Giải SGK Toán 7 Bài 13 (Cánh diều): Tính chất ba đường cao của tam giác
A. Câu hỏi trong bài
Giải Toán 7 trang 116 Tập 2
Câu hỏi khởi động trang 116 Toán 7 Tập 2:
Em có nhận xét gì về ba đường thẳng AM, BN, CP.
Lời giải:
Vì M, N, P lần lượt là hình chiếu của A, B, C trên các đường thẳng BC, CA, AB nên AM, BN, CP lần lượt là ba đường cao tương ứng kẻ từ ba đỉnh A, B, C.
Quan sát Hình 132, ta thấy ba đường cao AM, BN, CP cùng đi qua một điểm.
Hoạt động 1 trang 116 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC (Hình 133).
Bằng cách sử dụng ê ke, vẽ hình chiếu M của điểm A trên đường thẳng BC.
Lời giải:
Vì M là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng BC nên AM BC tại M.
Do đó ta dùng hai cạnh góc vuông của thước ê ke để vẽ AM BC tại M bằng cách đặt thước như sau:
+ Một cạnh góc vuông của ê ke trùng với cạnh BC;
+ Một cạnh góc vuông còn lại của ê ke đi qua điểm A.
Khi đó ta vẽ đường thẳng theo cạnh góc vuông đó của ê ke, đường thẳng này cắt cạnh BC tại một điểm, điểm này là điểm M cần vẽ.
Ta có hình vẽ sau:
Giải Toán 7 trang 117 Tập 2
Lời giải:
Tam giác ABC vuông tại A nên BA CA tại A.
Do đó:
+ Đường cao đi qua B và vuông góc với AC là AB.
+ Đường cao đi qua C và vuông góc với AB là AC.
Lời giải:
Quan sát Hình 132, ta thấy ba đường cao AM, BN, CP cùng đi qua điểm H.
Lời giải:
GT |
ABC đều, G là trọng tâm của ABC |
KL |
G là trực tâm của ABC |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB và AC.
Vì tam giác ABC đều (giả thiết) nên AB = BC = CA.
Mà M là trung điểm của AB nên AM = BM.
Xét AMC và BMC có:
AC = BC (chứng minh trên),
MC là cạnh chung,
AM = BM (chứng minh trên).
Do đó AMC = BMC (c.c.c).
Suy ra (hai góc tương ứng).
Mà nên .
Do đó CM AB tại M.
Do đó CM là đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác ABC.
Chứng minh tương tự ta cũng có BN là đường cao kẻ từ đỉnh B của tam giác ABC.
Tam giác ABC có hai đường cao BN và CM cắt nhau tại G nên G là trực tâm của tam giác ABC.
Vậy G là trực tâm của tam giác ABC.
Giải Toán 7 trang 118 Tập 2
Lời giải:
GT |
ABC, H là trực tâm của ABC, H là trọng tâm của ABC |
KL |
ABC đều. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Do H là trực tâm đồng thời là trọng tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên:
+) CM AB tại trung điểm M của AB, do đó CM là đường trung trực của AB
Nên C nằm trên đường trung trực của AB suy ra CA = CB. (1)
+) BN AC tại trung điểm N của AC, do đó BN là đường trung trực của AC
Nên B nằm trên đường trung trực của AC suy ra BA = BC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA nên tam giác ABC đều.
Vậy tam giác ABC đều.
B. Bài tập
Lời giải:
a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH BC.
b) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH CA.
c) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên CH AB.
Lời giải:
a) Ta có hình vẽ sau:
Trong hình vẽ trên, điểm H nằm trong tam giác ABC.
b) Ta có hình vẽ sau:
Tam giác ABC vuông tại A nên BA CA tại A.
Do đó BA và CA là hai đường cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C của tam giác ABC.
Mà BA cắt CA tại A nên A là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó điểm H trùng với điểm A.
c) Ta có hình vẽ sau:
Trong hình vẽ trên, điểm H nằm ngoài tam giác ABC.
Lời giải:
GT |
ABC nhọn, D nằm trong tam giác, DA BC, DB CA. |
KL |
DC AB. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Tam giác ABC có DA BC, DB CA (giả thiết)
Mà DA cắt DB tại D nên D là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó DC AB.
Vậy DC AB.
Lời giải:
GT |
DABC nhọn, BE AC, CF AB, BE và CF cắt nhau tại H, |
KL |
Tính và . |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Vì CF AB (giả thiết) nên tam giác ACF vuông tại F.
Xét ACF vuông tại F: (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
Suy ra hay .
Vì BE AC (giả thiết) nên tam giác ABE vuông tại E.
Xét ABE vuông tại E: (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).
Suy ra hay .
Vậy và .
Lời giải:
GT |
AB // CD, AD // BC; H là trực tâm tam giác ABC, K là trực tâm tam giác ACD. |
KL |
AK // CH và AH // CK. |
Chứng minh (Hình 139):
+) Vì K là trực tâm của tam giác ACD (giả thiết) nên AK CD.
Mà AB // CD (giả thiết) nên AK AB.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên CH AB.
Do đó AK // CH.
+) Vì K là trực tâm của tam giác ACD (giả thiết) nên CK AD.
Mà AD // BC (giả thiết) nên CK BC.
Vì H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên AH BC.
Do đó AH // CK.
a) Nếu tam giác ABC đều thì bốn điểm G, H, I, O trùng nhau;
b) Nếu tam giác ABC có hai điểm H, I trùng nhau thì tam giác ABC là tam giác đều.
Lời giải:
a)
GT |
ABC đều, G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. |
KL |
Bốn điểm G, H, I, O trùng nhau. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Kéo dài AI cắt BC tại M, kéo dài BI cắt AC tại N, kéo dài CP cắt AB tại P.
Khi đó AM là đường phân giác của nên
Do tam giác ABC đều nên AB = BC = CA.
Xét ABM và ACM có:
AB = AC (chứng minh trên),
(chứng minh trên),
AM là cạnh chung
Do đó ABM = ACM (c.g.c).
Suy ra:
• (hai góc tương ứng);
• BM = CM (hai cạnh tương ứng).
Vì BM = CM nên M là trung điểm của BC.
Ta có , mà nên .
Khi đó AM BC tại trung điểm M của BC nên AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC cũng đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A của ABC.
Chứng minh tương tự ta cũng có:
+) BN là đường trung trực của đoạn thẳng AC, đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ B của ABC.
+) CP là đường trung trực của đoạn thẳng AB, đồng thời là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ C của ABC.
Mà AM, BN, CP cắt nhau tại I nên G, H, I, O trùng nhau.
b)
GT |
ABC, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, I ≡ H |
KL |
ABC đều |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Vì I là giao điểm ba đường phân giác, H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên:
+ AI là đường phân giác và AH là đường cao kẻ từ A của ABC.
Mà I ≡ H (giả thiết) nên đường phân giác AI trùng với đường cao AH.
+ Tương tự đường phân giác BI trùng đường cao BH;
+ Đường phân giác CI trùng đường cao CH.
Gọi M, N, P lần lượt là chân đường cao (hay cũng chính là đường phân giác) kẻ từ A, B, C đến BC, CA, AB.
Xét ABM (vuông tại M) và ACM (vuông tại M) có:
(do AM là tia phân giác của ),
AM là cạnh chung
Do đó ABM = ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng). (1)
Xét ABN (vuông tại N) và CBN (vuông tại N) có:
BN là cạnh chung,
(do BN là tia phân giác của ),
Do đó ABN = CBN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra AB = BC (hai cạnh tương ứng). (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = BC = CA do đó tam giác ABC là tam giác đều.
Vậy tam giác ABC đều.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác