a) Rút gọn biểu thức P = (x^2 + 2x)/(x^3 - 1) - 1/(x^2 - x) - 1/(x^2 + x + 1) (x ≠ 0, x ≠ 1)

Bài tập 6.24 trang 10 SBT Toán 8 Tập 2: a) Rút gọn biểu thức $P=\frac{x^2+2x}{x^3-1}-\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x^2+x+1}$ (x ≠ 0, x ≠ 1).

b) Chứng tỏ rằng chỉ có một giá trị nguyên của của x để P cũng nhận giá trị nguyên

Trả lời

a) Ta có:

$P=\frac{x^2+2x}{x^3-1}-\frac{1}{x^2-x}-\frac{1}{x^2+x+1}$ (x ≠ 0, x ≠ 1)

$=\frac{x^2+2x}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{1}{x\left(x-1\right)}-\frac{1}{x^2+x+1}$

$=\frac{\left(x^2+2x\right)x}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{x^2+x+1}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}-\frac{x\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{\left(x^2+2x\right)x-\left(x^2+x+1\right)-x\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{x^3+2x^2-x^2-x-1-x^2+x}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$$=\frac{x^3-1}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$$=\frac{1}{x}$

b) Để P nguyên thì 1 ⋮ x, tức là x ∈ Ư(1).

Suy ra x ∈ Ư(1) = {1; –1}.

Mà điều kiện xác định của P là x ≠ 0, x ≠ 1 nên ta loại trường hợp x = 1.

Do đó, chỉ có một giá trị x = –1 thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: