Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường

Bài 8 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với OA, OB, OC, hai trong ba đường đó lần lượt cắt nhau tại M, N, P (Hình 144).

Chứng minh:

a) $∆$OMA = $∆$OMB và tia MO là tia phân giác của góc NMP;

b) O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Trả lời

Chứng minh (Hình 144):

a) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét $∆$OAM (vuông tại A) và $∆$OBM (vuông tại B) có:

OM là cạnh chung,

OA = OB (chứng minh trên),

Do đó $∆$OAM = $∆$OBM (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{OM\text{A}}=\widehat{OMB}$ (hai góc tương ứng).

Khi đó MO là tia phân giác của $\widehat{BMA}$ hay MO là tia phân giác của $\widehat{NMP}$.

Vậy tia MO là tia phân giác của $\widehat{NMP}$

b) Nối OP (Hình vẽ dưới đây):

Xét $∆$OAP (vuông tại A) và $∆$OCP (vuông tại C) có:

OP là cạnh chung,

OA = OC (chứng minh trên),

Do đó $∆$OAP = $∆$OCP (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{OP\text{A}}=\widehat{OPC}$ (hai góc tương ứng).

Khi đó PO là tia phân giác của $\widehat{APC}$ hay PO là tia phân giác của $\widehat{MPN}$.

Trong một tam giác, ba đường phân giác của tam giác đó luôn cùng đi qua một điểm

Mà O là giao điểm hai đường phân giác của góc $\widehat{NMP}$và góc$\widehat{MPN}$, do đó O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Vậy O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác MNP.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập cuối chương 7