Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm
h = vot - gt2,
trong đó, v0 là vận tốc ban đầu của vật, g = 9,8 m/s2 là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.
Lời giải:
Phương trình chuyển động của vật là h = vot - gt2
Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi v(t) = h' = v0 – gt.
Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm t1 = , tại đó vận tốc bằng v(t1) = v0 – gt1 = 0.
Vật chạm đất tại thời điểm t2 mà h(t2) = 0 nên ta có:
⇔ t2 = 0 (Loại) hoặc .
Khi chạm đất, vận tốc của vật là v(t2) = v0 – gt2 = –v0 = –20 (m/s).
Dấu âm của v(t2) thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).
1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
HĐ1 trang 88 Toán 11 Tập 2: Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xn.
a) Tính đạo hàm của hàm số y = x3 tại điểm x bất kì.
b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xn (n ∈ ℕ*).
Lời giải:
a)
Đặt y = f(x) = x3.
Với x0 bất kì, ta có:
.
Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y' = 3x.
b)
Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xn (n ∈ ℕ*) là y' = nxn – 1.
HĐ2 trang 88 Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tại điểm x > 0.
Lời giải:
Đặt f(x) = y = .
Với x0 > 0, ta có
.
Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là .
2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương
HĐ3 trang 89 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng
a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x3 + x2 tại điểm x bất kì.
b) So sánh: (x3 + x2)' và (x3)' + (x2)'
Lời giải:
a)
Đặt f(x) = y = x3 + x2.
Với x0 bất kì, ta có:
Vậy đạo hàm của hàm số y = x3 + x2 là hàm số y' = 3x2 + 2x.
b)
Ta có (x3)' = 3x2 ; (x2)' = 2x, do đó (x3)' + (x2)' = 3x2 + 2x.
Từ đó suy ra (x3 + x2)' = (x3)' + (x2)' (cùng bằng 3x2 + 2x).
Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) ;
b) .
Lời giải:
a)
Với x ≥ 0 và x ≠ – 1 ta có:
.
b)
Với x ≥ 0 ta có:
y' = [(+1)(x2+2)]'
= (+1).(x2+2)+(+1)(x2+2)'
= [()'+1'].(x2+2)+(+1)[(x2)'+2']
.
3. Đạo hàm của hàm số hợp
HĐ4 trang 90 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp
Cho các hàm số y = u2 và u = x2 + 1.
a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u(x))2 theo biến x.
b) Tính và so sánh: y'(x) và y' (u) . u' (x).
Lời giải:
a)
Công thức của hàm số hợp y = (u(x))2 theo biến x là:
y = (u(x))2 = (x2 + 1)2 = x4 + 2x2 + 1.
b)
Ta có y'(x) = (x4 + 2x2 + 1)' = 4x3 + 4x.
Lại có u'(x) = (x2 + 1)' = 2x ; y'(u) = (u2)' = 2u.
Do đó, y' (u) . u' (x) = 2u . 2x = 4x(x2 + 1) = 4x3 + 4x.
Vậy y'(x) = y' (u) . u' (x).
Luyện tập 2 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (2x – 3)10;
b) y = .
Lời giải:
a)
y' = [(2x – 3)10]' = 10.(2x – 3)9 . (2x – 3)' = 10.(2x – 3)9 . 2 = 20(2x – 3)9.
b) Với x ∈ (– 1; 1), ta có:
y' = .
4. Đạo hàm của hàm số lượng giác
HĐ5 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x
a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) – sin x thành tích.
b) Sử dụng đẳng thức giới hạn và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.
Lời giải:
a) Với h ≠ 0, ta có:
sin(x + h) – sin x = = .
b)
Với x0 bất kỳ ta có:
.
Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số y' = cos x.
Luyện tập 3 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số .
Lời giải:
Ta có .
HĐ6 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x
Bằng cách viết y = cosx = , tính đạo hàm của hàm số y = cos x.
Lời giải:
Ta có
.
Vậy đạo hàm của hàm số y = cos x là hàm số y' = – sin x.
Luyện tập 4 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số .
Lời giải:
HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x
a) Bằng cách viết , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.
b) Sử dụng hằng đẳng thức với xk (k, tính đạo hàm của hàm số y = cot x.
Lời giải:
a) Ta có
y' = (tanx)' =
.
b) Ta có
.
Luyện tập 5 trang 92 Tóan 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số .
Lời giải:
Ta có:
.
Lời giải:
Ta có:
v(t) = s'(t) =4 = .
Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là:
(m/s).
5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số Lôgarit
HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit
a) Sử dụng phép đổi biến t = , tìm giới hạn .
b) Với , tính ln y và tìm giới hạn của .
c) Đặt t = ex – 1. Tính x theo t và tìm giới hạn .
Lời giải:
a)
Ta có: t = , nên khi x → 0 thì t → + ∞ do đó:
.
b) Với , ta có:
ln y .
Khi đó, .
c)
t = ex – 1 ⇔ ex = t + 1 ⇔ x = ln(t + 1).
Ta có: .
HĐ9 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ
a) Sử dụng giới hạn và đẳng thức ex + h – ex = ex(eh – 1), tính đạo hàm của hàm số y = ex tại x bằng định nghĩa.
b) Sử dụng hằng đẳng thức ax = exlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = ax.
Lời giải:
a)
Với x bất kì và h = x – x0, ta có:
.
Vậy hàm số y = ex có đạo hàm là hàm số y' = ex.
b)
Ta có: ax = ex.ln a nên (ax)' = (ex.ln a)' = (x.ln a)' . ex.ln a = ex.ln a.ln a = ax.ln a.
Luyện tập 6 trang 93 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) ;
b) y = 3sin x .
Lời giải:
a)
.
b)
y' = (3sin x)' = 3sin x . (sin x)' . ln3 = 3sin x.cos x. ln3.
HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit
a) Sử dụng giới hạn và đẳng thức
ln(x + h) – lnx = , tính đạo hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.
b) Sử dụng đẳng thức (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = logax.
Lời giải:
a)
Với x > 0 bất kì và h = x – x0 ta có:
Vậy hàm số y = ln x có đạo hàm là hàm số y' = .
b)
Ta có nên .
Luyện tập 7 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = log2(2x – 1).
Lời giải:
Điều kiện: 2x – 1 > 0 ⇔ x > . Hàm số đã cho xác định trên .
Ta có: .
Lời giải:
Tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H+] là đạo hàm của pH. Ta có:
pH = –log[H+] ⇒ (pH)' = (–log[H+])' =
Vậy tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H+] là .
Bài tập
Bài 9.6 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x3 – 3x2 + 2x + 1;
b) y = x2 – 4 + 3.
Lời giải:
a)
y' = (x3)' – 3.(x2)' + 2.(x)' + 1' = 3x2 – 6x + 2.
b) Với x > 0, ta có:
y' = (x2)' – 4. () ' + 3' = 2x – .
Bài 9.7 trang 94 Toán 11 Tập 2:Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) ;
b) .
Lời giải:
a) Với x ≠ – 2, ta có:
.
b)
.
Bài 9.8 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = xsin2x;
b) y = cos2x + sin2x;
c) y = sin3x – 3sinx;
d) y = tanx + cotx.
Lời giải:
a)
y' = (x)' . sin2x + x . (sin2x)' = sin2x + x . 2 . sinx . cosx = sin2x + xsin2x.
b)
y' = (cos2x)' + (sin2x)' = 2cosx.(–sinx) + 2cos2x
= –2cosx.sinx + 2cos2x = –sin2x + 2cos2x.
c)
y' = (sin3x)' – (3sinx)' = 3cos3x – 3cosx.
d) Với , ta có:
y' = (tanx)' + (cotx)' = .
Bài 9.9 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a) y = ;
b) y = log3(4x + 1).
Lời giải:
a) .
b) Với x>- , ta có:
.
Bài 9.10 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.
Lời giải:
Ta có:
.
Vì:
⇔ –6 ≤ f'(x) ≤ 6 với mọi x.
Vậy |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.
a) Tại thời điểm t = 5 giây;
b) Khi vật chạm đất.
Lời giải:
Ta có: v(t) = h'(t) = –9,8t.
a) Vận tốc tại thời điểm t = 5 giây là:
v(5) = –9,8 . 5 = –49 (m/s).
Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s là 49 m/s.
b)
Khi vật chạm đất h(t) = 0, tức là 100 – 4,9t2 = 0 .
Vậy vận tốc của vật khi chạm đất là (m/s).
Ở đây, dấu âm trong các kết quả tính vận tốc thể hiện vật chuyển động thẳng đứng xuống dưới (ngược với chiều dương).
Lời giải:
Vận tốc của hạt sau t giây là:
v(t) = s'(t) = 0,5.(4πt)'.cos(4πt) = 2πcos(4πt) (m/s).
Vì –1 ≤ cos(4πt) ≤ 1 ⇔ –2π ≤ 2πcos(4πt) ≤ 2π ⇔ –2π ≤ v(t) ≤ 2π với mọi t.
Do đó vận tốc cực đại của hạt là 2π cm/s.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: