Giải Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Lời giải:
Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:
Ta có thể tính được vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất.
Phương trình chuyển động rơi tự do của quả bóng là
s = f(t) =
trong đó, g là gia tốc rơi tự do, lấy g = 9,8 m/s2; s (m) là quãng đường nó rơi từ vị trí ban đầu tới mặt đất; t (giây) là thời gian vật rơi từ vị trí ban đầu cho tới khi chạm đất.
Gọi v(t) (m/s) là vận tốc của quả bóng tại thời điểm t. Khi đó v(t) = f'(t) = gt = 9,8t.
Mặt khác, vì chiều cao của tòa nhà là 461,3 m nên quả bóng sẽ chạm đất tại thời điểm t1, với s = f(t1) = 461,3 m. Từ đó, ta có
(giây)
Vậy vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất là
v(t1) = 9,8t1 = 9,8 . ≈ 95,1 (m/s).s
1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t.
b) Giới hạn cho ta biết điều gì ?
Lời giải:
a)
Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian từ t0 đến t là: s(t) – s(t0).
Thời gian vật đi được trong khoảng thời gian từ t0 đến t là: t – t0.
Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t0 đến t là:
.
b)
Giới hạn cho ta biết một điều đó là khi t càng tới gần t0, có nghĩa là (t – t0) càng nhỏ thì vận tốc trung bình càng thể hiện được chính xác hơn mức độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0.
2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm
Luyện tập 1 trang 83 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = –x2 + 2x + 1 tại điểm x0 = –1.
Lời giải:
Đặt f(x) = y = –x2 + 2x + 1.
Ta có: f(x) – f(– 1) = – x2 + 2x + 1 – [– (– 1)2 + 2 . (– 1) + 1] = – x2 + 2x + 3.
Với x ≠ – 1, ta có .
Khi đó, .
Vậy đạo hàm của hàm số y = –x2 + 2x + 1 tại điểm x0 = –1 có giá trị là 4.
3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng
HĐ3 trang 83 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm f'(x0) tại điểm x0 bất kì trong các trường hợp sau:
a) f(x) = c (c là hằng số);
b) f(x) = x.
Lời giải:
a) Ta có f(x) = c nên f(x) = f(x0) = c.
Khi đó, .
b) Ta có f(x) = x nên f(x0) = x0.
Khi đó, .
Luyện tập 2 trang 84 Toán 11 Tập 2:
a) y = x2 + 1
b) y = kx + c (với k, c là các hằng số).
Lời giải:
a) Đặt f(x) = y = x2 + 1.
Ta có:
.
Vậy hàm số y = x2 + 1 có đạo hàm là hàm số y' = 2x.
b) Đặt f(x) = y = kx + c (với k, c là các hằng số).
Ta có:
.
Vậy hàm số y = kx + c (với k, c là các hằng số) có đạo hàm là hàm số y' = k.
4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
HĐ4 trang 84 Toán 11 Tập 2: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và P(x0; f(x0)) ∈ (C). Xét điểm Q(x; f(x)) thay đổi trên (C) với x ≠ x0.
a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc kPQ của cát tuyến PQ.
b) Khi x → x0 thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào ?
c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà kPQcó giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?
Lời giải:
a) Ta có: . Suy ra .
Phương trình đường thẳng PQ là
[f(x) – f(x0)](x – x0) + (x0 – x)[y – f(x0)] = 0
Hay [f(x) – f(x0)]x – (x – x0)y – f(x)x0 + xf(x0) = 0
Tức là y = .
Do đó, hệ số góc của cát tuyến PQ là .
b)
Khi xxo thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm P(x0; f(x0)) và khi x = x0 hai điểm này sẽ trùng nhau.
c)
Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà kPQ có giới hạn hữu hạn k thì cát tuyến PQ cũng sẽ tiến gần đến gần vị trí tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm P. Vì vậy giới hạn của cát tuyến QP sẽ là đường thẳng tiếp tuyến tại điểm P.
Lời giải:
Ta có: y' = (x2)' = 2x nên .
Vậy hệ số của tiếp tuyến của parabol y = x2 tại điểm có hoành độ x0 = là k = 1.
HĐ5 trang 85 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y = x2 có đồ thị là đường parabol (P).
a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến (P) tại điểm có hoành độ x0 = 1.
b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Lời giải:
a)
Ta có: y' = (x2)' = 2x nên y'(1) = 2.1 = 2.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = x2 tại điểm có hoành độ x0 = 1 là k = 2.
b)
Ta có: x0 = 1 nên y0 = 12 = 1.
Hệ số góc của tiếp tuyến là k = 2 nên phương trình tiếp tuyến có dạng y = 2x + c.
Suy ra: 1 = 2.1 + c ⇒ c = –1.
Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 2x – 1.
Lời giải:
Ta có: y' = (–2x2) = –4x.
Nên hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 = –1 là y'(–1) = –4.(–1) = 4.
Ngoài ra, ta có y(–1) = –2 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y – (–2) = 4(x + 1) hay y = 4x + 2.
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho O là trung điểm AB. Tia Ox trùng với tia OB, tia Oy vuông góc với tia Ox tại O, hướng như hình vẽ.
Khi đó ta có: A(–200; 0); B(200; 0).
Gọi chiều cao giới hạn của cầu là h (h > 0), suy ra đỉnh cầu có tọa độ (0; h).
Ta tìm được phương trình parabol của cầu là: .
Theo cách làm ở Ví dụ 2, ta có: .
Suy ra hệ số góc xác định độ dốc của mặt cầu là:
k = với –200 ≤ x ≤ 200
Do đó, |k| = |x| ≤ .200 = .
Vì độ dốc của mặt cầu không quá nên ta có: ≤ tan10o ⇔ h ≤ 17,6.
Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là 17,6 m.
Bài tập
Bài 9.1 trang 86 Toán 11 Tập 2: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x2 – x tại x0 = 1;
b) y = –x3 tại x0 = –1.
Lời giải:
a)
Ta có: f'(1) = .
Vậy f'(1) = 1.
b)
Ta có:
f'(–1) =
= [-(x2-x+1)] = -3
Vậy f'(–1) = – 3.
Bài 9.2 trang 86 Toán 11 Tập 2: Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = kx2 + c (với k, c là các hằng số);
b) y = x3.
Lời giải:
a) Đặt y = f(x) = kx2 + c.
Với x0 bất kì, ta có:
f'(x0) =
[k(x+x0)] = 2kx0.
Vậy hàm số y = kx2 + c có đạo hàm là hàm số y' = 2kx.
b) Đặt y = f(x) = x3.
Với x0 bất kì, ta có:
f'(x0) =
Vậy hàm số y = x3 có đạo hàm là hàm số y' = 3x2.
Bài 9.3 trang 86 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x2 + 4x, biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ x0 = 1;
b) Tiếp điểm có tung độ y0 = 0.
Lời giải:
Đặt y = f(x) = – x2 + 4x.
Với x0 bất kì, ta có:
f'(x0) =
.
Vậy hàm số y = –x2 + 4x có đạo hàm là hàm số y' = –2x + 4.
a)
Ta có: y'(1) = –2.1 + 4 = 2.
Ngoài ra, f(1) = 3 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y – 3 = 2(x – 1) hay y = 2x + 1.
b)
Ta có: y0 = 0 nên –x02 + 4x0 = 0 ⇔ .
+) Với x0 = 0, y0 = 0, ta có y'(0) = 4, do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 4x.
+) Với x0 = 4, y0 = 0, ta có y'(4) = –4 do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = –4(x – 4) hay y = –4x + 16.
Lời giải:
+ Đặt h = f(t) = 19,6t – 4,9t2.
Với x0 bất kì, ta có:
.
Vậy hàm số h = 19,6t – 4,9t2 có đạo hàm là hàm số h' = –9,8t0 + 19,6.
+ Khi vật chạm đất thì h = 0, tức là 19,6t – 4,9t2 = 0 ⇔ .
Khi t = 4, vận tốc của vật khi nó chạm đất là v(4) = h'(4) = –9,8.4 + 19,6 = –19,6 (m/s).
a) Tìm c.
b) Tính y'(0) và tìm b.
c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.
d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.
Lời giải:
a)
Vì gốc tọa độ đặt tại P nên P(0; 0) do đó ta có: c = y(0) = 0.
b)
Ta tính được: y' = 2ax + b.
Suy ra: y'(0) = b.
Mà L1 là phương trình tiếp tuyến tại P có hệ số góc 0,5 nên y'(0) = 0,5 ⇒ b = 0,5.
c)
L2 là phương trình tiếp tuyến tại Q có hệ số góc –0,75 nên
y'(xQ) = 2axQ + 0,5 = –0,75.
Vì khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m nên xQ – xP = xQ = 40.
⇒ 2a . 40 + 0,5 = –0,75 ⇒ a = .
Khi đó phương trình parabol là .
d)
Ta có: .
Vậy chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q là: |yP – yQ| = 5.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: