Giải Toán 11 Bài 5: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện
• được gọi là góc hợp bởi đường thẳng d và (Q).
• được gọi là góc hợp bởi hai mặt phẳng (P) và (Q).
Lời giải:
K là hình chiếu vuông góc của C lên (Q) nên được gọi là góc hợp bởi đường thẳng d và (Q).
Ta có:
Nên được gọi là góc hợp bởi hai mặt phẳng (P) và (Q)
1. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Hoạt động khám phá 1 trang 82 Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P).
a) Trong trường hợp a vuông góc với (P), tìm góc giữa a và một đường thẳng b tuỳ ý trong (P).
Lời giải:
a) Ta có:
b) Lấy A a. Gọi
Dựng AH ⊥ a′ (H a′)
Ta có:
Lời giải:
a) AA′ ⊥ (ABCD) (AA′, (ABCD)) = 90°
b) CC′ ⊥ (ABCD) (BC′, (ABCD)) = (BC′, BC) =
c) AA′⊥(ABCD) (A′C, (ABCD)) = (A′C, AC) =
Vậy (A′C, (ABCD)) .
Lời giải:
• DK ⊥ (ABHK) ⇒ (BD, (ABHK)) = (BD, BK) =
• DK = CH = 2,
Vậy góc giữa đường thẳng BD và đáy hồ khoảng 33,3°.
2. Góc nhị diện và góc phẳng nhị diện
Lời giải:
Các nửa mặt phẳng có chung bờ d là: (P1),(P2),(Q1),(Q2).
Các nửa mặt phẳng này chia không gian thành 4 phần.
a) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa d và mp(Ox,Oy).
b) Nêu nhận xét về số đo của góc khi O thay đổi trên d.
Lời giải:
a) Ta có:
b) Số đo của không đổi khi O thay đổi trên d.
Lời giải:
a) Gọi M là trung điểm BC.
ΔSBC đều ⇒ SM ⊥ BC
ΔOBC vuông cân tại O ⇒ OM ⊥ BC
Khi đó góc phẳng nhị diện [S, BC, O] = (MO, MS).
Ta có: O là trung điểm của BD, M là trung điểm của BC
⇒ OM là đường trung bình của ΔBCD
ΔSBC đều, M là trung điểm của BC
⇒ SM là đường trung tuyến
.
Suy ra [S, BC, O] = (MO, MS)
b) Ta có:
• SO ⊥ (ABCD) nên SO⊥OB
• SO ⊥ (ABCD) nên SO⊥OC
Vậy là góc phẳng nhị diện [C, SO, B].
Mà ABCD là hình vuông nên .
Vậy [C, SO, B] = 90o.
(Nguồn: https://en.wikipedia.org/wiki/Memphis_Pyramid)
Lời giải:
Mô hình hoá kim tự tháp bằng chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của đáy.
Vậy AB = 180 m, SO = 98 m.
Gọi M là trung điểm của BC.
• ΔSBC đều nên SM ⊥ BC.
• ΔOBC vuông cân tại O nên OM ⊥ BC.
Khi đó góc phẳng nhị diện [S, BC, O] = (MO, MS) = .
Ta có: O là trung điểm của BD, M là trung điểm của BC.
Suy ra OM là đường trung bình của ΔBCD.
Do đó .
Khi đó: .
Bài tập
Bài 1 trang 85 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD. Vẽ hình bình hành BCED.
a) Tìm góc giữa đường thẳng AB và (BCD).
b) Tìm góc phẳng nhị diện [A,CD,B]; [A,CD, E].
Lời giải:
a) Gọi I là trung điểm của CD, O là tâm của ΔBCD.
AO ⊥ (BCD)
(AB, (BCD)) = (AB, OB) =
Vậy góc giữa đường thẳng AB và (BCD) là .
b)
• ΔACD đều nên AI ⊥ CD
• ΔBCD đều nên BI ⊥ CD
Do đó .
Vậy là góc phẳng nhị diện [A, CD, B].
• ΔACD đều nên AI ⊥ CD
• ΔECD đều nên EI ⊥ CD
Do đó .
Vậy là góc phẳng nhị diện [A,CD, E].
a) Tìm góc giữa đường thẳng SA và (ABCD).
b) Tìm góc phẳng nhị diện [A, SO, B], [S, AB, O].
Lời giải:
a) S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có O là tâm của đáy
SO ⊥ (ABCD) ⇒ (SA, (ABCD)) = (SA,OA) =
Vậy góc giữa đường thẳng SA và (ABCD) là
b) Gọi M là trung điểm của AB
SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ AO, SO ⊥ BO
Vậy là góc phẳng nhị diện [A, SO, B]
• ABCD là hình vuông nên
• ΔSAB đều nên SM ⊥ AB
• ΔOAB vuông cân tại O nênOM ⊥ AB
Vậy là góc phẳng nhị diện [S, AB, O].
a) Tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
b) Tìm góc phẳng nhị diện [O, AB, A′]; [O′, A′B′, A].
Lời giải:
a) Kẻ C′H ⊥ OC (H OC).
OO′C′H là hình chữ nhật nên OO′// C′H.
Mà OO′ ⊥ (ABCDEF) nên C′H ⊥ (ABCDEF).
Do đó (CC′, (ABCDEF)) = (CC′, CH) = .
b) Gọi M, M′ lần lượt là trung điểm của AB, A′B′.
Khi đó, OM ⊥ AB, O′M′ ⊥ A′B.
ABB′A′ là hình thang cân nên MM′ ⊥ AB, MM′ ⊥ A′B.
Do đó [O, AB, A′] = ; [O′, A′B′, A] = .
a) Tính số đo góc giữa đường thẳng CA′ và (CC′B′B).
b) Tính số đo góc nhị diện cạnh CC′.
Lời giải:
a) Xét tam giác vuông CBB′ có:
Gọi là góc giữa đường thẳng (CA′, (CC′B′B)) =
Khi đó: .
Suy ra .
b) Ta có: CC′ ⊥ (ABC) ⇒ CC′ ⊥ AC, CC′ ⊥ BC.
Gọi là góc phẳng nhị diện cạnh [A’, CC’, B’] = .
.
Suy ra
Lời giải:
Vì ABCD là hình vuông nên ta có OF = 7m
Chiều cao khối chóp S.ABCD là:
Tuơng tự có chiều cao khối chóp S.A′B′C′D′ là: SO′ = 5m
Thể tích khối chóp S.ABCD:
Thể tích khối chóp S.A’B’C’D’:
Thể tích khối chóp cụt bằng số khối đất phải đào:
.
Vậy có 290,6 m3 khối đất cần phải di chuyển ra khỏi hầm.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: