10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Tính độ dài vectơ khi biết tích vectơ với một số có đáp án

Câu 1:

Cho tam giác đều ABC cạnh 4. Vectơ $- \frac{1}{2} \vec{B C}$ có độ dài là.

A. 2

B. 4

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Do tam giác ABC đều cạnh 4 nên: AB = AC = BC = 4

⇒ $|\vec{B C}| = B C$ = 4

Ta có: $|- \frac{1}{2} \vec{B C}| = |- \frac{1}{2}| . |\vec{B C}| = \frac{1}{2} .4 = 2$ .

Câu 2:

Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 3. Ta có $|\frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{D B}|$ = ?

A. 2

B. 4

C. 3

D. 6

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Do O là tâm của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD nên ta có:

$\frac{1}{2} \vec{A C} = \vec{A O}$ ; $\frac{1}{2} \vec{D B} = \vec{O B}$ .

$\Rightarrow \frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{D B} = \vec{A O} + \vec{O B} = \vec{A B}$

$\Rightarrow |\frac{1}{2} \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{D B}| = |\vec{A B}| = A B = 3$ .

Câu 3:

Cho hình thoi ABCD cạnh 5 và $\hat{A B C} = 60^{o}$ . Tính: $|2 \vec{A B} + 2 \vec{A D}|$ .

A. 10;

B.

\frac{5 \sqrt{3}}{2}

;

C. 5;

D.

5 \sqrt{3}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho hình thoi ABCD cạnh 5 và góc ABC=60 độ. Tính: | 2vecto AB+ 2 vecto AD|. (ảnh 1)

Ta có: $2 \vec{A B} + 2 \vec{A D} = 2 (\vec{A B} + \vec{A D}) = 2 \vec{A C}$ (áp dụng quy tắc hình bình hành)

Xét tam giác ABC có:

$\hat{A B C} = 60^{o}$

AB = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

⇒ AC = AB = BC = 5

Vậy $|2 \vec{A B} + 2 \vec{A D}| = |2 \vec{A C}| = |2| |\vec{A C}| = 2. A C = 2.5 = 10$ .

Câu 4:

Cho hình thoi ABCD cạnh 5 và $\hat{A B C} = 60^{o}$ . Tính: $|2 \vec{A B} - 2 \vec{A D}|$ .

A. 10;

B.

\frac{5 \sqrt{3}}{2}

;

C. 5;

D.

10 \sqrt{3}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: $2 \vec{A B} - 2 \vec{A D} = 2 (\vec{A B} - \vec{A D}) = 2 \vec{D B}$ (hiệu hai vectơ).

Gọi O là giao hai đường chéo của hình thoi, khi đó O là trung điểm của AC và BD. Hơn nữa hai đường chéo này vuông góc với nhau tại O.

Xét tam giác ABC có:

$\hat{A B C} = 60^{o}$

AB = BC (do ABCD là hình thoi)

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều

⇒ AC = AB = BC = 5

$\Rightarrow A O = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} .5 = 2, 5$

Xét tam giác AOB vuông tại O, theo định lí Pytahgore ta có:

$A B^{2} = A O^{2} + B O^{2} \Rightarrow B O^{2} = A B^{2} - A O^{2} = 5^{2} - 2, 5^{2} = 18, 75$

$\Rightarrow B O = \frac{5 \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow B D = 2 B O = 2. \frac{5 \sqrt{3}}{2} = 5 \sqrt{3}$

Vậy $|2 \vec{A B} - 2 \vec{A D}| = |2 \vec{D B}| = |2| |\vec{D B}| = 2 D B = 2.5 \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}$ .

Câu 5:

Cho hình chữ nhật ABCD tâm O có AB = 4, AD = 3. Tính độ dài vectơ $\frac{1}{2} \vec{D B}$ .

A. 5

B. 2,5

C. 1,5

D. 2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Cho hình chữ nhật ABCD tâm O có AB = 4, AD = 3. Tính độ dài vectơ 1/2 vecto DB (ảnh 1)

Xét tam giác ABD vuông tại A (do ABCD là hình chữ nhật)

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

BD² = AB² + AD² = 4² + 3² = 25 ⇔ BD = 5

Có: $|\frac{1}{2} \vec{D B}| = |\frac{1}{2}| |\vec{D B}| = \frac{1}{2} D B = \frac{1}{2} .5 = 2, 5$ .

Câu 6:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Điểm M là trung điểm BC. Tính: $|\frac{1}{2} \vec{C B} + \vec{M A}|$ .

A. a;

B. 3a;

C. 2a;

D. 4a.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Điểm M là trung điểm BC. Tính: |1/2 vecto CB+ vecto MA| (ảnh 1)

Do M là trung điểm của BC nên ta có: $\frac{1}{2} \vec{C B} = \vec{C M}$

Do đó, ta có: $\frac{1}{2} \vec{C B} + \vec{M A} = \vec{C M} + \vec{M A} = \vec{C A}$

Vậy $|\frac{1}{2} \vec{C B} + \vec{M A}| = |\vec{C A}| = C A = a$ .

Câu 7:

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính: $|\vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}|$ .

A. a;

B. 3a;

C.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

;

D.

a \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Tính: | vecto BA- 1/2 vecto BC | (ảnh 1)

Gọi M là trung điểm của BC.

Do đó ta có: $\frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{B M}$

Khi đó: $\vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{B A} - \vec{B M} = \vec{M A}$ (hiệu hai vectơ)

$\Leftrightarrow |\vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}| = |\vec{M A}| = M A$ .

Do tam giác ABC đều nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác AMB vuông tại M.

Ta có: BM = $\frac{1}{2} B C = \frac{a}{2}$ .

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

AB² = AM² + BM² ⇔ AM² = AB² – BM² = a² – ${(\frac{a}{2})}^{2}$ = $\frac{3 a^{2}}{4}$ $\Leftrightarrow M A = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Vậy $|\vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}| = M A = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Câu 8:

Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a. Ta có $|2 \vec{D O} + \vec{B C} + 2 \vec{C O}|$ = ?

A. a;

B. 3a;

C.

\frac{a \sqrt{3}}{2}

;

D.

a \sqrt{2}

.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a. Ta có |2 vecto DO+ BC+ 2 vecto CO| = ? (ảnh 1)

Vì O là tâm hình thoi ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó ta có:

$2 \vec{D O} = \vec{D B}$ ;

$2 \vec{C O} = \vec{C A}$ .

Khi đó:

$2 \vec{D O} + \vec{B C} + 2 \vec{C O} = \vec{D B} + \vec{B C} + \vec{C A} = \vec{D C} + \vec{C A} = \vec{D A}$ (áp dụng quy tắc ba điểm)

Suy ra: $|2 \vec{D O} + \vec{B C} + 2 \vec{C O}| = |\vec{D A}|$ = DA = a.

Câu 9:

Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a. Vectơ tổng $2 \vec{A B} + 2 \vec{D C}$ có độ dài là

A. a;

B. 8a;

C. 4a;

D. 2a.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 2a. Vectơ tổng 2 vecto AB+ vecto 2 DC có độ dài là (ảnh 1)

Xét hình vuông ABCD có: $\vec{A B} = \vec{D C}$

Ta có: $|2 \vec{A B} + 2 \vec{D C}| = |2 \vec{A B} + 2 \vec{A B}| = |4 \vec{A B}| = |4| |\vec{A B}| = 4. A B = 4.2 a = 8 a$ .

Câu 10:

Cho tam giác ABC đều cạnh 4a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Tính: $|\frac{1}{2} \vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}|$ .

Cho tam giác ABC đều cạnh 4a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC (ảnh 1)

A. a;

B. 8a;

C. 4a;

D. 2a.

Xem đáp án

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có:

$\frac{1}{2} \vec{B A} = \vec{B M}$ (do M là trung điểm AB)

$\frac{1}{2} \vec{B C} = \vec{B P}$ (do P là trung điểm BC)

$|\frac{1}{2} \vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}| = |\vec{B M} - \vec{B P}| = |\vec{P M}| = P M$ (áp dụng quy tắc trừ hai vectơ)

Xét tam giác ABC đều

M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC

Do đó, PM là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow P M = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} .4 a = 2 a$

Vậy $|\frac{1}{2} \vec{B A} - \frac{1}{2} \vec{B C}| = 2 a$ .

Trắc nghiệm Toán 10 CTST Bài 3. Tích của một số với một vectơ có đáp án

Dạng 1: Tính độ dài vectơ khi biết tích vectơ với một số có đáp án

Danh sách câu hỏi

Bài thi liên quan

Có thể bạn quan tâm

Các bài thi hot trong chương