Giải SGK Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 32. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Mở đầu trang 88 Toán 11 Tập 2: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 = 20 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao h so với mặt đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm t (giây) sau khi ném được cho bởi công thức sau:

h = vot - 12gt2,

trong đó, v0 là vận tốc ban đầu của vật, g = 9,8 m/s2 là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.

Lời giải:

Phương trình chuyển động của vật là h = vot - 12gt2

Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi v(t) = h' = v0 – gt.

Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm t1 = vog, tại đó vận tốc bằng v(t1) = v – gt1 = 0.

Vật chạm đất tại thời điểm t2 mà h(t2) = 0 nên ta có:

v0t212gt22=0 ⇔ t2 = 0 (Loại) hoặc t2=2v0g .

Khi chạm đất, vận tốc của vật là v(t2) = v0 – gt2 = –v0 = –20 (m/s).

Dấu âm của v(t2) thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

HĐ1 trang 88 Toán 11 Tập 2: Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xn.

a) Tính đạo hàm của hàm số y = x3 tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xn (n ∈ ℕ*).

Lời giải:

a)

Đặt y = f(x) = x3.

Với x0 bất kì, ta có:

y'=f'(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0=limxx0x3x03xx0

=limxx0xx0x2+xx0+x02xx0

=limxx0x2+xx0+x02=3x02.

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y' = 3x.

b)

Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xn (n ∈ ℕ*) là y' = nxn – 1.

HĐ2 trang 88 Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm x > 0.

Lời giải:

Đặt f(x) = y = x .

Với x0 > 0, ta có

y'=f'(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0=limxx0xx0xx0

=limxx0xx0xx0x+x0

=limxx01x+x0=12x0.

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y'=12x .

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

HĐ3 trang 89 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x3 + x2 tại điểm x bất kì.

b) So sánh: (x3 + x2)' và (x3)' + (x2)'

Lời giải:

a)

Đặt f(x) = y = x3 + x2­.

Với x0 bất kì, ta có:

y'=f'(x0)=limxx0f(x)f(x0)xx0=limxx0x3+x2x03x02xx0

=limxx0x3x03+x2x02xx0=limxx0xx0x2+xx0+x02+x+x0xx0

=limxx0x2+xx0+x02+x+x0=3x02+2x0

Vậy đạo hàm của hàm số y = x3 + x2 là hàm số y' = 3x2 + 2x.

b)

Ta có (x3)' = 3x2 ; (x2)' = 2x, do đó (x3)' + (x2)' = 3x2 + 2x.

Từ đó suy ra (x3 + x2)' = (x3)' + (x2)' (cùng bằng 3x2 + 2x).

Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=xx+1 ;

b) y=x+1x2+2 .

Lời giải:

a)

Với x ≥ 0 và x ≠ – 1 ta có:

y'=xx+1'=x'.(x+1)x.(x+1)'(x+1)2

=12xx+1x.1(x+1)2=12xx+12x2x(x+1)2

=x+12x2x(x+1)2=1x2x(x+1)2=1x2xx+12.

b)

Với x ≥ 0 ta có:

y' = [(x+1)(x2+2)]'

= (x+1).(x2+2)+(x+1)(x2+2)'

= [(x)'+1'].(x2+2)+(x+1)[(x2)'+2']

=12x.x2+2+x+1.2x=x2+22x+2xx+1.

3. Đạo hàm của hàm số hợp

HĐ4 trang 90 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số y = u2 và u = x2 + 1.

a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u(x))2 theo biến x.

b) Tính và so sánh: y'(x) và y' (u) . u' (x).

Lời giải:

a)

Công thức của hàm số hợp y = (u(x))2 theo biến x là:

y = (u(x))2 = (x2 + 1)2 = x4 + 2x2 + 1.

b)

Ta có y'(x) = (x4 + 2x2 + 1)' = 4x3 + 4x.

Lại có u'(x) = (x+ 1)' = 2x ; y'(u) = (u2)' = 2u.

Do đó, y' (u) . u' (x) = 2u . 2x = 4x(x2 + 1) = 4x3 + 4x.

Vậy y'(x) = y' (u) . u' (x).

Luyện tập 2 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (2x – 3)10;

b) y = 1x2 .

Lời giải:

a)

y' = [(2x – 3)10]' = 10.(2x – 3). (2x – 3)' = 10.(2x – 3). 2 = 20(2x – 3)9.

b) Với x ∈ (– 1; 1), ta có:

y' = 1x2'=121x2.1x2'=2x21x2=x1x2 .

4. Đạo hàm của hàm số lượng giác

HĐ5 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) – sin x thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn limh0sinhh=1 và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Lời giải:

a) Với h ≠ 0, ta có:

sin(x + h) – sin x = 2cosx+h+x2.sinx+hx2 = 2cos2x+h2.sinh2 .

b)

Với x0 bất kỳ ta có:

f'x0=limxx0f(x)f(x0)xx0=limxx0sinxsinx0xx0

=limxx02cosx+x02.sinxx02xx0

=limxx0sinxx02xx02.limxx0cosx+x02=cosx0.

Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số y' = cos x.

Luyện tập 3 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y=sinπ33x .

Lời giải:

Ta có y'=π33x'.cosπ33x=3cosπ33x .

HĐ6 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x

Bằng cách viết y = cosx = sinπ2x , tính đạo hàm của hàm số y = cos x.

Lời giải:

Ta có HĐ6 trang 91 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

=cosπ2x=sinx.

Vậy đạo hàm của hàm số y = cos x là hàm số y' = – sin x.

Luyện tập 4 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y=2cosπ42x .

Lời giải:

Luyện tập 4 trang 91 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết y=tanx=sinxcosxxπ2+kπ,k , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

b) Sử dụng hằng đẳng thức cotx=tanπ2x với xkπ (k, tính đạo hàm của hàm số y = cot x.

Lời giải:

a) Ta có

y' = (tanx)' = sinxcosx'

=(sinx)'.cosxsinx.(cosx)'cos2x

=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x.

b) Ta có

y'=(cotx)'=tanπ2x'=1cos2π2x=1sin2x.

Luyện tập 5 trang 92 Tóan 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y=2tan2x+3cotπ32x .

Lời giải:

Ta có:

Luyện tập 5 trang 92 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

=2.2tanx.1cos2x+3.(2)sin2π32x

=4tanxcos2x+6sin2π32x.

Vận dụng 1 trang 92 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 4cos2πtπ8 (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Ta có:

v(t) = s'(t) =4 Vận dụng 1 trang 92 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 114.2π.sin2πtπ8=8π.sin2πtπ8.

Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là:

v(5)=8π.sin2π.5π89,6 (m/s).

5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số Lôgarit

HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến t = 1x , tìm giới hạn limx01+x1x .

b) Với y=1+x1x , tính ln y và tìm giới hạn của limx0lny .

c) Đặt t = ex – 1. Tính x theo t và tìm giới hạn limx0ex1x .

Lời giải:

a)

Ta có: t = 1x , nên khi x → 0 thì t → + ∞ do đó:

limx01+x1x=limt+1+1tt=e.

b) Với y=1+x1x , ta có:

ln y =ln1+x1x=1xln1+x .

Khi đó, limx0lny=limx0ln1+xx=1 .

c)

t = ex – 1 ⇔ ex = t + 1 ⇔ x = ln(t + 1).

Ta có: limx0ex1x=limt0tlnt+1=1 .

HĐ9 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn limh0ex1h=1 và đẳng thức ex + h – ex = ex(eh – 1), tính đạo hàm của hàm số y = ex tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng hằng đẳng thức ax = exlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = ax.

Lời giải:

a)

Với x bất kì và h = x – x0, ta có:

f'x0=limh0f(x0+h)f(x0)h=limh0ex0+hex0h

=limh0ex0eh1h=limh0ex0.limh0eh1h=ex0.

Vậy hàm số y = ex có đạo hàm là hàm số y' = ex.

b)

Ta có: ax = ex.ln a nên (ax)' = (ex.ln a)' = (x.ln a). ex.ln a = ex.ln a.ln a = ax.ln a.

Luyện tập 6 trang 93 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=ex2x ;

b) y = 3sin x .

Lời giải:

a)

y'=ex2x'=ex2x.x2x'=2x1ex2x.

b)

y' = (3sin x)' = 3sin x . (sin x). ln3 = 3sin x.cos x. ln3.

HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) Sử dụng giới hạn limt0ln1+tt=1 và đẳng thức

ln(x + h) – lnx = lnx+hx=ln1+hx , tính đạo hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức logax=lnxlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = logax.

Lời giải:

a)

Với x > 0 bất kì và h = x – x0 ta có:

f'x0=limh0f(x0+h)fx0h=limh0ln(x0+h)lnx0h

=limh0ln1+hx0hx0.x0=limh01x0.limh0ln1+hx0hx0=1x0

Vậy hàm số y = ln x có đạo hàm là hàm số y' = 1x .

b)

Ta có logax=lnxlna nên logax'=lnxlna'=1xlna .

Luyện tập 7 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = log2(2x – 1).

Lời giải:

Điều kiện: 2x – 1 > 0 ⇔ x > 12 . Hàm số đã cho xác định trên 12;+ .

Ta có: y'=2x1'2x1ln2=22x1ln2 .

Vận dụng 2 trang 94 Toán 11 Tập 2: Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = –log[H+], ở đó [H+] là nồng độ (mol/lít) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ [H+].

Lời giải:

Tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H+] là đạo hàm của pH. Ta có:

pH = –log[H+] ⇒ (pH)' = (–log[H+])' = Vận dụng 2 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Vậy tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H+] là Vận dụng 2 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11.

Bài tập

Bài 9.6 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x3 – 3x2 + 2x + 1;

b) y = x2 – 4x + 3.

Lời giải:

a)

y' = (x3)' – 3.(x2)' + 2.(x)' + 1' = 3x2 – 6x + 2.

b) Với x > 0, ta có:

y' = (x2)' – 4. (x' + 3' = 2x – 2x .

Bài 9.7 trang 94 Toán 11 Tập 2:Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=2x1x+2 ;

b) y=2xx2+1 .

Lời giải:

a) Với x ≠ – 2, ta có:

y'=2x1x+2'=(2x1)'.(x+2)(2x1).(x+2)'(x+2)2

=2(x+2)(2x1)(x+2)2=5(x+2)2.

b)

y'=2xx2+1'=(2x)'(x2+1)2x.(x2+1)'(x2+1)2

=2(x2+1)2x.2x(x2+1)2=2x2+2(x2+1)2.

Bài 9.8 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = xsin2x;

b) y = cos2x + sin2x;

c) y = sin3x – 3sinx;

d) y = tanx + cotx.

Lời giải:

a)

y' = (x). sin2x + x . (sin2x)' = sin2x + x . 2 . sinx . cosx = sin2x + xsin2x.

b)

y' = (cos2x)' + (sin2x)' = 2cosx.(–sinx) + 2cos2x

= –2cosx.sinx + 2cos2x = –sin2x + 2cos2x.

c)

y' = (sin3x)' – (3sinx)' = 3cos3x – 3cosx.

d) Với xkπ2k , ta có:

y' = (tanx)' + (cotx)' = 1cos2x1sin2x .

Bài 9.9 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y = 23xx2 ;

b) y = log3(4x + 1).

Lời giải:

a) y'=23xx2'=3xx2'.23xx2.ln2=32x.23xx2.ln2 .

b) Với x>-14 , ta có:

y'=log34x+1=4x+1'4x+1ln3=44x+1ln3.

Bài 9.10 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = 2sin23xπ4 . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Lời giải:

Ta có:

f'(x)=4sin3xπ4.Bài 9.10 trang 94 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

=4.3.cos3xπ4.sin3xπ4

=12cos3xπ4.sin3xπ4=6sin6xπ2

Vì:

1sin6xπ2166sin6xπ26

⇔ –6 ≤ f'(x) ≤ 6 với mọi x.

Vậy |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Bài 9.11 trang 94 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t) = 100 – 4,9t2, ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm t = 5 giây;

b) Khi vật chạm đất.

Lời giải:

Ta có: v(t) = h'(t) = –9,8t.

a) Vận tốc tại thời điểm t = 5 giây là:

v(5) = –9,8 . 5 = –49 (m/s).

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s là 49 m/s.

b)

Khi vật chạm đất h(t) = 0, tức là 100 – 4,9t2 = 0 t=10107 .

Vậy vận tốc của vật khi chạm đất là v10107=9,8.10107=1410 (m/s).

Ở đây, dấu âm trong các kết quả tính vận tốc thể hiện vật chuyển động thẳng đứng xuống dưới (ngược với chiều dương).

Bài 9.12 trang 94 Toán 11 Tập 2: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5sin(4πt), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu ?

Lời giải:

Vận tốc của hạt sau t giây là:

v(t) = s'(t) = 0,5.(4πt)'.cos(4πt) = 2πcos(4πt) (m/s).

Vì –1 ≤ cos(4πt) ≤ 1 ⇔ –2π ≤ 2πcos(4πt) ≤ 2π ⇔ –2π ≤ v(t) ≤ 2π với mọi t.

Do đó vận tốc cực đại của hạt là 2π cm/s.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Câu hỏi liên quan

Ta có: v(t) = h'(t) = –9,8t.
Xem thêm
Điều kiện: 2x – 1 > 0
Xem thêm
Phương trình chuyển động của vật là h = vot - 1/2 gt2
Xem thêm
a) Với x ≠ – 2, ta có:
Xem thêm
a) Với x ≥ 0 và x ≠ – 1 ta có:
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Các quy tắc tính đạo hàm
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!