Giải Toán 11 Bài 1: Biến cố giao và quy tắc nhân xác suất
Lời giải:
Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán này như sau:
Ta sẽ xét trong trường hợp Nguyệt và Nhi bắn độc lập với nhau.
Gọi biến cố A: “Nguyệt bắn trúng tâm bia”.
Biến cố B: “Nhi bắn trúng tâm bia”.
Biến cố AB: “Cả hai bạn bắn trúng tâm bia”.
Theo đề có: P(A) = 0,9 và P(B) = 0,8.
Vì A, B độc lập nên P(AB) = P(A)P(B) = 0,9 × 0,8 = 0,72.
Vậy xác suất để cả hai bạn bắn trúng tâm bia là 0,72.
1. Biến cố giao
a) Hãy viết tập hợp mô tả các biến cố trên.
b) Hãy liệt kê các kết quả của phép thử làm cho cả hai biến cố A và B cùng xảy ra.
Lời giải:
a) A = {(1; 4); (2; 3); (3; 2); (4; 1)}.
B = {(1; 6); (2; 3); (3; 2); (6; 1)}.
b) Các kết quả của phép thử làm cho cả hai biến cố A và B cùng xảy ra là (2; 3) và (3; 2).
Thực hành 1 trang 89 Toán 11 Tập 2: Tiếp tục với phép thử ở Ví dụ 1.
b) Gọi là biến cố đối của biến cố A. Hãy viết tập hợp mô tả các biến cố giao và
Lời giải:
a) Ta có D = {(3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4); (3; 5); (3; 6)}.
Theo hoạt động khám phá 1 và Ví dụ 1, ta có:
A = {(1; 4); (2; 3); (3; 2); (4; 1)}.
B = {(1; 6); (2; 3); (3; 2); (6; 1)}.
C = {(1; 6); (6; 1); (1; 5); (5; 1); (1; 4); (4; 1); (1; 3); (3; 1); (1; 2); (2; 1); (1; 1)}.
Khi đó:
AD = {(3; 2)}; BD = {(3; 2)}; CD = {(3; 1)}.
b) = {(1; 6); (6; 1)}.
= {(1; 6); (6; 1); (1; 5); (5; 1); (1; 3); (3; 1); (1; 2); (2; 1); (1; 1)}.
2. Hai biến cố xung khắc
Lời giải:
Ta có A = {(1; 4); (2; 3); (3; 2); (4; 1)}.
B = {(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)}.
AB = ∅ .
Do đó A và B không đồng thời xảy ra.
Lời giải:
Biến cố D: “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8”.
Thực hành 3 trang 90 Toán 11 Tập 2:
a) Hai biến cố đối nhau xung khắc với không?
b) Hai biến cố xung khắc có phải là hai biến cố đối nhau không?
Lời giải:
a) Hai biến cố đối nhau thì xung khắc.
b) Hai biến cố xung khắc thì chưa chắc là hai biến cố đối nhau.
Ví dụ: Một hộp có 5 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp. Xét hai biến cố:
Biến cố A “Hai viên bi lấy ra cùng màu xanh” và biến cố B “Hai viên bi lấy ra cùng màu đỏ” là hai biến cố xung khắc nhưng không đối nhau.
3. Biến cố độc lập
a) Tính xác suất của biến cố B.
b) Tính xác suất của biến cố B trong hai trường hợp sau:
Lời giải:
a) Ta có = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, n( ) = 6.
B = {6}, n(B) = 1. Do đó .
b) Kí hiệu (i; j) là kết quả An gieo được mặt i chấm, Bình gieo được mặt j chấm, với 1 ≤ i; j ≤ 6.
+) Nếu biến cố A xảy ra thì kết quả của phép thử là 1 trong 6 kết quả (6; 1); (6; 2); (6; 3); (6; 4); (6; 5); (6; 6). Trong đó có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố B. Do đó .
+) Nếu biến cố A không xảy ra thì kết quả của phép thử là {(i; j): 1 ≤ i ≤ 5; 1 ≤ j ≤ 6}. Có 30 kết quả.
Trong đó có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố B là: (1; 6); (2; 6); (3; 6); (4; 6); (5; 6).
Do đó .
Lời giải:
Biến cố A: “Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp”.
Biến cố B: “Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt ngửa”.
4. Quy tắc nhân xác suất của hai biến cố độc lập
Lời giải:
Ta có = {(i; j): 1 ≤ i ≤ 6; 1 ≤ j ≤ 6} suy ra n( ) = 36.
AB = {(6; 6)}, suy ra n(AB) = 1. Do đó .
Mà ; nên .
Do đó P(AB) = P(A)P(B).
Lời giải:
Gọi biến cố A: “Nguyệt bắn trúng tâm bia”.
Biến cố B: “Nhi bắn trúng tâm bia”.
Biến cố AB: “Cả hai bạn bắn trúng tâm bia”.
Theo đề có: P(A) = 0,9 và P(B) = 0,8.
Vì A, B độc lập nên P(AB) = P(A)P(B) = 0,9 × 0,8 = 0,72.
Vậy xác suất để cả hai bạn bắn trúng tâm bia là 0,72.
Bài tập
a) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố AB và tính P(AB).
b) Hãy tìm một biến cố khác rỗng và xung khắc với cả hai biến cố A và B.
Lời giải:
a) Ta có = {(i; j): 1 ≤ i ≤ 3; 1 ≤ j ≤ 5} suy ra n() = 15.
AB: “Tổng các số ghi trên hai thẻ bằng 6 và tích của chúng là số lẻ”.
Khi đó AB = {(1; 5); (3; 3)}, suy ra n(AB) = 2.
.
b) Biến cố C: “Hai thẻ lấy được đều bằng 2”.
Khi đó biến cố C xung khắc với cả hai biến cố A và B.
a) Hãy mô tả bằng lời biến cố AB.
b) Hai biến cố A và B có độc lập không? Tại sao?
Lời giải:
a) Biến cố AB: “Số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho cả 2 và 3”.
b) A = {2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20}, suy ra n(A) = 10.
Do đó .
B = {3; 6; 9; 12; 15; 18; 21}, suy ra n(B) = 7. Do đó .
AB = {6; 12; 18}, suy ra n(AB) = 3. Do đó .
Vì P(A)P(B) = = P(AB) nên A và B không độc lập.
Bài 3 trang 93 Toán 11 Tập 2: Cho A và B là hai biến cố độc lập.
a) Biết P(A) = 0,7 và P(B) = 0,2. Hãy tính xác suất của các biến cố AB, và .
b) Biết P(A) = 0,5 và P(AB) = 0,3. Hãy tính xác suất của các biến cố B, và .
Lời giải:
a) Vì P(A) = 0,7 nên ; P(B) = 0,2 nên .
Do A, B là hai biến cố độc lập nên P(AB) = P(A)P(B) = 0,7 × 0,2 = 0,14.
Do A, B là hai biến cố độc lập nên , B cũng là hai biến cố độc lập.
Do đó = 0,3 × 0,2 = 0,06.
Do A, B là hai biến cố độc lập nên , cũng là hai biến cố độc lập.
Do đó = 0,3 × 0,8 = 0,24.
b) Vì P(A) = 0,5 nên .
Do A, B là hai biến cố độc lập nên P(AB) = P(A)P(B) nên .
Vì P(B) = 0,6 nên .
Do A, B là hai biến cố độc lập nên , B cũng là hai biến cố độc lập.
Do đó = 0,5 × 0,6 = 0,3.
Do A, B là hai biến cố độc lập nên , cũng là hai biến cố độc lập.
Do đó = 0,5 × 0,4 = 0,2.
a) “Cả 2 lần bắn đều trúng đích”;
b) “Cả 2 lần bắn đều không trúng đích”;
c) “Lần bắn thứ nhất trúng đích, lần bắn thứ hai không trúng đích”.
Lời giải:
Theo sơ đồ trên thì:
a) Xác suất cả hai lần bắn trúng đích là 0,54.
b) Xác suất cả hai lần bắn đều không trúng đích là 0,04.
c) Xác suất để lần bắn thứ nhất trúng đích, lần bắn thứ hai không trúng đích là 0,36.
Lời giải:
Xác suất anh Lâm không bị lây bệnh từ người bệnh là : 0,2 × 0,9 = 0,18.
Xác suất anh Lâm bị lây bệnh từ người bệnh là : 1 – 0,18 = 0,82.
Vậy xác suất anh Lâm bị lây bệnh từ người bệnh là 0,82.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: