Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Sách bài tập Toán 8 Bài 24: Phép nhân và phép chia phân thức đại số

Bài tập 6.27 trang 12 SBT Toán 8 Tập 2: Thực hiện các phép tính sau:

a) $\frac{2x^3}{5y^2}.\frac{125y^5}{8x}$;

b) $\frac{24y^5}{7x^2}.\left(-\frac{21x}{12y^3}\right)$.

Lời giải:

a) $\frac{2x^3}{5y^2}.\frac{125y^5}{8x}=\frac{2x^3.125y^5}{5y^2.8x}$$=\frac{2x^3\mathrm{.5.25}{y}^5}{5y^2\mathrm{.2.4}x}=\frac{25x^3{y}^5}{4x{y}^2}=\frac{25x^2{y}^3}{4}$.

b)$\frac{24y^5}{7x^2}.\left(-\frac{21x}{12y^3}\right)=\frac{24y^5.\left(-21x\right)}{7x^2.12y^3}$$=\frac{12.2y^5.\left(-3\right).7x}{7x^2.12y^3}=\frac{-6x{y}^5}{x^2{y}^3}=\frac{-6y^2}{x}$.

Bài tập 6.28 trang 12 SBT Toán 8 Tập 2: Tính

a)$\frac{x^2-6x+9}{x^2-3x+9}.\frac{x^3+27}{3x-9}$;

b) $\frac{2x^2-20x+50}{3x+3}.\frac{x^2-1}{4{\left(x-5\right)}^3}$.

Lời giải:

a) $\frac{x^2-6x+9}{x^2-3x+9}.\frac{x^3+27}{3x-9}=\frac{{\left(x-3\right)}^2}{x^2-3x+9}.\frac{\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)}{3\left(x-3\right)}$

$=\frac{{\left(x-3\right)}^2\left(x+3\right)\left(x^2-3x+9\right)}{3\left(x-3\right)\left(x^2-3x+9\right)}=\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{3}=\frac{x^2-9}{3}$.

b) $\frac{2x^2-20x+50}{3x+3}.\frac{x^2-1}{4{\left(x-5\right)}^3}$

$=\frac{2\left(x^2-10x+25\right)}{3\left(x+1\right)}.\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{4{\left(x-5\right)}^3}$

$=\frac{2{\left(x-5\right)}^2}{3\left(x+1\right)}.\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{4{\left(x-5\right)}^3}$

$=\frac{2{\left(x-5\right)}^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{3\left(x+1\right).4{\left(x-5\right)}^3}=\frac{x-1}{6\left(x-5\right)}$

Bài tập 6.29 trang 12 SBT Toán 8 Tập 2: Tính:

a)$\frac{x^2-y^2}{6x^{2}y}:\frac{x+y}{3xy}$;

b) $16x^2{y}^2:\left(-\frac{18x^2{y}^5}{5}\right)$;

c) $\frac{1-4x^2}{x^2+4x}:\frac{2-4x}{3x}$.

Lời giải:

a) $\frac{x^2-y^2}{6x^{2}y}:\frac{x+y}{3xy}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{6x^{2}y}.\frac{3xy}{x+y}$

$=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right).3xy}{6x^{2}y.\left(x+y\right)}=\frac{x-y}{2x}$.

b)$16x^2{y}^2:\left(-\frac{18x^2{y}^5}{5}\right)=16x^2{y}^2.\frac{5}{\left(-18x^2{y}^5\right)}$$=\frac{16x^2{y}^2.5}{-18x^2{y}^5}=\frac{-40}{9y^3}$

c) $\frac{1-4x^2}{x^2+4x}:\frac{2-4x}{3x}=\frac{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}{x\left(x+4\right)}:\frac{2\left(1-2x\right)}{3x}$

$=\frac{\left(1-2x\right)\left(1+2x\right)}{x\left(x+4\right)}.\frac{3x}{2\left(1-2x\right)}$

$=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right).3xy}{6x^{2}y.\left(x+y\right)}=\frac{x-y}{2x}$

Bài tập 6.30 trang 12 SBT Toán 8 Tập 2: Thực hiện phép tính

a) $\left(\frac{1}{x^2+x}-\frac{2-x}{x+1}\right):\left(\frac{1}{x}+x-2\right)$;

b) $\left(\frac{3x}{1-3x}+\frac{2x}{3x+1}\right):\frac{6x^2+10x}{1-6x+9x^2}$.

Lời giải:

a)$\left(\frac{1}{x^2+x}-\frac{2-x}{x+1}\right):\left(\frac{1}{x}+x-2\right)$

$=\left[\frac{1}{x\left(x+1\right)}-\frac{2-x}{x+1}\right]:\left(\frac{1}{x}+\frac{x^2}{x}-\frac{2x}{x}\right)$

$=\left[\frac{1}{x\left(x+1\right)}-\frac{x\left(2-x\right)}{x\left(x+1\right)}\right]:\left(\frac{1+x^2-2x}{x}\right)$

$=\left[\frac{1-x\left(2-x\right)}{x\left(x+1\right)}\right]:\left[\frac{{\left(x-1\right)}^2}{x}\right]$

$=\frac{1-2x+x^2}{x\left(x+1\right)}.\frac{x}{{\left(x-1\right)}^2}$

$=\frac{{\left(x-1\right)}^2.x}{x.{\left(x-1\right)}^2\left(x+1\right)}$

$=\frac{1}{x+1}$

b) $\left(\frac{3x}{1-3x}+\frac{2x}{3x+1}\right):\frac{6x^2+10x}{1-6x+9x^2}$

$=\left[\frac{3x\left(3x+1\right)}{\left(1-3x\right)\left(3x+1\right)}+\frac{2x\left(1-3x\right)}{\left(1-3x\right)\left(3x+1\right)}\right]:\frac{2x\left(3x+5\right)}{{\left(1-3x\right)}^2}$

$=\left[\frac{3x\left(3x+1\right)+2x\left(1-3x\right)}{\left(1-3x\right)\left(3x+1\right)}\right]:\frac{2x\left(3x+5\right)}{{\left(1-3x\right)}^2}$

$=\left[\frac{9x^2+3x+2x-6x^2}{\left(1-3x\right)\left(3x+1\right)}\right]:\frac{2x\left(3x+5\right)}{{\left(1-3x\right)}^2}$

$=\left[\frac{3x^2+5x}{\left(1-3x\right)\left(3x+1\right)}\right]:\frac{2x\left(3x+5\right)}{{\left(1-3x\right)}^2}$

$=\frac{x\left(3x+5\right)}{\left(1-3x\right)\left(3x+1\right)}:\frac{2x\left(3x+5\right)}{{\left(1-3x\right)}^2}$

$=\frac{x\left(3x+5\right)}{\left(1-3x\right)\left(3x+1\right)}.\frac{{\left(1-3x\right)}^2}{2x\left(3x+5\right)}$

$=\frac{1-3x}{2\left(3x+1\right)}$

Bài tập 6.31 trang 13 SBT Toán 8 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau

a) $\left(\frac{9}{x^3-9x}+\frac{1}{x+3}\right):\left(\frac{x-3}{x^2+3x}-\frac{x}{3x+9}\right)$;

b) $\frac{x+1}{x+2}.\left(\frac{x+2}{x+3}:\frac{x+3}{x+1}\right)$.

Lời giải:

a) $\left(\frac{9}{x^3-9x}+\frac{1}{x+3}\right):\left(\frac{x-3}{x^2+3x}-\frac{x}{3x+9}\right)$

$=\left[\frac{9}{x\left(x^2-9\right)}+\frac{1}{x+3}\right]:\left[\frac{x-3}{x\left(x+3\right)}-\frac{x}{3\left(x+3\right)}\right]$

$=\left[\frac{9}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{1}{x+3}\right]:\left[\frac{x-3}{x\left(x+3\right)}-\frac{x}{3\left(x+3\right)}\right]$

$=\left[\frac{9}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{x\left(x-3\right)}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right]:\left[\frac{3\left(x-3\right)}{3x\left(x+3\right)}-\frac{x^2}{3x\left(x+3\right)}\right]$

$=\left[\frac{9+x\left(x-3\right)}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right]:\left[\frac{3\left(x-3\right)-x^2}{3x\left(x+3\right)}\right]$

$=\frac{9+x^2-3x}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}:\frac{3x-9-x^2}{3x\left(x+3\right)}$

$=\frac{x^2-3x+9}{x\left(x-3\right)\left(x+3\right)}.\frac{3x\left(x+3\right)}{-\left(x^2-3x+9\right)}$

$=\frac{-3}{x-3}$

b) $\frac{x+1}{x+2}.\left(\frac{x+2}{x+3}:\frac{x+3}{x+1}\right)$

$=\frac{x+1}{x+2}.\left(\frac{x+2}{x+3}.\frac{x+1}{x+3}\right)$

$=\frac{x+1}{x+2}.\frac{\left(x+2\right).\left(x+1\right)}{{\left(x+3\right)}^2}$

$=\frac{\left(x+1\right)\left(x+2\right).\left(x+1\right)}{\left(x+2\right){\left(x+3\right)}^2}$

$=\frac{{\left(x+1\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}={\left(\frac{x+1}{x+3}\right)}^2$

Bài tập 6.32 trang 13 SBT Toán 8 Tập 2: Cho biểu thức

P = $\left(\frac{1}{x-1}-\frac{x}{1-x^3}.\frac{x^2+x+1}{x+1}\right):\frac{2x+1}{x^2+2x+1}$.

a) Viết điều kiện xác định của P.

b) Rút gọn biểu thức P.

c) Tính giá trị của P khi $x=\frac{1}{2}$.

Lời giải:

a) Điều kiện xác định của P là: $\left\{\begin{array}{l}x-1\ne 0\\ 1-x^3\ne 0\\ x+1\ne 0\\ x^2+2x+1={\left(x+1\right)}^2\ne 0\end{array}\right.hay\left\{\begin{array}{l}x\ne 1\\ x\ne -1\end{array}\right.$.

b) P = $\left(\frac{1}{x-1}-\frac{x}{1-x^3}.\frac{x^2+x+1}{x+1}\right):\frac{2x+1}{x^2+2x+1}$

$=\left[\frac{1}{x-1}-\frac{x}{\left(1-x\right)\left(x^2+x+1\right)}.\frac{x^2+x+1}{x+1}\right]:\frac{2x+1}{{\left(x+1\right)}^2}$

$=\left[\frac{1}{x-1}+\frac{x\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\left(x+1\right)}\right]:\frac{2x+1}{{\left(x+1\right)}^2}$

$=\left[\frac{1}{x-1}+\frac{x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right]:\frac{2x+1}{{\left(x+1\right)}^2}$

$=\left[\frac{x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+\frac{x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right]:\frac{2x+1}{{\left(x+1\right)}^2}$

$=\left[\frac{x+1+x}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\right]:\frac{2x+1}{{\left(x+1\right)}^2}$

$=\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}.\frac{{\left(x+1\right)}^2}{2x+1}$

c) Thay $x=\frac{1}{2}$ vào P sau khi rút gọn ta có: $P=\frac{\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}-1}=\frac{\frac{3}{2}}{-\frac{1}{2}}=-3$

Bài tập 6.33 trang 13 SBT Toán 8 Tập 2: Hai công nhân cùng làm một mặt hàng. Người công nhân thứ nhất làm được 1 000 sản phẩm trong x (giờ); người công nhân thứ hai làm được 1 250 sản phẩm trong x + 10 (giờ).

a) Viết các phân thức biểu thị số sản phẩm người công nhân thứ nhất làm được trong 1 giờ; số sản phẩm người công nhân thứ hai làm được trong 1 giờ; tỉ số giữa năng suất của người công nhân thứ hai so với năng suất của người công nhân thứ nhất.

b) Tính giá trị tỉ số giữa năng suất của người công nhân thứ hai so với năng suất của người công nhân thứ nhất trong trường hợp x = 240. Hãy cho biết trong trường hợp này, năng suất lao động của người công nhân thứ hai tăng bao nhiêu phần trăm so với năng suất lao động của người công nhân thứ nhất.

Lời giải:

a) Phân thức biểu thị số sản phẩm người công nhân thứ nhất làm được trong 1 giờ là:

$\frac{1000}{x}$ (sản phẩm).

Phân thức biểu thị số sản phẩm người công nhân thứ hai làm được trong 1 giờ là:

$\frac{1250}{x+10}$ (sản phẩm).

Tỉ số giữa năng suất của người công nhân thứ hai so với năng suất của người công nhân thứ nhất là: $\frac{1250}{x+10}:\frac{1000}{x}=\frac{1250}{x+10}.\frac{x}{1000}=\frac{5x}{4\left(x+10\right)}$

b) Giá trị tỉ số giữa năng suất của người công nhân thứ hai so với năng suất của người công nhân thứ nhất trong trường hợp x = 240 là: $\frac{5.240}{4\left(240+10\right)}=\mathrm{1,2}$= 120%.

Do đó, năng suất lao động của người công nhân thứ hai tăng 20% phần trăm so với năng suất lao động của người công nhân thứ nhất.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: