Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: vectơ AB.vectơ AD, vectơ AB.vectơ AC, vectơ AC.vectơ CB, vectơ AC.vectơ BD

Bài 1 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A\text{D}}$, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{CB}}$,$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{BD}}$.

Trả lời

AC là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông cân có cạnh bằng a nên

AC = $\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$.

Ta có ABCD là hình vuông nên AC = BD = $\sqrt{2}a$.

Vì AB $\perp$ AD nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{A\text{D}}$ ⇒ $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{A\text{D}}$ = 0.

Tam giác ABC vuông cân tại B nên $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$ = 45^o.

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ = a . $\sqrt{2}a$. cos $\widehat{BAC}$ = $\sqrt{2}$a² . cos 45^o = a².

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ = a².

$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{CB}}=-\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{\text{CB}}=-\left|\overrightarrow{CA}\right|.\left|\overrightarrow{CB}\right|.\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{\text{CB}}\right)$ 

= -$\sqrt{2}a$ . a . cos $\widehat{BCA}$ = $-\sqrt{2}$a² . cos 45^o = -a².

Do đó $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{\text{CB}}$ = -a².

Do ABCD là hình vuông nên AC $\perp$ BD.

Do đó $\overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{B\text{D}}$ nên $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{B\text{D}}=$0.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ