Cho hai vectơ i, j vuông góc, cùng có độ dài bằng 1. a) Tính: (vectơ i + vectơ j)^2; (vectơ i - vectơ j)^2; (vectơ i + vectơ j).(vectơ i - vectơ j)

Thực hành 4 trang 101 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ vuông góc, cùng có độ dài bằng 1.

a) Tính: ${\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)}^2;{\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)}^2;\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$.

b) Cho $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j},\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}$. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ và tính góc $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Trả lời

Do hai vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}$ vuông góc nên $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|cos90°=0$.

a) Ta có ${\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)}^2={\overrightarrow{i}}^2+2\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+{\overrightarrow{j}}^2={\left|\overrightarrow{i}\right|}^2+2\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|.cos90°+{\left|\overrightarrow{j}\right|}^2$ = 1² + 2 . 0 + 1² = 2.

${\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)}^2={\overrightarrow{i}}^2-2\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}+{\overrightarrow{j}}^2={\left|\overrightarrow{i}\right|}^2-2\left|\overrightarrow{i}\right|.\left|\overrightarrow{j}\right|.cos90°+{\left|\overrightarrow{j}\right|}^2$ = 1² - 2 . 0 + 1² = 2.

$\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)={\overrightarrow{i}}^2-{\overrightarrow{j}}^2$ =  ${\left|\overrightarrow{i}\right|}^2-{\left|\overrightarrow{j}\right|}^2$= 1² - 1² = 0.

b) $\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}=2\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)$; $\overrightarrow{b}=3\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}=3\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$.

Do đó $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=2\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right).3\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)=6\left(\overrightarrow{i}+\overrightarrow{j}\right)\left(\overrightarrow{i}-\overrightarrow{j}\right)$ = 6 . 0 = 0.

Khi đó cos $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = $\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|}$= 0 (do $\left|\overrightarrow{a}\right|$ > 0 và $\left|\overrightarrow{b}\right|$ > 0).

$\Rightarrow \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$ = 90^o.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ

Bài 3: Tích của một số với một vectơ

Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 5

Bài 1: Số gần đúng và sai số

Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ