Giải SGK Toán 7 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 7 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 7. Mời các bạn đón xem:

Giải SGK Toán 7 (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7

Giải Toán 7 trang 119 Tập 2

Bài 1 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có: A^=42°,B^=37°.

a) Tính C^.

b) So sánh độ dài các cạnh AB, BC, CA.

Lời giải:

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

a) Xét tam giác ABC: A^+B^+C^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra C^=180°A^B^=180°42°37°=101°.

Vậy C^=101°. 

b) Ta có: 37° < 42° < 101° nên B^<A^<C^.

Do đó CA < BC < AB (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

Vậy CA < BC < AB.

Bài 2 trang 119 Toán 7 Tập 2: Tìm các số đo x, y trong Hình 140.

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

Lời giải:

Xét tam giác ABO có OA = AB = BO nên tam giác ABO đều.

Do đó x = 60°.

Tam giác OAC có OA = OC nên tam giác OAC cân tại O.

Do đó y=OAC^=OAC^.

Ta có AOB^ là góc ngoài tại đỉnh O của OAC nên AOB^=OCA^+OAC^.

hay x = y + y = 2y.

Suy ra 2y = 60°

Do đó y = 30°.

Vậy x = 60° và y = 30°.

Bài 3 trang 119 Toán 7 Tập 2: Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 và xem xe buýt có thể đi như thế nào giữa hai vị trí A và B. Đường thứ nhất đi từ A đến C và đi tiếp từ C đến B, đường thứ hai đi từ B đến A (Hình 141). Theo em, đường nào đi dài hơn? Vì sao?

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1)  

Lời giải:

Ba vị trí A, B, C mà bạn Hoa đánh dấu tạo thành ba đỉnh của tam giác ABC (Hình 141).

Khi đó trong tam giác ABC ta có: AC + CB > BA (Bất đẳng thức tam giác)

Vậy đường thứ nhất dài hơn đường thứ hai.

Bài 4 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác ABC và MNP có: AB = MN, BC = NP, CA = PM. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP. Chứng minh: AI = MK.

Lời giải:

GT

ABC, MNP,

AB = MN, BC = NP, CA = PM,

I và K lần lượt là trung điểm của BC và NP.

KL

AI = MK.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

 

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

Xét ABC và MNP có:

AB = MN (giả thiết).

BC = NP (giả thiết).

CA = PM (giả thiết).

Do đó ABC = MNP  (c.c.c).

Suy ra ABC^=MNP^.

Do I, K lần lượt là trung điểm của BC và NP nên BI=IC=12BC và NK=KP=12NP 

Mà BC = NP (giả thiết) nên BI = NK.

Xét ABI và MNK có:

AB = MN (giả thiết).

ABI^=MNK^ (chứng minh trên).

BO = NK (chứng minh trên).

Do đó ABI = MNK (c.g.c).

Suy ra AI = MK (hai cạnh tương ứng).

Vậy AI = MK.

Bài 5 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho Hình 142 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M, N.

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

Chứng minh:

a) Nếu OM = ON thì AM // BN;

b) Nếu AM // BN thì OM = ON.

Lời giải:

a)

GT

OAM, OBN,

O là trung điểm của AB,

O nằm giữa hai điểm M, N.

OM = ON

KL

AM // BN;

Chứng minh (Hình 142):

Xét OAM và OBN có:

AO = BO (do M là trung điểm của AB),

AOM^=BON^ (hai góc đối đỉnh),

OM = ON (giả thiết).

Do đó OAM = OBN (c.g.c).

Suy ra AMO^=BNO^ (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BN (dấu hiệu nhận biết)

Vậy AM //BN.

b)

GT

OAM, OBN,

O là trung điểm của AB,

O nằm giữa hai điểm M, N.  

AM // BN

KL

OM = ON.

Chứng minh (Hình 142):

Do AM // BN (giả thiết) nên MAO^=NBO^ (hai góc so le trong).

Xét OAM và OBN có:

MAO^=NBO^ (chứng minh trên),

AO = BO (do M là trung điểm của AB),

AOM^=BON^ (hai góc đối đỉnh).

Do đó OAM = OBN (g.c.g).

Suy ra OM = ON (hai cạnh tương ứng).

Vậy OM = ON.

Bài 6 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có

ABC^=70°. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.

a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC.

b) Chứng minh BD = CE.

c) Chứng minh tia AH là tia phân giác của góc BAC.

Lời giải:

GT

ABC cân tại A, ABC^=70°

BD  AC, CE  AB, BD cắt CE tại H.

KL

a) Tính số đo các góc còn lại của tam giác ABC;

b) BD = CE;

c) AH là tia phân giác của góc BAC.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

a) Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết)

Nên AB = AC và ABC^=ACB^=70° (tính chất tam giác cân)

Xét tam giác ABC có BAC^+ABC^+ACB^=180° (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra BAC^=180°ABC^ACB^=180°70°70°=40°.

Vậy ACB^=70° và BAC^=40°. 

b) Xét ADB (vuông tại D) và ACE (vuông tại E) có:

AB = AC (chứng minh trên),

A^ là góc chung,

Do đó ABD = ACE (cạnh huyền - góc nhọn).

Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng).

Vậy BD = CE.

c) Vì ABD = ACE (chứng minh câu a) nên AD = AE (hai cạnh tương ứng).

Xét AHE (vuông tại E) và AHD (vuông tại D) có:

AE = AD (chứng minh trên),

AH là cạnh chung.

Do đó AHE  = AHD (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra HAE^=HAD^ (hai góc tương ứng).

Do đó AH là tia phân giác của EAD^.

Vậy AH là tia phân giác của BAC^.

Bài 7 trang 119 Toán 7 Tập 2: Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng. Hai đường cao BM và CN của tam giác ABC cắt nhau tại I, hai đường cao CP và DQ của tam giác ECD cắt nhau tại K (Hình 143). Chứng minh AI // EK.

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

Lời giải:

GT

ABC nhọn và ECD nhọn

Ba điểm B, C, D thẳng hàng,

ABC: hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I,

ECD: hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K

KL

AI // EK.

Chứng minh (Hình 143):

Vì ABC có hai đường cao BM và CN cắt nhau tại I (giả thiết) nên I là trực tâm của ABC.

Suy ra AI  BC.

Vì ECD có hai đường cao CP và DQ cắt nhau tại K (giả thiết) nên K là trực tâm của ECD.

Suy ra EK  CD.

Mà B, C, D thẳng hàng (giả thiết) nên

• AI  BC (chứng minh trên)  suy ra AI  BD;

• EK  CD (chứng minh trên) suy ra EK  BD.

Do đó AI // EK (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song)

Vậy AI // EK.

Giải Toán 7 trang 120 Tập 2

Bài 8 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144).

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

Chứng minh:

a) OMA = OMB và tia MO là tia phân giác của góc NMP;

b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Lời giải:

GT

ABC, O là giao điểm của ba đường trung trực,

MP  OA, MN  OB, NP  OC

KL

a) OMA = OMB và tia MO là tia phân giác của NMP^; 

b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Chứng minh (Hình 144):

a) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét OAM (vuông tại A) và OBM (vuông tại B) có:

OM là cạnh chung,

OA = OB (chứng minh trên),

Do đó OAM = OBM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra OMA^=OMB^ (hai góc tương ứng).

Khi đó MO là tia phân giác của BMA^ hay MO là tia phân giác của NMP^.

Vậy tia MO là tia phân giác của NMP^

b) Nối OP (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

Xét OAP (vuông tại A) và OCP (vuông tại C) có:

OP là cạnh chung,

OA = OC (chứng minh trên),

Do đó OAP = OCP (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra OPA^=OPC^ (hai góc tương ứng).

Khi đó PO là tia phân giác của APC^ hay PO là tia phân giác của MPN^.

Trong một tam giác, ba đường phân giác của tam giác đó luôn cùng đi qua một điểm

Mà O là giao điểm hai đường phân giác của góc NMP^ và góc MPN^, do đó O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Vậy O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

a)

GT

ABC cân tại A,

G là trọng tâm,

H là trực tâm,

I là giao điểm của ba đường phân giác,

O là giao điểm của ba đường trung trực.

Các điểm A, G, H, I, O phân biệt

KL

Các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

+) Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó AM là đường trung tuyến của ABC.

Lại có G là trọng tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường trung tuyến AM đi qua trọng tâm G của tam giác.

Do đó A, G, M thẳng hàng (1).

+) Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và ABC^=ACB^.

Xét AMB và AMC có:

AK là cạnh chung,

MB = MC (chứng minh trên),

AB = AC (chứng minh trên),

Do đó AMB = AMC (c.c.c).

Suy ra AMB^=AMC^ (hai góc tương ứng)

Mà AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù) nên AMB^=AMC^=180°2=90°.

Do đó AM  BC hay AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Mặt khác H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua trực tâm H của tam giác.

Do đó A, H, M thẳng hàng (2).

+) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét OBM và OCM có:

OK là cạnh chung,

OB = OC (chứng minh trên),

MB = MC (chứng minh trên),

Do đó OBM = OCM (c.c.c).

Suy ra OMB^=OMC^ (hai góc tương ứng)

Mà OMB^+OMC^=180° (hai góc kề bù) nên OMB^=OMC^=180°2=90°.

Do đó OK  BC.

Lại có AM  BC (chứng minh trên)

Suy ra A, O, M thẳng hàng (3).

+) Do BI là tia phân giác của ABC^ nên IBC^=12ABC^.

Do CI là tia phân giác của ACB^ nên ICB^=12ACB^.

Mà ABC^=ACB^ (chứng minh trên) nên IBC^=ICB^ 

Tam giác IBC có IBC^=ICB^ nên tam giác IBC cân tại I, do đó IB = IC.

Xét IBM và ICM có:

IB = IC (chứng minh trên),

IBM^=ICM^ (do IBC^=ICB^),

MB = MC (chứng minh trên),

Do đó IBM = ICM (c.g.c).

Suy ra IMB^=IMC^(hai góc tương ứng)

Mà IKB^+IKC^=180° (hai góc tương ứng) nên IMB^=IMC^=180°2=90°.

Do đó IM  BC.

Lại có AM  BC (chứng minh trên)

Suy ra A, I, K thẳng hàng (4).

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có A, G, H, I, O thẳng hàng.

Vậy các điểm A, G, H, I, O thẳng hàng khi tam giác ABC cân tại A.

b)

GT

ABC,

G là trọng tâm,

H là trực tâm,

I là giao điểm của ba đường phân giác,

O là giao điểm của ba đường trung trực.

Các điểm A, G, H, I, O phân biệt,

A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng.

KL

Tam giác ABC cân tại A.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

Gọi M là chân đường cao kẻ từ A tới BC.

Do đó AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Mà H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua điểm H.

Khi đó ba điểm A, H, M thẳng hàng.

Mà A, H, I thẳng hàng (giả thiết) nên A, H, I, K thẳng hàng.

Mà AI là tia phân giác của BAC^ nên AM là đường phân giác của BAC^.

Do đó MAB^=MAC^.

Xét ABM (vuông tại M) và ACM (vuông tại M) có:

MAB^=MAC^ (chứng minh trên),

AM là cạnh chung,

Do đó ABM = ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Bài 10 trang 120 Toán 7 Tập 2: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 145). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ điểm A, làm thế nào tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất? Em hãy giúp bạn Hùng tìm cách vẽ điểm D và giải thích cách làm của mình.

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

Lời giải:

Để tìm được điểm D trên đường thẳng BC sao cho khoảng cách từ D đến điểm A là nhỏ nhất thì AD là nhỏ nhất.

Khi đó theo tính chất đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, ta thấy DA nhỏ nhất khi AD là đường vuông góc kẻ từ D tới BC (tức là AD  BC) hay D là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC.

Ta xác định điểm D như sau:

Bước 1. Kẻ hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.

Bước 2. Gọi H là giao điểm của hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.

Khi đó H chính là trực tâm của tam giác ABC.

Suy ra đường cao AD của tam giác ABC đi qua điểm H.

Do đó HD  BC tại D.

Bước 3. Từ H kẻ đường vuông góc với BC, cắt BC tại một điểm.

Điểm này chính là điểm D cần tìm.

Ta có hình vẽ sau:

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

Bài 11 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có M^=40°,N^=70°. Khi đó P^ bằng:

A. 10°

B. 55°;

C. 70°;

D. 110°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

Trong tam giác MNP có: M^+N^+P^=180° (tổng ba góc trong một tam giác)

P^=180°M^N^=180°40°70°=70°.

Vậy P^=70°. 

Bài 12 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP có trực tâm H. Khi đó, góc HMN bằng góc nào sau đây?

A. Góc HPN.

B. Góc NMP.

C. Góc MPN.

D. Góc NHP.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A.

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

Gọi A và B lần lượt là chân đường cao kẻ từ M và P của tam giác MNP.

Xét tam giác MNA vuông tại A có ANM^+AMN^=90° (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn phụ nhau).

Suy ra AMN^=90°ANM^ hay HMN^=90°MNP^  (1)

Xét tam giác BNP vuông tại B có BNP^+BPN^=90° (trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra BPN^=90°BNP^  hay HPN^=90°MNP^  (2)

Từ (1) và (2) suy ra  HMN^=HPN^.

Vậy HMN^=HPN^.

Bài 13 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có MN = 1 dm, NP = 2 dm, MP = x dm với x ∈ {1; 2; 3; 4}. Khi đó, x nhận giá trị nào?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B.

Xét tam giác MNP ta có:

NP - MN < MP < NP + MN (bất đẳng thức tam giác)

Hay 2 – 1 < x < 2 + 1

Do đó: 1 < x  < 3.

Mà x  {1; 2; 3; 4} nên x = 2.

Vậy x = 2.

Bài 14 trang 120 Toán 7 Tập 2: Nếu tam giác MNP có trọng tâm G, đường trung tuyến MI thì tỉ số MGMI bằng

A. 34.

B. 12.

C. 23.

D. 13.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C.

Vì G là trọng tâm của tam giác MNP nên MGMI=23.

Vậy MGMI=23

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Chủ đề 3: Dung tích phổi

Câu hỏi liên quan

Vậy AH là tia phân giác của góc BAC.
Xem thêm
Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.
Xem thêm
Vậy MG/MI = 2/3.
Xem thêm
Vậy O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.
Xem thêm
Vậy x = 2.
Xem thêm
Vậy AI // EK.
Xem thêm
Vậy OM = ON.
Xem thêm
Điểm này chính là điểm D cần tìm.
Xem thêm
Vậy góc HMN = góc HPN.
Xem thêm
Vậy góc P = 70 độ.
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Bài tập cuối chương 7 (CD)
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!