Giải SGK Toán 7 Bài 11 (Cánh diều): Tính chất ba đường phân giác của tam giác
A. Câu hỏi trong bài
Giải Toán 7 trang 108 Tập 2
Câu hỏi khởi động trang 108 Toán 7 Tập 2:
Lời giải:
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Ba nếp gấp đó lần lượt là ba đường phân giác của ba góc trong tam giác và ba nếp gấp này cùng đi qua một điểm.
Hoạt động 1 trang 108 Toán 7 Tập 2:
Lời giải:
Hai đầu mút của đoạn thẳng AD có đặc điểm:
+ A là đỉnh của tam giác ABC;
+ D là giao điểm của đường phân giác của góc A và cạnh BC.
Giải Toán 7 trang 109 Tập 2
Lời giải:
GT |
ABC cân tại A, AD là đường phân giác của |
KL |
AD là đường trung tuyến của tam giác ABC. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Vì tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC.
Vì AD là đường phân giác của (giả thiết) nên .
Xét ABD và ACD có:
AB = AC (chứng minh trên),
(chứng minh trên),
AD chung
Do đó (c.g.c).
Suy ra BD = CD (hai cạnh tương ứng).
Mà D nằm giữa B và C nên D là trung điểm của BC
Do đó AD là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của ABC.
Vậy AD là đường trung tuyến của ABC.
Lời giải:
Quan sát Hình 144 ta thấy ba đường phân giác AD, BE, CK của tam giác ABC cùng đi qua điểm I.
Giải Toán 7 trang 110 Tập 2
Luyện tập 2 trang 110 Toán 7 Tập 2: Tìm số đo x trong Hình 115.
Lời giải:
Vì đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I nên I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.
Do đó AI là đường phân giác của .
Suy ra (tính chất tia phân giác của một góc)
Nên x = 30°.
Vậy x = 30°.
Hoạt động 3 trang 110 Toán 7 Tập 2:
Lời giải:
Xét AIP (vuông tại P) và AIN (vuông tại N) có:
(AI là tia phân giác của ),
AI là cạnh chung,
Do đó AIP = AIN (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra IP = IN (hai cạnh tương ứng) (1)
Xét BIP (vuông tại P) và BIM (vuông tại M) có:
(BI là tia phân giác của ),
BI là cạnh chung,
Do đó BIP = BIM (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra IP = IM (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra IP = IM = IN.
Vậy IP = IM = IN.
Giải Toán 7 trang 111 Tập 2
Luyện tập 3 trang 111 Toán 7 Tập 2:
Lời giải:
GT |
ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác, M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB |
KL |
IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
Do M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB (giả thiết)
Nên IM BC, IN AC, IP AB.
Vì I là giao điểm của ba đường phân giác (giả thiết)
Nên IM = IN = IP (tính chất giao điểm ba đường phân giác)
+) Chứng minh IA là đường trung trực của đoạn thẳng NP.
Vì IN = IP (chứng minh trên) nên I thuộc đường trung trực của NP (1)
Xét API (vuông tại P) và ANI (vuông tại N) có:
AI là cạnh chung,
IP = IN (chứng minh trên)
Do đó API = ANI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).
Do đó A thuộc đường trung trực của NP (2)
Từ (1) và (2) suy ra IA là đường trung trực của NP.
+) Chứng minh IB là đường trung trực của PM.
Vì IP = IM (chứng minh trên) nên I thuộc đường trung trực của PM. (3)
Xét BMI (vuông tại M) và BPI (vuông tại P) có:
BI là cạnh chung,
IM = IP (chứng minh trên)
Do đó BMI = BPI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra BM = BP (hai cạnh tương ứng).
Do đó B thuộc đường trung trực của PM. (4)
Từ (3) và (4) suy ra IB là đường trung trực của PM.
+) Chứng minh IC là đường trung trực của MN.
Vì IM = IN (chứng minh trên) nên I thuộc đường trung trực của MN. (5)
Xét CMI (vuông tại M) và CNI (vuông tại N) có:
CI là cạnh chung,
IM = IN (chứng minh trên).
Do đó CMI = CNI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).
Do đó C thuộc đường trung trực của MN. (6)
Từ (5) và (6) suy ra IC là đường trung trực của MN.
B. Bài tập
a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?
b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?
Lời giải:
GT |
ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác, M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB |
KL |
a) IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao? b) ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao? |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
a) Do M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB (giả thiết)
Nên IM BC, IN AC, IP AB.
Vì I là giao điểm của ba đường phân giác (giả thiết)
Nên IM = IN = IP (tính chất giao điểm ba đường phân giác)
Vì IM = IN nên IMN cân tại I.
Vì IN = IP nên INP cân tại I.
Vì IP = IM nên IPM cân tại I.
b) +) Xét API (vuông tại P) và ANI (vuông tại N) có:
AI là cạnh chung,
IP = IN (chứng minh trên)
Do đó API = ANI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra AP = AN (hai cạnh tương ứng).
Tam giác ANP có AP = AN nên tam giác ANP cân tại A.
+) Xét BMI (vuông tại M) và BPI (vuông tại P) có:
BI là cạnh chung,
IM = IP (chứng minh trên)
Do đó BMI = BPI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra BM = BP (hai cạnh tương ứng).
Tam giác BPM có BP = BM nên tam giác BPM cân tại B.
+) Xét CMI (vuông tại M) và CNI (vuông tại N) có:
CI là cạnh chung,
IM = IN (chứng minh trên).
Do đó CMI = CNI (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra CM = CN (hai cạnh tương ứng).
Tam giác CMN có CM = CN nên tam giác CMN cân tại C.
Bài 2 trang 111 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:
Lời giải:
GT |
ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác |
KL |
a) ; b) . |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
a) Vì AI là đường phân giác của nên (tính chất tia phân giác của một góc)
Vì BI là đường phân giác của nên (tính chất tia phân giác của một góc)
Vì CI là đường phân giác của nên (tính chất tia phân giác của một góc)
Suy ra
Xét tam giác ABC ta có (tổng ba góc của một tam giác)
Do đó .
Vậy
b) Vì CI là đường phân giác của nên .
Suy ra .
Do đó .
Xét tam giác BIC có: (tổng ba góc của một tam giác)
Do đó .
Vậy
Bài 3 trang 111 Toán 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB < AC.
Lời giải:
GT |
ABC, AB < AC, I là giao điểm của ba đường phân giác |
KL |
a) b) So sánh IB và IC. |
Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):
a) Vì BI là đường phân giác của nên .
Vì CI là đường phân giác của nên .
Tam giác ABC có AB < AC nên (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác)
Do đó .
Suy ra .
Vậy
b) Vì (chứng minh câu a), mà nên .
Tam giác BIC có nên IB < IC (quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác)
Vậy IB < IC.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng
Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác