Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 1 trang 40
Giải Toán 11 trang 40 Tập 1
Trắc nghiệm
A. β và γ.
B. α, β, γ.
C. β, γ, δ.
D. α và β.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
+ Cách 1: Ta biểu diễn các góc lượng giác , , , trên cùng một đường tròn lượng giác, nhận thấy hai góc β và γ có điểm biểu diễn trùng nhau.
+ Cách 2: Ta có: .
Do đó, hai góc β và γ có điểm biểu diễn trùng nhau.
Bài 1.24 trang 40 Toán 11 Tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. sin(π – α) = sin α.
B. cos(π – α) = cos α.
C. sin(π + α) = – sin α.
D. cos(π + α) = – cos α.
Lời giải:
Vì π – α và α là hai góc bù nhau nên sin(π – α) = sin α; cos(π – α) = – cos α. Do đó đáp án A đúng và đáp án B sai.
Ta có góc π + α và α là hai góc hơn kém nhau 1 π nên sin(π + α) = – sin α, cos(π + α) = – cos α. Do đó đáp án C và D đều đúng.
Bài 1.25 trang 40 Toán 11 Tập 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?
A. cos(a – b) = cos a cos b – sin a sin b.
B. sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.
C. cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b.
D. sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Ta có các công thức cộng:
cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
Vậy đáp án A sai.
A. M = sin 4a.
B. M = 1 – 2 cos2 a.
C. M = 1 – 2 sin2 a.
D. M = cos 4a.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: M = cos(a + b) cos(a – b) – sin(a + b) sin(a – b)
= cos[(a + b) + (a – b)] (áp dụng công thức cộng)
= cos 2a = 2cos2 a – 1 = 1 – 2 sin2 a (áp dụng công thức nhân đôi)
Bài 1.27 trang 40 Toán 11 Tập 1: Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ.
B. Hàm số y = cos x có tập giá trị là [– 1; 1].
C. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.
D. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì 2π.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Hàm số y = cos x:
- Có tập xác định là ℝ và tập giá trị là [– 1; 1];
- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2π.
Bài 1.28 trang 40 Toán 11 Tập 1: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm tuần hoàn?
A. y = tan x + x.
B. y = x2 + 1.
C. y = cot x.
D. y = .
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.
A. 5.
B. 6.
C. 4.
D. 7.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = sin x và y = cos x là nghiệm của phương trình sin x = cos x ⇔ tan x = 1 (do )
.
Ta có:
Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {– 2; – 1; 0; 1; 2}.
Vậy đồ thị của các hàm số y = sin x và y = cos x cắt nhau tại 5 điểm có hoành độ thuộc đoạn .
Bài 1.30 trang 40 Toán 11 Tập 1: Tập xác định của hàm số là
A. ℝ \ {k2π, k ∈ ℤ}.
B. .
C. .
D. ℝ \ {kπ, k ∈ ℤ}.
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Biểu thức có nghĩa khi sin x – 1 ≠ 0 ⇔ sin x ≠ 1 .
Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = .
Giải Toán 11 trang 41 Tập 1
Tự luận
Bài 1.31 trang 41 Toán 11 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) ;
b) ;
c) ;
d) .
Lời giải:
Vì nên sin α > 0. Mặt khác từ sin2 α + cos2 α = 1 suy ra
.
a)
.
b)
.
c)
.
d)
.
Bài 1.32 trang 41 Toán 11 Tập 1: Cho góc bất kì α. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (sin α + cos α)2 = 1 + sin 2α;
b) cos4 α – sin4 α = cos 2α.
Lời giải:
a) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin2 α + cos2 α = 1
và công thức nhân đôi: sin 2α = 2sin α cos α.
Ta có: VT = (sin α + cos α)2 = sin2 α + cos2 α + 2sin α cos α = 1 + sin 2α = VP (đpcm).
b) Áp dụng hệ thức lượng giác cơ bản: sin2 α + cos2 α = 1
và công thức nhân đôi: cos 2α = cos2 α – sin2 α.
Ta có: VT = cos4 α – sin4 α = (cos2 α)2 – (sin2 α)2
= (cos2 α + sin2 α)(cos2 α – sin2 α) = 1 . cos 2α = cos 2α = VP (đpcm).
Bài 1.33 trang 41 Toán 11 Tập 1: Tìm tập giá trị của các hàm số sau:
a) ;
b) y = sin x + cos x.
Lời giải:
a) Ta có: với mọi x ∈ ℝ
với mọi x ∈ ℝ
với mọi x ∈ ℝ
với mọi x ∈ ℝ
⇔ – 3 ≤ y ≤ 1 với mọi x ∈ ℝ
Vậy tập giá trị của hàm số là [– 3; 1].
b) Ta có: sin x + cos x =
Khi đó ta có hàm số y .
Lại có: với mọi x ∈ ℝ
với mọi x ∈ ℝ
với mọi x ∈ ℝ
Vậy tập giá trị của hàm số y = sin x + cos x là .
Bài 1.34 trang 41 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:
a) ;
b) 2sin2 x – 1 + cos 3x = 0;
c) .
Lời giải:
a)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là và .
b) 2sin2 x – 1 + cos 3x = 0
⇔ – (1 – 2sin2 x) + cos 3x = 0
⇔ – cos 2x + cos 3x = 0
⇔ cos 3x = cos 2x
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là và .
c)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là .
p(t) = 115 + 25sin(160πt),
trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thủy ngân) và thời gian t tính theo phút.
a) Tìm chu kì của hàm số p(t).
b) Tìm số nhịp tim mỗi phút.
c) Tìm chỉ số huyết áp. So sánh huyết áp của người này với huyết áp bình thường.
Lời giải:
a) Chu kì của hàm số p(t) là T = .
b) Thời gian giữa hai lần tim đập là (phút)
Số nhịp tim mỗi phút là nhịp.
c) Ta có: – 1 ≤ sin(160πt) ≤ 1 với mọi t ∈ ℝ
⇔ – 25 ≤ 25sin(160πt) ≤ 25 với mọi t ∈ ℝ
⇔ 115 + (– 25) ≤ 115 + 25sin(160πt) ≤ 115 + 25 với mọi t ∈ ℝ
⇔ 90 ≤ p(t) ≤ 140 với mọi t ∈ ℝ
Do đó, chỉ số huyết áp của người này là 140/90 và chỉ số huyết áp của người này cao hơn mức bình thường.
.
Ở đây, n1 và n2 tương ứng là chiết suất của môi trường 1 (không khí) và môi trường 2 (nước). Cho biết góc tới i = 50°, hãy tính góc khúc xạ, biết rằng chiết suất của không khí bằng 1 còn chiết suất của nước là 1,33.
.
Lời giải:
Theo bài ra ta có: i = 50°, n1 = 1, n2 = 1,33, thay vào ta được:
(điều kiện sin r ≠ 0)
⇒ sin r =
⇔ sin r ≈ 0,57597 (thỏa mãn điều kiện)
⇔ sin r ≈ sin(35°10’)
Mà 0° < r < 90° nên r ≈ 35°10’.
Vậy góc khúc xạ r ≈ 35°10’.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: