Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Sách bài tập Toán 8 Bài 22: Tính chất cơ bản của phân thức đại số

Bài tập 6.6 trang 6 SBT Toán 8 Tập 2: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, chứng minh $\frac{x^4-1}{x-1}=x^3+x^2+x+1$

Lời giải:

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x^4-1}{x-1}$ là x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Với điều kiện trên, ta có:

$\frac{x^4-1}{x-1}=\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{x-1}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right):\left(x-1\right)}{\left(x-1\right):\left(x-1\right)}$

$=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=x^3+x^2+x+1$

Bài tập 6.7 trang 6 SBT Toán 8 Tập 2: Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức và quy tắc đổi dấu, viết phân thức $\frac{24x^2{y}^2}{3x{y}^5}$ thành một phân thức có mẫu là –y³ rồi tìm đa thức B trong đẳng thức $\frac{24x^2{y}^2}{3x{y}^5}=\frac{B}{-y^3}$

Lời giải:

Với x ≠ 0, y ≠ 0. Ta có:

$\frac{24x^2{y}^2}{3x{y}^5}=\frac{24x^2{y}^2:3x{y}^2}{3x{y}^5:3x{y}^2}=\frac{8x}{y^3}$

Áp dụng quy tắc đổi dấu: $\frac{8x}{y^3}=\frac{-8x}{-y^3}$

Do đó, $\frac{24x^2{y}^2}{3x{y}^5}=\frac{-8x}{-y^3}=\frac{B}{-y^3}$

Vậy B = –8x.

Bài tập 6.8 trang 7 SBT Toán 8 Tập 2: Rút gọn phân thức $\frac{x-x^2}{5x^2-5}$ rồi tìm đa thức A trong đẳng thức $\frac{x-x^2}{5x^2-5}=\frac{x}{A}$

Lời giải:

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{x-x^2}{5x^2-5}$ là: 5x² – 5 ≠ 0 hay 5(x² – 1) ≠ 0, điều đó có nghĩa là 5(x – 1)(x + 1) ≠ 0 hay x ≠ 1 và x ≠ –1.

Với điều kiện trên, ta có:

$\frac{x-x^2}{5x^2-5}=\frac{x\left(1-x\right)}{5\left(x^2-1\right)}=\frac{x\left(1-x\right)}{5\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\frac{x\left(1-x\right)}{-5\left(1-x\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{x\left(1-x\right):\left(1-x\right)}{-5\left(1-x\right)\left(x+1\right):\left(1-x\right)}=\frac{x}{-5\left(x+1\right)}=\frac{x}{-5x-5}$

Do đó, ta có: $\frac{x-x^2}{5x^2-5}=\frac{x}{-5x-5}=\frac{x}{A}$

Vậy A = –5x – 5.

Bài tập 6.9 trang 7 SBT Toán 8 Tập 2: Rút gọn phân thức $\frac{2x+2xy+y+y^2}{y^3+3y^2+3y+1}$

Lời giải:

Ta có:

$\frac{2x+2xy+y+y^2}{y^3+3y^2+3y+1}=\frac{\left(2x+2xy\right)+\left(y+y^2\right)}{\left(y^3+1\right)+\left(3y^2+3y\right)}$

$=\frac{2x\left(1+y\right)+y\left(1+y\right)}{\left(y+1\right)\left(y^2-y+1\right)+3y\left(y+1\right)}$

$=\frac{\left(y+1\right)\left(2x+y\right)}{\left(y+1\right)\left(y^2-y+1+3y\right)}=\frac{\left(y+1\right)\left(2x+y\right)}{\left(y+1\right)\left(y^2+2y+1\right)}$

$=\frac{2x+y}{y^2+2y+1}=\frac{2x+y}{{\left(y+1\right)}^2}$

Bài tập 6.10 trang 7 SBT Toán 8 Tập 2: Rút gọn rồi tính giá trị của các phân thức sau

a) $P=\frac{\left(2x^2+2x\right){\left(2-x\right)}^2}{\left(x^3-4x\right)\left(x+1\right)}$ với x = 0,5;

b) $Q=\frac{x^3-x^{2}y+x{y}^2}{x^3+y^3}$ với x = –5; y = 10.

Lời giải:

a)

Ta có:

$P=\frac{\left(2x^2+2x\right){\left(2-x\right)}^2}{\left(x^3-4x\right)\left(x+1\right)}=\frac{2x\left(x+1\right){\left(2-x\right)}^2}{x\left(x^2-4\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{2x\left(x+1\right){\left(x-2\right)}^2}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{2\left(x-2\right)}{x+2}=\frac{2x-4}{x+2}$

Thay x = 0,5 vào P ta có: $P=\frac{\mathrm{2.0,5}-4}{\mathrm{0,5}+2}=-\mathrm{1,2}$

b)

Ta có:

$Q=\frac{x^3-x^{2}y+x{y}^2}{x^3+y^3}=\frac{x\left(x^2-xy+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}=\frac{x}{x+y}$

Thay x = –5 và y = 10 vào Q ta có: $Q=\frac{x}{x+y}=\frac{-5}{-5+10}=-1$

Bài tập 6.11 trang 7 SBT Toán 8 Tập 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau

a)$\frac{25}{14x^{2}y}$và $\frac{14}{21x{y}^5}$ ;

b) $\frac{4x-4}{2x\left(x+3\right)}$ và $\frac{x-3}{3x\left(x+1\right)}$.

Lời giải:

a)

Mẫu thức chung là: 42x²y⁵

Ta có: 42x²y⁵ : 14x²y = 3y⁴ ; 42x²y⁵ : 21xy⁵ = 2x

Quy đồng mẫu thức ta có:

$\frac{25}{14x^{2}y}=\frac{25.3y^4}{14x^{2}y.3y^4}=\frac{75y^4}{42x^2{y}^5}$

$\frac{14}{21x{y}^5}=\frac{14.2x}{21x{y}^5.2x}=\frac{28x}{42x^2{y}^5}$.

b) Ta có $\frac{4x-4}{2x\left(x+3\right)}=\frac{2\left(2x-2\right)}{2x\left(x+3\right)}=\frac{2x-2}{x\left(x+3\right)}$.

Mẫu thức chung: 3x(x + 3)(x + 1).

Ta có:

3x(x + 3)(x + 1) : x(x + 3) = 3(x + 1)

3x(x + 3)(x + 1) : 3x(x + 1) = (x + 3)

Quy đồng mẫu thức ta có:

$\frac{2x-2}{x\left(x+3\right)}=\frac{\left(2x-2\right).3\left(x+1\right)}{x\left(x+3\right).3\left(x+1\right)}=\frac{3\left(2x-2\right)\left(x+1\right)}{3x\left(x+3\right)\left(x+1\right)}$

$=\frac{6\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{3x\left(x+3\right)\left(x+1\right)}=\frac{6\left(x^2-1\right)}{3x\left(x+3\right)\left(x+1\right)}$;

$$\begin{gathered} \frac{x-3}{3x\left(x+1\right)}=\frac{\left(x-3\right).\left(x+3\right)}{3x\left(x+1\right).\left(x+3\right)} \\ =\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{3x\left(x+3\right)\left(x+1\right)}=\frac{x^2-9}{3x\left(x+3\right)\left(x+1\right)} \end{gathered}$$

Bài tập 6.12 trang 7 SBT Toán 8 Tập 2: Tìm mẫu thức chung của ba phân thức sau

$\frac{1}{x^2-x}$; $\frac{x}{1-x^3}$ và $\frac{-1}{x^2+x+1}$.

Quy đồng mẫu thức ba phân thức đã cho với mẫu thức chung tìm được.

Lời giải:

Ta có:

$\frac{1}{x^2-x}=\frac{1}{x\left(x-1\right)}$

$\frac{x}{1-x^3}=\frac{x}{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)}=\frac{-x}{\left(x-1\right)\left(1+x+x^2\right)}$

$\frac{-1}{x^2+x+1}$

Mẫu thức chung: x(x – 1)(1 + x + x²)

Quy đồng mẫu thức ta có:

$\frac{1}{x^2-x}=\frac{1}{x\left(x-1\right)}=\frac{x^2+x+1}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$;

$$\begin{gathered} \frac{x}{1-x^3}=\frac{x}{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)} \\ =\frac{-x}{\left(x-1\right)\left(1+x+x^2\right)}=\frac{-x^2}{x\left(x-1\right)\left(1+x+x^2\right)} \end{gathered}$$

$\frac{-1}{x^2+x+1}=\frac{-x\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$.

Bài tập 6.13 trang 7 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau

a) $\frac{1}{x^{2}y}$; $\frac{1}{y^{2}z}$ và $\frac{1}{z^{2}x}$;

b) $\frac{1}{1-x}$; $\frac{1}{x+1}$ và $\frac{1}{x^2+1}$.

Lời giải:

a)

Mẫu thức chung: x²y²z²

Quy đồng mẫu thức ta có:

$\frac{1}{x^{2}y}=\frac{y{z}^2}{x^{2}y.y{z}^2}=\frac{y{z}^2}{x^2{y}^2{z}^2}$

$\frac{1}{y^{2}z}=\frac{x^{2}z}{y^{2}z.x^{2}z}=\frac{x^{2}z}{x^2{y}^2{z}^2}$

$\frac{1}{z^{2}x}=\frac{x{y}^2}{z^{2}x.x{y}^2}=\frac{x{y}^2}{x^2{y}^2{z}^2}$.

b)

Mẫu thức chung: (1 – x)(x + 1)(x² + 1) = (1 – x²)(x² + 1) = 1 – x⁴.

Quy đồng mẫu thức ta có:

$\frac{1}{1-x}=\frac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{\left(1-x\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{1-x^4}$;

$\frac{1}{x+1}=\frac{\left(1-x\right)\left(x^2+1\right)}{\left(1-x\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(1-x\right)\left(x^2+1\right)}{1-x^4}$;

$\frac{1}{x^2+1}=\frac{\left(1-x\right)\left(x+1\right)}{\left(1-x\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(1-x\right)\left(x+1\right)}{1-x^4}=\frac{1-x^2}{1-x^4}$.

Bài tập 6.14 trang 7 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 0 và x ≠ 0, y ≠ z. Hãy rút gọn phân thức $\frac{x}{y^2-z^2}$

Lời giải:

Ta có: $\frac{x}{y^2-z^2}=\frac{x}{\left(y-z\right)\left(y+z\right)}$(1)

Vì x + y + z = 0 nên ta có x = – y – z.

Thay vào (1) ta có:

$\frac{x}{y^2-z^2}=\frac{-y-z}{\left(y-z\right)\left(y+z\right)}=\frac{-\left(y+z\right)}{\left(y-z\right)\left(y+z\right)}=\frac{-1}{y-z}=\frac{1}{z-y}$.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: