Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác

Bài 9 trang 120 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Trả lời

a)

GT

ABC cân tại A,

G là trọng tâm,

H là trực tâm,

I là giao điểm của ba đường phân giác,

O là giao điểm của ba đường trung trực.

Các điểm A, G, H, I, O phân biệt

KL

Các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

+) Gọi M là trung điểm của BC.

Khi đó AM là đường trung tuyến của ABC.

Lại có G là trọng tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường trung tuyến AM đi qua trọng tâm G của tam giác.

Do đó A, G, M thẳng hàng (1).

+) Vì M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên AB = AC và ABC^=ACB^.

Xét AMB và AMC có:

AK là cạnh chung,

MB = MC (chứng minh trên),

AB = AC (chứng minh trên),

Do đó AMB = AMC (c.c.c).

Suy ra AMB^=AMC^ (hai góc tương ứng)

Mà AMB^+AMC^=180° (hai góc kề bù) nên AMB^=AMC^=180°2=90°.

Do đó AM  BC hay AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Mặt khác H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua trực tâm H của tam giác.

Do đó A, H, M thẳng hàng (2).

+) Vì O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC.

Xét OBM và OCM có:

OK là cạnh chung,

OB = OC (chứng minh trên),

MB = MC (chứng minh trên),

Do đó OBM = OCM (c.c.c).

Suy ra OMB^=OMC^ (hai góc tương ứng)

Mà OMB^+OMC^=180° (hai góc kề bù) nên OMB^=OMC^=180°2=90°.

Do đó OK  BC.

Lại có AM  BC (chứng minh trên)

Suy ra A, O, M thẳng hàng (3).

+) Do BI là tia phân giác của ABC^ nên IBC^=12ABC^.

Do CI là tia phân giác của ACB^ nên ICB^=12ACB^.

Mà ABC^=ACB^ (chứng minh trên) nên IBC^=ICB^ 

Tam giác IBC có IBC^=ICB^ nên tam giác IBC cân tại I, do đó IB = IC.

Xét IBM và ICM có:

IB = IC (chứng minh trên),

IBM^=ICM^ (do IBC^=ICB^),

MB = MC (chứng minh trên),

Do đó IBM = ICM (c.g.c).

Suy ra IMB^=IMC^(hai góc tương ứng)

Mà IKB^+IKC^=180° (hai góc tương ứng) nên IMB^=IMC^=180°2=90°.

Do đó IM  BC.

Lại có AM  BC (chứng minh trên)

Suy ra A, I, K thẳng hàng (4).

Từ (1), (2), (3) và (4) ta có A, G, H, I, O thẳng hàng.

Vậy các điểm A, G, H, I, O thẳng hàng khi tam giác ABC cân tại A.

b)

GT

ABC,

G là trọng tâm,

H là trực tâm,

I là giao điểm của ba đường phân giác,

O là giao điểm của ba đường trung trực.

Các điểm A, G, H, I, O phân biệt,

A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng.

KL

Tam giác ABC cân tại A.

Chứng minh (Hình vẽ dưới đây):

Giải Toán 7  (Cánh diều): Bài tập cuối chương 7 (ảnh 1) 

Gọi M là chân đường cao kẻ từ A tới BC.

Do đó AM là đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.

Mà H là trực tâm của tam giác ABC (giả thiết) nên đường cao AM đi qua điểm H.

Khi đó ba điểm A, H, M thẳng hàng.

Mà A, H, I thẳng hàng (giả thiết) nên A, H, I, K thẳng hàng.

Mà AI là tia phân giác của BAC^ nên AM là đường phân giác của BAC^.

Do đó MAB^=MAC^.

Xét ABM (vuông tại M) và ACM (vuông tại M) có:

MAB^=MAC^ (chứng minh trên),

AM là cạnh chung,

Do đó ABM = ACM (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy nếu các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Bài 10: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Bài 13: Tính chất ba đường cao của tam giác

Bài tập cuối chương 7

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả