Giải SGK Toán 7 Bài 5 (Chân trời sáng tạo): Đường trung trực của một đoạn thẳng

Giải SGK Toán 7 Bài 5: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Giải Toán 7 trang 67Tập 2

Khởi động trang 67 Toán 7 Tập 2:

Cột điện MN vuông góc với thanh xà AB tại điểm nào của đoạn thẳng AB?

Lời giải:

Theo đề bài, cột điện MN vuông góc với thanh xà AB.

Trên hình vẽ, MN cắt AB tại điểm O.

Do đó, cột điện MN vuông góc với thanh xà AB tại điểm O.

Khám phá 1 trang 67 Toán 7 Tập 2:

Lấy một mảnh giấy như trong Hình 1a, gọi một mép cắt là đoạn thẳng AB. Sau đó gấp mảnh giấy sao cho điểm A trùng với điểm B (Hình 1b).

Theo em nếp gấp xy có vuông góc với đoạn AB tại trung điểm hay không? Tại sao?

Lời giải:

Khi gấp giấy điểm A trùng với điểm B thì ta có OA = OB nên O là trung điểm của AB.

Mặt khác, nếp gấp vuông góc với đoạn AB.

Vậy nếp gấp xy vuông góc với đoạn AB tại trung điểm của AB.

Thực hành 1 trang 67 Toán 7 Tập 2:

Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh AB lấy các điểm M, N, P và trên cạnh DC lấy các điểm M’, N’, P’. Cho biết AM = MN = NP = PB và MM’, NN’, PP’ đều song song với BC (Hình 3). Tìm đường trung trực của mỗi đoạn thẳng AB, AN và NB.

Lời giải:

Theo đề bài ABCD là hình chữ nhật nên MM’ $\perp$ AB, NN’ $\perp$ AB, PP’ $\perp$ AB.

Ta có AN = AM + MN; NB = NP + PB.

• Vì AM = MN = NP = PB nên AN = NB và N nằm giữa AB.

Suy ra N là trung điểm của AB.

Ta có NN’ $\perp$ AB tại N là trung điểm của AB.

Do đó đường trung trực của đoạn AB là NN’.

• Vì AM = MN và M nằm giữa AN nên M là trung điểm của AN.

Ta có MM’ $\perp$ AN tại M là trung điểm của AN.

Do đó đường trung trực của đoạn AN là MM’.

• Vì NP = PB và P nằm giữa N và B nên P là trung điểm của NB.

Ta có PP’ $\perp$ NB tại P là trung điểm của NB.

Do đó đường trung trực của đoạn NB là PP’.

Vậy đường trung trực của mỗi đoạn thẳng AB, AN và NB lần lượt là NN’, MM’, PP’.

Vận dụng 1 trang 67 Toán 7 Tập 2:

Trong Hình 4, hãy cho biết BD có là đường trung trực của đoạn thẳng AC hay không. Tại sao?

Lời giải:

Xét ∆ADP và ∆CDP có:

AD = CD (giả thiết);

AP = CP (giả thiết);

DP là cạnh chung.

Do đó ∆ADP = ∆CDP (c.c.c).

Suy ra $\widehat{APD}=\widehat{CPD}$ (hai cạnh tương ứng).

Mà $\widehat{APD}+\widehat{CPD}=\widehat{APC}={180}^o$.

Khi đó $\widehat{APD}=\widehat{CPD}={90}^o$.

Suy ra AC $\perp$ BD tại P.

Ta có AP = CP (giả thiết) và AC $\perp$ BD tại P (chứng minh trên).

Do đó BD là đường trung trực của đoạn thẳng AC.

Giải Toán 7 trang 68 Tập 2

Khám phá 2 trang 68 Toán 7 Tập 2:

Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm và d là đường trung trực. Lấy điểm M tùy ý thuộc d (Hình 5).

Chứng minh rằng hai tam giác MOA và MOB bằng nhau, từ đó suy ra MA = MB.

Lời giải:

Theo đề bài, đoạn thẳng AB có O là trung điểm và d là đường trung trực.

Suy ra d vuông góc AB tại trung điểm của AB.

Khi đó OA = OB, d $\perp$ AB.

Xét ∆MOA và ∆MOB có:

$\widehat{MOA}=\widehat{MOB}={90}^o$;

OA = OB (chứng minh trên).

OM là cạnh chung.

Do đó ∆MOA = ∆MOB (hai cạnh góc vuông).

Suy ra MA = MB (hai cạnh tương ứng).

Giải Toán 7 trang 69 Tập 2

Thực hành 2 trang 69 Toán 7 Tập 2:

Trong Hình 8, cho biết d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc đường thẳng d, MA = x + 2 và MB = 7. Tính x.

Lời giải:

Theo đề bài, d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc đường thẳng d.

Nên M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Suy ra MA = MB.

Do đó x + 2 = 7 suy ra x = 5.

Vậy x = 5.

Vận dụng 2 trang 69 Toán 7 Tập 2:

Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng thước thẳng và compa theo hướng dẫn sau:

• Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn $\frac{1}{2}$AB (Hình 9a).

• Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng bán kính ở trên (Hình 9b).

• Hai cung tròn này cắt nhau tại M và N (Hình 9c). Dùng thước vẽ đường thẳng MN.

Hãy chứng minh đường thẳng MN chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Lời giải:

Thực hiện các bước theo yêu cầu bài toán.

Ta thấy hai cung tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính cắt nhau tại M và N nên MA = MB = NA = NB.

Với MA = MB thì điểm M nằm trên đường trung trực của đoạn AB;

Với NA = NB thì điểm N nằm trên đường trung trực của đoạn AB.

Vậy MN là đường trung trực của đoạn AB.

B. Bài tập

Giải Toán 7 trang 70 Tập 2

Bài 1 trang 70 Toán 7 Tập 2:

Hình 10 minh họa một tờ giấy có hình vẽ đường trung trực xy của đoạn thẳng AB mà hình ảnh điểm B bị nhòe mất. Hãy nêu cách xác định điểm B.

Lời giải:

Giả sử tia At vuông góc với xy tại H.

Theo đề bài, xy là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên xy vuông góc với AB tại trung điểm của AB.

Trên tia At lấy điểm B sao cho HB = AH, tức H là trung điểm của AB.

Ta có hình vẽ sau:

Bài 2 trang 70 Toán 7 Tập 2:

Quan sát Hình 11, cho biết M là trung điểm của BC, AM vuông góc với BC và AB = 10 cm. Tính AC.

Lời giải:

Ta có M là trung điểm của BC và AM vuông góc với BC tại M.

Nên AM là đường trung trực của BC.

Suy ra A cách đều hai đầu mút B và C hay AB = AC.

Vậy AC = 10 cm.

Bài 3 trang 70 Toán 7 Tập 2:

Quan sát Hình 12, cho biết AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC và DB = DC = 8 cm. Chứng minh rằng ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Lời giải:

Ta có DB = DC = 8 cm nên D nằm trên đường trung trực của đoạn BC.

Mà AM là đường trung trực của đoạn BC hay đường thẳng AM đi qua điểm D.

Vậy ba điểm A, M, D thẳng hàng.

Bài 4 trang 70 Toán 7 Tập 2:

Quan sát Hình 13, biết AB = AC, DB = DC. Chứng minh rằng M là trung điểm của BC.

Lời giải:

Theo đề bài, ta có:

• AB = AC nên A nằm trên đường trung trực của đoạn BC.

• DB = DC nên D nằm trên đường trung trực của đoạn BC.

Suy ra AD là đường trung trực của đoạn BC.

Do đó AD vuông góc với BC tại trung điểm của BC.

Mà AD cắt BC tại M nên M là trung điểm của BC.

Vậy M là trung điểm của BC.

Bài 5 trang 70 Toán 7 Tập 2:

Cho hai điểm M và N nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng EF.

Chứng minh rằng ∆EMN = ∆FMN.

Lời giải:

Vì hai điểm M và N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF

Nên hai điểm M và N cách đều hai đầu mút E và F

Hay ME = MF và NE = NF.

Xét ∆EMN và ∆FMN có:

ME = MF (chứng minh trên);

NE = NF (chứng minh trên);

MN là cạnh chung.

Do đó ∆EMN = ∆FMN (c.c.c).

Bài 6 trang 70 Toán 7 Tập 2:

Trên bản đồ quy hoạch một khu dân cư có một con đường d và hai điểm dân cư A và B (Hình 14). Hãy tìm bên đường một địa điểm M để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế cách đều hai điểm dân cư.

Lời giải:

Trạm y tế cách đều hai điểm dân cư tức là điểm M cách đều hai điểm A và B.

Hay MA = MB.

Khi đó M nằm trên đường trung trực của AB.

Mà M nằm trên đường thẳng d nên M là giao điểm của d và đường trung trực của AB.

Vậy địa điểm M để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế cách đều hai điểm dân cư thì M là giao điểm của d và đường trung trực của AB.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: 

Bài 3: Tam giác cân

Bài 4: Đường vuông góc và đường xiên

Bài 6: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 8: Tính chất ba đường cao của tam giác