Chứng minh đẳng thức sau: sin(a + b) sin(a – b) = sin^2 a – sin^2 b = cos^2 b – cos^2 a
Bài 1.11 trang 21 Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau:
sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a.
Ta có: sin(a + b) sin(a – b) = [cos(a + b – a + b) – cos(a + b + a – b)]
= [cos 2b – cos 2a] = [(2cos2 b – 1) – (2cos2 a – 1)] = cos2 b – cos2 a.
Vậy sin(a + b) sin(a – b) = cos2 b – cos2 a (1).
Lại có, cos 2b – cos 2a = (1 – 2sin2 b) – (1 – 2sin2 a) = 2(sin2 a – sin2 b)
Do đó, [cos 2b – cos 2a] = . 2(sin2 a – sin2 b) = sin2 a – sin2 b.
Vậy sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b (2).
Từ (1) và (2), suy ra sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a (đpcm).
Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản