Giải Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác
Giải Toán 11 trang 17 Tập 1
Lời giải:
Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:
Ta có: f(t) = = f1(t) + f2(t) = 5sin t + 5 cos t = 5(sin t + cos t)
Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được
sin t + cos t = .
Do đó, .
Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ âm và pha ban đầu của sóng âm là .
1. Công thức cộng
HĐ1 trang 17 Toán 11 Tập 1: Nhận biết công thức cộng
a) Cho và , hãy chứng tỏ cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
b) Bằng cách viết a + b = a – (– b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b).
c) Bằng cách viết sin(a – b) = và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a – b).
Lời giải:
a) Ta có: a – b = nên cos(a – b) = .
cos a cos b + sin a sin b
=
.
Vậy cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
b) Ta có: cos(a + b) = cos[a – (– b)] = cos a cos(– b) + sin a sin(– b)
Mà cos(– b) = cos b, sin(– b) = – sin b (hai góc đối nhau).
Do đó, cos(a + b) = cos a cos b + sin a . (– sin b) = cos a cos b – sin a sin b.
c) Ta có: sin(a – b) =
(do , ).
Vậy sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.
Giải Toán 11 trang 18 Tập 1
Luyện tập 1 trang 18 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:
a) sin x – cos x = ;
b) .
Lời giải:
a) Ta có:
(đpcm).
b) Ta có: .
Vận dụng 1 trang 18 Toán 11 Tập 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Lời giải:
Ta có: f(t) = = f1(t) + f2(t) = 5sin t + 5 cos t = 5(sin t + cos t)
Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được
sin t + cos t = .
Do đó, .
Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ âm và pha ban đầu của sóng âm là .
2. Công thức nhân đôi
HĐ2 trang 18 Toán 11 Tập 1: Xây dựng công thức nhân đôi
Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: sin 2a; cos 2a; tan 2a.
Lời giải:
Ta có:
+) sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = sin a cos a + sin a cos a = 2 sin a cos a.
+) cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2 a – sin2 a
Mà sin2 a + cos2 a = 1, suy ra sin2 a = 1 – cos2 a và cos2 a = 1 – sin2 a.
Do đó, cos 2a = cos2 a – sin2 a = 2cos2 a – 1 = 1 – 2sin2 a.
+) tan 2a = tan (a + a) = .
Giải Toán 11 trang 19 Tập 1
Luyện tập 2 trang 19 Toán 11 Tập 1: Không dùng máy tính, tính .
Lời giải:
Ta có: .
Suy ra . Do đó, .
Vì nên suy ra .
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
HĐ3 trang 19 Toán 11 Tập 1: Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng
a) Từ các công thức cộng cos(a + b) và cos(a – b), hãy tìm: cos a cos b; sin a sin b.
b) Từ các công thức cộng sin(a + b) và sin(a – b), hãy tìm: sin a cos b.
Lời giải:
a) Ta có: cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b (1);
cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b (2).
Lấy (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được: cos(a + b) + cos(a – b) = 2cos a cos b.
Từ đó suy ra, cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a – b)].
Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1), ta được: cos(a – b) – cos(a + b) = 2sin a sin b.
Từ đó suy ra, sin a sin b = [cos(a – b) – cos(a + b)].
b) Ta có: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (3);
sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b (4).
Lấy (3) và (4) cộng vế theo vế, ta được: sin(a + b) + sin(a – b) = 2sin a cos b.
Từ đó suy ra, sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a – b)].
Luyện tập 3 trang 19 Toán 11 Tập 1: Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:
A = cos 75° cos 15°; B = .
Lời giải:
Ta có:
A = cos 75° cos 15° = [cos(75° – 15°) + cos(75° + cos 15°)]
= (cos 60° + cos 90°) = .
B = =
.
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
Giải Toán 11 trang 20 Tập 1
HĐ4 trang 20 Toán 11 Tập 1: Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích
Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u = a – b, v = a + b và viết các công thức nhận được.
Lời giải:
Ta có: cos a cos b = [cos(a – b) + cos(a + b)] (1);
sin a sin b = [cos(a – b) – cos(a + b)] (2);
sin a cos b = [sin(a – b) + sin(a + b)] (3).
Đặt u = a – b, v = a + b.
Ta có: u + v = (a – b) + (a + b) = 2a và u – v = (a – b) – (a + b) = – 2b.
Suy ra, .
Khi đó:
+) (1) trở thành
(do ).
+) (2) trở thành
(do ).
+) (3) trở thành
.
Luyện tập 4 trang 20 Toán 11 Tập 1: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức
Lời giải:
Ta có: B =
.
a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.
Lời giải:
a) Quan sát Hình 1.13, ta nhận thấy khi nhấn phím 4, âm thanh được tạo ra có tần số thấp f1 = 770 Hz và tần số cao f2 = 1 209 Hz.
Khi đó, hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4 là
y = sin(2π . 770t) + sin(2π . 1 209t) hay y = sin(1 540πt) + sin(2 418πt).
b) Ta có:
sin(1 540πt) + sin(2 418πt)
=
= 2sin(1 979πt) cos(– 439πt)
= 2sin(1 979πt) cos(439πt).
Vậy ta có hàm số y = 2sin(1 979πt) cos(439πt).
Giải Toán 11 trang 21 Tập 1
Bài tập
Lời giải:
Ta có:
+) sin 15° = sin(45° – 30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°
= .
+) cos 15° = cos(45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
= .
+) tan 15° = tan(45° – 30°) = = .
+) cot 15° = .
Bài 1.8 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính:
a) , biết và ;
b) , biết và .
Lời giải:
a) Vì nên cos a < 0.
Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
cos a = .
Ta có:
.
b) Vì nên sin a < 0, do đó .
Mặt khác từ
Suy ra .
Ta có: .
Bài 1.9 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a, biết:
a) và ;
b) sin a + cos a = và .
Lời giải:
a) Vì nên cos a < 0.
Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
cos a = .
Ta có: sin 2a = 2sin a cos a = .
.
.
b) Ta có: (sin a + cos a)2 =
.
Vì nên , do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin2 (2a) + cos2 (2a) = 1
Suy ra .
Do đó, .
Bài 1.10 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) ;
b) .
Lời giải:
a) Ta có:
.
b) Ta có:
.
Bài 1.11 trang 21 Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau:
sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a.
Lời giải:
Ta có: sin(a + b) sin(a – b) = [cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]
= [cos 2b – cos 2a] = [(2cos2 b – 1) – (2cos2 a – 1)] = cos2 b – cos2 a.
Vậy sin(a + b) sin(a – b) = cos2 b – cos2 a (1).
Lại có, cos 2b – cos 2a = (1 – 2sin2 b) – (1 – 2sin2 a) = 2(sin2 a – sin2 b)
Do đó, [cos 2b – cos 2a] = . 2(sin2 a – sin2 b) = sin2 a – sin2 b.
Vậy sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b (2).
Từ (1) và (2), suy ra sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a (đpcm).
Bài 1.12 trang 21 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC có ; và a = BC = 12 cm.
a) Sử dụng công thức và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức
.
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.
Lời giải:
a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là:
Từ đó suy ra .
Diện tích tam giác ABC là .
Vậy (đpcm).
b) Ta có: (định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).
.
Ta có:
.
Vậy diện tích của tam giác ABC là (đvdt).
Xét hai dao động điều hòa có phương trình:
(cm),
(cm).
Tìm dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.
Lời giải:
Dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t)
Suy ra x(t) = (cm).
Ta có:
.
Vậy dạo động tổng hợp có phương trình là với biên độ và pha ban đầu là .
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác