Giải Toán 10 Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ
1. Góc giữa hai vectơ
Hoạt động khám phá 1 trang 98 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có tâm I (Hình 1).
a) Tính .
b) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và điểm cuối lần lượt là I và C.
c) Tìm hai vectơ cùng có điểm đầu là D và lần lượt bằng và .
Lời giải:
a) Hình vuông ABCD có tâm I nên IA = IB = IC = ID và AC BC tại I.
Do đó tam giác IDC vuông cân tại I.
Khi đó = 45o.
b) Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là I là vectơ .
Vectơ có điểm đầu là D, điểm cuối là C là vectơ .
c) Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ là vectơ .
Vectơ có điểm đầu là D và bằng vectơ là vectơ .
Lời giải:
Dựng hình bình hành ABCD.
Do tam giác ABC đều nên = 60o, do đó = 60o.
Do ABCD là hình bình hành nên .
Do đó .
Do ABCD là hình bình hành nên .
Do đó = 180o - 60o = 120o.
Khi đó = 120o hay = 120o.
Tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC nên AH vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao trong tam giác ABC.
Do đó AH BC nên = 90o.
Hai vectơ và cùng hướng nên = 0o.
Hai vectơ và ngược hướng nên = 180o.
2. Tích vô hướng của hai vectơ
Lời giải:
Công sinh bởi lực bằng:
= 10 . 100 . cos 45o ≈ 707 J.
Vậy công sinh bởi lực khoảng 707 J.
Lời giải:
Do tam giác ABC vuông cân tại A nên AB AC.
Do đó .
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông cân tại A ta có:
AB2 + AC2 = BC2
2AB2 = 2
AB2 = 1
AB = 1 (do AB là độ dài đoạn thẳng nên AB > 0)
Tam giác vuông cân tại A nên = 45o.
Ta có .
= 1 . . cos = 1 . . cos 45o = 1.
Do đó = 1.
= 1 . . cos = 1 . . cos 45o = 1.
Do đó = 1.
Lời giải:
Ta có
3 . 8 .
= 45o.
Vậy góc giữa hai vectơ và bằng 45°.
Lời giải:
Do vật dịch chuyển cùng hướng với nên góc tạo bởi vectơ hướng di chuyển của vật và bằng 0o.
Khi đó công sinh bởi lực bằng:
20 . 50 . cos 0o = 1 000 J.
Vậy công sinh bởi lực bằng 1 000 J.
3. Tính chất của tích vô hướng
Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.
a) Tính: .
b) Cho . Tính tích vô hướng và tính góc .
Lời giải:
Do hai vectơ vuông góc nên .
a) Ta có = 12 + 2 . 0 + 12 = 2.
= 12 - 2 . 0 + 12 = 2.
= = 12 - 12 = 0.
b) ; .
Do đó = 6 . 0 = 0.
Khi đó cos = = 0 (do > 0 và > 0).
= 90o.
Lời giải:
Do nên .
Ta có
= 1,62 + 2 . 1,6 . 1,6 . cos 120o + 1,62
= 2,56
Do đó = 1,6.
Vậy độ dài của bằng 1,6 đơn vị.
Bài tập
Lời giải:
AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh bằng a nên
AC = .
Ta có ABCD là hình vuông nên AC = BD = .
Vì AB AD nên ⇒ = 0.
Tam giác ABC vuông cân tại B nên = 45o.
= a . . cos = a2 . cos 45o = a2.
Do đó = a2.
= - . a . cos = a2 . cos 45o = -a2.
Do đó = -a2.
Do ABCD là hình vuông nên AC BD.
Do đó nên 0.
Bài 2 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O và cho AD = a, AB = 2a. Tính:
a)
b)
Lời giải:
a) AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông có độ dài hai cạnh lần lượt là 2a và a.
Do đó AC = (do AC là độ dài đoạn thẳng nên AC > 0).
Hình chữ nhật ABCD có tâm O nên O là trung điểm của AC.
Do đó AO = AC = .
Tam giác ABC vuông tại B nên .
= 2a . . cos = = 2a . . = 2a2.
Vậy .
b) Do AB AD nên do đó .
a) Điểm O nằm ngoài đoạn thẳng AB;
b) Điểm O nằm trong đoạn thẳng AB.
Lời giải:
a)
Do O nằm ngoài đoạn thẳng AB nên hai vectơ và cùng hướng.
Do đó = 0o.
Khi đó = a . b . cos 0o = a.b.
b)
Do O nằm trong đoạn thẳng AB nên hai vectơ và ngược hướng.
Do đó = 180o.
Khi đó = a . b . cos 180o = -a.b.
Lời giải:
Do O là trung điểm của AB nên .
Khi đó
= MO2 - OA2.
Vậy = MO2 - OA2.
Lời giải:
Công sinh bởi lực bằng: 90 . 100 . cos 60o = 4 500 J.
Vậy công sinh bởi lực bằng 4 500 J.
Lời giải:
Gọi hai vectơ đó lần lượt là và .
Khi đó ta có = -6.
3 . 4 . = -6
= 120o.
Vậy góc giữa hai vectơ đó bằng 120o.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ