Cho tam giác ABC cân tại A (Hình 16). Tia phân giác của góc B cắt AC tại F, tia phân giác của góc C cắt AB tại E

Bài 4 trang 63 Toán 7 Tập 2:

Cho tam giác ABC cân tại A (Hình 16). Tia phân giác của góc B cắt AC tại F, tia phân giác của góc C cắt AB tại E.

a) Chứng minh rằng $\widehat{ABF}=\widehat{ACE}$.

b) Chứng minh rằng tam giác AEF cân.

c) Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tam giác IBC và tam giác IEF là những tam giác cân.

Trả lời

a) Theo đề bài, tam giác ABC cân tại A nên:

AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Vì BF là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên: $\widehat{ABF}=\widehat{FBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ 

Vì CE là tia phân giác của $\widehat{ACB}$ nên: $\widehat{AC\text{E}}=\widehat{ECB}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}$ 

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{ABF}=\widehat{FBC}=\widehat{AC\text{E}}=\widehat{ECB}$

Vậy $\widehat{ABF}=\widehat{AC\text{E}}$.

b) Xét ∆ABF và ∆ACE có:

$\widehat{ABF}=\widehat{AC\text{E}}$ (chứng minh câu a);

AB = AC (chứng minh trên);

$\widehat{A}$ là góc chung.

Do đó ∆ABF = ∆ACE (g.c.g).

Suy ra AF = AE (hai cạnh tương ứng).

Tam giác AEF có AF = AE nên tam giác AEF cân tại A.

c) Ta có $\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (chứng minh câu a) nên $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$.

Tam giác IBC có $\widehat{IBC}=\widehat{ICB}$ nên tam giác IBC cân tại I.

Do đó IB = IC.

Xét ∆EIB và ∆FIC có:

$\widehat{EIB}=\widehat{FIC}$ (hai góc đối đỉnh);

IB = IC (chứng minh trên);

$\widehat{EBI}=\widehat{FCI}$ (do $\widehat{ABF}=\widehat{AC\text{E}}$).

Do đó ∆EIB = ∆FIC (g.c.g).

Suy ra IE = IF (hai cạnh tương ứng).

Tam giác IEF có IE = IF nên tam giác IEF cân tại I.

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 1: Góc và cạnh của một tam giác

Bài 2: Tam giác bằng nhau

Bài 3: Tam giác cân

Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 5: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác