trên ta có: 0²+ 9 = 9 ≠ 0.

Do đó số 0 không là nghiệm của đa thức x² + 9.

+ Thay x = 1 vào đa thức trên ta có: 1² + 9 = 10 ≠ 0.

Do đó số 1 không là nghiệm của đa thức x² + 9.

+ Thay x = 2 vào đa thức trên ta có: 2² + 9 = 13 ≠ 0.

Do đó số 2 không là nghiệm của đa thức x² + 9.

Vậy trong các số -1, 0, 1, 2 thì không có số nào là nghiệm của đa thức x² + 9.

Bài 5 trang 68 Toán 7 Tập 2:

Cho đa thức P(x) = -9x⁶ + 4x + 3x⁵ + 5x + 9x⁶- 1.

a) Thu gọn đa thức P(x).

b) Tìm bậc của đa thức P(x).

c) Tính giá trị của đa thức P(x) tại x = -1; x = 0; x = 1.

Lời giải:

a) Thu gọn đa thức P(x):

P(x) = -9x⁶ + 4x + 3x⁵ + 5x + 9x⁶ - 1

P(x) = (-9x⁶ + 9x⁶) + 3x⁵ + (4x + 5x) - 1

P(x) = 3x⁵ + 9x - 1.

b) Đa thức P(x) có số mũ cao nhất của biến là 5 nên bậc của đa thức P(x) bằng 5.

c) Với P(x) = 3x⁵ + 9x - 1:

+ Thay x = ‒1 vào đa thức ta có:

P(-1) = 3.(-1)⁵ + 9.(-1) - 1 = 3.(-1) + (-9) - 1 = -3 - 9 - 1 = -13.

+ Thay x = 0 vào đa thức ta có:

P(0) = 3.0⁵ + 9.0 - 1 = 0 + 0 -1 = -1.

+ Thay x = 1 vào đa thức ta có:

P(1) = 3.1⁵ + 9.1 - 1 = 3 + 9 - 1 = 11.

Vậy P(-1) = -13; P(0) = -1 và P(1) = 11.

Bài 6 trang 68 Toán 7 Tập 2: Tính:

a) -2x² + 6x²;

b) 4x³ - 8x³;

c) 3x⁴(-6x²);

d) (-24x⁶) : (-4x³).

Lời giải:

a) -2x² + 6x² = (-2 + 6).x² = 4x².

b) 4x³ - 8x³ = (4 - 8).x³ = -4x³.

c) 3x⁴(-6x²) = 3.(-6).x⁴.x² = -18x⁴⁺² = -18x⁶.

d) (-24x⁶) : (-4x³) = [-24 : (-4)].(x⁶ : x³) = 6x^6-3 = 6x³.

Bài 7 trang 68 Toán 7 Tập 2: Tính:

a) (x² + 2x + 3) + (3x² - 5x + 1);

b) (4x³ - 2x² - 6) - (x³ - 7x² + x - 5);

c) -3x²(6x² - 8x + 1);

d) (4x² + 2x + 1)(2x - 1);

e) (x⁶ - 2x⁴ + x²) : (-2x²);

g) (x⁵ - x⁴ - 2x³) : (x² + x).

Lời giải:

a) (x² + 2x + 3) + (3x² - 5x + 1)

= x² + 2x + 3 + 3x² - 5x + 1

= (x² + 3x²) + (2x - 5x) + (3 + 1)

= (1 + 3)x² + (2 – 5)x + 4

= 4x² - 3x + 4.

b) (4x³ - 2x² - 6) - (x³ - 7x² + x - 5)

= 4x³ - 2x² - 6 - x³ + 7x² - x + 5

= (4x³ - x³) + (-2x² + 7x²) - x + (-6 + 5)

= (4 – 1)x³ + (‒2 + 7)x² – x ‒ 1

= 3x³ + 5x² - x - 1.

c) -3x²(6x² - 8x + 1)

= -3x².6x² - (-3x²).8x + (-3x²).1

= (-3).6.x²⁺² – (–3).8.x²⁺¹ + (–3).1.x²

= -18x⁴ - (-24)x³ + (-3)x²

= - 18x⁴ + 24x³ - 3x².

d) (4x² + 2x + 1)(2x - 1)

= 4x².2x - 4x².1 + 2x.2x - 2x.1 + 1.2x - 1.1

= 4.2.x²⁺¹ - 4.1.x² + 2.2.x¹⁺¹ - 2x + 2x - 1

= 8x³ - 4x² + 4x² + (-2x + 2x) - 1

= 8x³ + (-4x² + 4x²) - 1

= 8x³ - 1.

e) (x⁶ - 2x⁴ + x²) : (-2x²)

= x⁶ : (-2x²) - 2x⁴ : (-2x²) + x² : (-2x²)

= $\frac{1}{-2}{x}^{6-2}-\frac{2}{-2}{x}^{4-2}+\frac{1}{-2}{x}^{2-2}$

= $\frac{-1}{2}{x}^4+x^2-\frac{1}{2}{x}^0$

$=\frac{-1}{2}{x}^4+x^2-\frac{1}{2}$

g) Thực hiện phép chia đa thức ta được:

Vậy (x⁵ - x⁴ - 2x³) : (x² + x) = x³ - 2x².

Giải Toán 7 trang 69 Tập 2

Bài 8 trang 69 Toán 7 Tập 2:

Cho hai đa thức: A(x) = 4x⁴ + 6x² - 7x³ - 5x - 6 và B(x) = -5x² + 7x³ + 5x + 4 - 4x⁴.

a) Tìm đa thức M(x) sao cho M(x) = A(x) + B(x).

b) Tìm đa thức C(x) sao cho A(x) = B(x) + C(x).

Lời giải:

a) M(x) = A(x) + B(x)

= (4x⁴ + 6x² - 7x³ - 5x - 6) + (-5x² + 7x³ + 5x + 4 - 4x⁴)

= 4x⁴ + 6x² - 7x³ - 5x - 6 - 5x² + 7x³ + 5x + 4 - 4x⁴

= (4x⁴ - 4x⁴) + (-7x³ + 7x³) + (6x² - 5x²) + (-5x + 5x) + (-6 + 4)

= 0.x⁴ + 0.x³ + (6 – 5).x² + 0.x + (‒2)

= x² - 2.

Vậy M(x) = x² - 2.

b) Ta có: A(x) = B(x) + C(x)

Suy ra C(x) = A(x) - B(x)

= (4x⁴ + 6x² - 7x³ - 5x - 6) - (-5x² + 7x³ + 5x + 4 - 4x⁴)

= 4x⁴ + 6x² - 7x³ - 5x - 6 + 5x² - 7x³ - 5x - 4 + 4x⁴

= (4x⁴ + 4x⁴) + (-7x³ - 7x³) + (6x² + 5x²) + (-5x - 5x) + (-6 - 4)

= (4 + 4).x⁴ + (-7 - 7).x³ + (6 + 5).x² + (-5 - 5).x + (-10)

= 8x⁴ - 14x³ + 11x² - 10x - 10.

Vậy C(x) = 8x⁴ - 14x³ + 11x² - 10x - 10.

Bài 9 trang 69 Toán 7 Tập 2:

Cho P(x) = x³ + x² + x + 1 và Q(x) = x⁴ - 1. Tìm đa thức A(x) sao cho P(x).A(x) = Q(x).

Lời giải:

Ta có: P(x).A(x) = Q(x)

Suy ra A(x) = Q(x) : P(x).

Thực hiện phép chia đa thức ta được:

Do đó Q(x) : P(x) = x – 1

Vậy A(x) = x - 1.

Bài 10 trang 69 Toán 7 Tập 2:

Nhân dịp lễ Giáng sinh, một cửa hàng bán quần áo trẻ em thông báo khi mua mỗi bộ quần áo sẽ được giảm giá 30% so với giá niêm yết. Giả sử giá niêm yết một bộ quần áo là x (đồng). Viết biểu thức tính số tiền phải trả khi mua loại quần áo đó với số lượng:

a) 1 bộ;

b) 3 bộ;

c) y bộ.

Lời giải:

Do mỗi bộ quần áo được giảm giá 30% so với giá niêm yết (x đồng) nên giá sau khi đã giảm sẽ bằng 100% - 30% = 70% giá niêm yết.

Vậy ta có giá một bộ quần áo sau khi giảm 30% là: 70% . x = 0,7.x (đồng).

a) Số tiền phải trả khi mua 1 bộ là: 0,7x.1 = 0,7x (đồng).

Vậy biểu thức tính số tiền khi mua 1 bộ loại quần áo đó là 0,7x đồng.

b) Số tiền phải trả khi mua 3 bộ là: 0,7x.3 = 2,1x (đồng).

Vậy biểu thức tính số tiền khi mua 3 bộ loại quần áo đó là 2,1x đồng.

c) Số tiền phải trả khu mua y bộ là: 0,7xy (đồng).

Vậy biểu thức tính số tiền khi mua y bộ loại quần áo đó là 0,7xy đồng.

Bài 11 trang 69 Toán 7 Tập 2:

Một doanh nghiệp kinh doanh cà phê cho biết: Sau khi rang xong, khối lượng cà phê giảm 12% so với trước khi rằng.

a) Tìm số thích hợp cho $\boxed{?}$ ở bảng sau:

 

b) Tìm công thức chỉ mối liên hệ giữa x và y.

c) Để có được 2 tấn cà phê sau khi rang thì doanh nghiệp đó cần sử dụng bao nhiêu tấn cà phê trước khi rang?

Lời giải:

a) - Khối lượng cà phê trước khi rang là 1 kg thì:

 + Khối lượng hao hụt khi rang là: 1.12% = 0,12 kg;

+ Khối lượng cà phê sau khi rang là: 1 - 0,12 = 0,88 kg.

- Khối lượng cà phê trước khi rang là 2 kg thì:

+ Khối lượng hao hụt khi rang là: 2.12% = 0,24 kg;

+ Khối lượng cà phê sau khi rang là: 2 - 0,24 = 1,76 kg.

- Khối lượng cà phê trước khi rang là 3 kg thì:

+ Khối lượng hao hụt khi rang là: 3.12% = 0,36 kg;

+ Khối lượng cà phê sau khi rang là: 3 - 0,36 = 2,64 kg.

Ta có bảng sau:

b) Sau khi rang xong, khối lượng cà phê giảm 12% so với trước khi rang nên khối lượng cà phê sau khi rang bằng 100% - 12% = 88% khối lượng cà phê lúc đầu.

Do đó: y = 88%x = 0,88x.

Vậy công thức chỉ mối liên hệ giữa x và y là: y = 0,88x.

c) Số tấn cà phê cần dùng để có được 2 tấn cà phê sau khi rang là:

2 : 88% = 2 : $\frac{88}{100}$ = 2 . $\frac{100}{88}$ = $\frac{25}{11}$ ≈ 2,27 tấn.

Vậy doanh nghiệp đó cần sử dụng khoảng 2,27 tấn cà phê trước khi rang để thu được 2 tấn cà phê sau khi rang.

Bài 12 trang 69 Toán 7 Tập 2: Một công ty sau khi tăng giá 50 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là x (nghìn đồng) với x < 60 thì có 2doanh thu là -5x² + 50x + 15 000 (nghìn đồng). Tính số sản phẩm mà công ty đã bán được theo x.

Lời giải:

Sau khi tăng giá 50 nghìn đồng mỗi sản phẩm so với giá ban đầu là x (nghìn đồng) (x < 60) thì giá của mỗi sản phẩm sau khi tăng giá là x + 50 (nghìn đồng).

Khi đó số sản phẩm đã bán được là: (-5x² + 50x + 15 000) : (x + 50)

Thực hiện phép chia đa thức ta được:

Do đó (-5x² + 50x + 15 000) : (x + 50) = ‒5x + 300

Vậy công ty đã bán được -5x + 300 sản phẩm với x < 60.

Bài 13 trang 69 Toán 7 Tập 2:

Một công ty du lịch dự định dùng 2 xe ô tô để chở khách đi tham quan, mỗi xe chở tối đa 35 khách, mức giá cho chuyến đi là 900 nghìn/người và đã có 50 người đăng kí tham quan. Công ty đặt chính sách khuyến mãi như sau: Sẽ giảm giá cho mỗi người trong đoàn tham quan là 10 nghìn đồng khi cứ có thêm 1 khách tham quan ngoài 50 khách trên.

a) Giả sử số khách tham quan thêm là x (x ≤ 20). Tính số tiền mà công ty thu được theo x.

b) Nếu 2 xe ô tô của công ty đều chở tối đa số khách thì số tiền công ty thu được tổng cộng là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Số tiền giảm giá cho mỗi người khi có thêm x khách tham quan là: 10x (nghìn đồng).

Khi đó số tiền mỗi người cần trả khi được giảm giá là: 900 - 10x (nghìn đồng).

Ban đầu có 50 khách, có thêm x khách thì tổng số khách tham quan là x + 50 (khách).

Số tiền công ty thu được là (x + 50)(900 - 10x) (nghìn đồng).

b) Mỗi xe được chở tối đa 35 khách nên nếu cả 2 xe ô tô đều chở tối đa khách thì tổng số khách tham quan là: 2.35 = 70 (khách).

Khi đó có thêm 20 khách so với 50 khách ban đầu.

Tức là ta có x = 20.

Thay x = 20 vào biểu thức (x + 50)(900 - 10x) ta có số tiền công ty thu được là:

(20 + 50). (900 – 10.20) = 70.(900 – 200) = 70.700 = 49 000 (nghìn đồng) = 49 triệu đồng.

Vậy công ty thu được tổng cộng là 49 triệu đồng.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 4: Phép nhân đa thức một biến

Bài 5: Phép chia đa thức một biến

Bài 1: Tổng các góc của một tam giác

Bài 2: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện. Bất đẳng thức tam giác

Bài 3: Hai tam giác bằng nhau