Giải SGK Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Đạo hàm

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Đạo hàm sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 1. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 1: Đạo hàm

Hoạt động khởi động trang 36 Toán 11 Tập 2: Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của Giải tích. Đạo hàm cho biết “tốc độ thay đổi” của hàm số theo biến số. Trong chương này, chúng ta sẽ tìm hiểu về đạo hàm, ý nghĩa hình học của đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm. Chúng ta cũng tìm hiểu về đạo hàm cấp hai và giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với đạo hàm.

Hoạt động khởi động trang 36 Toán 11 Tập 2

Một vật được thả từ trực thăng. Làm thế nào để biết được vận tốc rơi của vật tại một thời điểm bất kì?

Lời giải:

Để biết được vận tốc rơi của vật tại một thời điểm bất kì thì ta xác định hàm số biểu diễn độ cao của vật đó khi được thả từ chiếc trực thăng. Sau đó ta tính đạo hàm hàm số vừa tìm được.

Hoạt động khởi động trang 37 Toán 11 Tập 2: Giữa tốc độ của xe và quãng đường mà xe đi được có mối liên hệ như thế nào? Nếu biết quãng đường s(t) tại mọi điểm t thì có thể tính được tốc độ của xe tại mỗi thời điểm không?

Hoạt động khởi động trang 37 Toán 11 Tập 2

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết được:

Tốc độ của xe cho biết tốc độ thay đổi của quãng đường của xe đi được theo thời gian. Nếu biết quãng đường tại mọi thời điểm thì có thể tính được tốc độ của xe tại mọi thời điểm (dựa vào phép tính đạo hàm).

1. Đạo hàm

Hoạt động khám phá 1 trang 37 Toán 11 Tập 2: Quãng đường rơi tự do của một vật được biểu diễn bởi công thức s(t) = 4,9t2 với t là thời gian tính bằng giây và s tính bằng mét.

Hoạt động khám phá 1 trang 37 Toán 11 Tập 2

Vận tốc trung bình của chuyển động này trên khoảng thời gian [5; t] hoặc [t; 5] được tính bằng công thức s(t)s(5)t5.

a) Hoàn thiện bảng sau về vận tốc trung bình trong những khoảng thời gian khác nhau. Nêu nhận xét về s(t)s(5)t5 khi t càng gần 5.

Khoảng thời gian

[5; 6]

[5; 5,1]

[5; 5,05]

[5; 5,01]

[5; 5,001]

[4,999; 5]

[4,99; 5]

s(t)s(5)t5

53,9

?

?

?

?

?

?

b) Giới hạn limt5s(t)s5t5được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 = 5. Tính giá trị này.

c) Tính giới hạn limtt0stst0tt0 để xác định vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điềm t0 nào đó trong quá trình rơi của vật.

Lời giải:

a) • Với t ∈ [5; 5,1], chọn t = 5,1 ta có:

s(t)s(5)t5=4,9.5,124,9.525,15=49,49.

• Với t ∈ [5; 5,05], chọn t = 5,05 ta có:

s(t)s(5)t5=4,9.5,0524,9.525,055=49,245.

• Với t ∈ [5; 5,01], chọn t = 5,01 ta có:

s(t)s(5)t5=4,9.5,0124,9.525,015=49,049.

• Với t ∈ [5; 5,001], chọn t = 5,001 ta có:

s(t)s(5)t5=4,9.5,00124,9.525,0015=49,0049.

• Với t ∈ [4,999; 5], chọn t = 4,999 ta có:

s(t)s(5)t5=4,9.4,99924,9.524,9995=49,9951.

• Với t ∈ [4,99; 5], chọn t = 4,99 ta có:

s(t)s(5)t5=4,9.4,9924,9.524,995=49,951.

Từ đó ta có bảng sau:

Khoảng thời gian

[5; 6]

[5; 5,1]

[5; 5,05]

[5; 5,01]

[5; 5,001]

[4,999; 5]

[4,99; 5]

s(t)s(5)t5

53,9

49,49

49,245

49,049

49,0049

48,9951

48,951

Ta thấy s(t)s(5)t5càng gần 49 khi t càng gần 5.

b) limt5s(t)s5t5=limt54,9t24,9.52t5

=limt54,9t252t5=limt54,9t5t+5t5

=limt54,9t+5=4,95+5=49.

c) limtt0stst0tt0=limtt04,9t24,9t02tt0

=limtt04,9t2t02tt0=limtt04,9tt0t+t0tt0

=limtt04,9t+t0=4,9t0+t0=9,8t0.

Thực hành 1 trang 39 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3.

Lời giải:

Với bất kì x0 ∈ ℝ, ta có:

f'x0=limxx0x3x03xx0=limxx0xx0x2+x.x0+x02xx0

=limxx0x2+x.x0+x02=x02+x0.x0+x02=3x02.

Vậy f'(x)=x3'=3x2 trên ℝ.

Vận dụng trang 39 Toán 11 Tập 2: Với tình huống trong Hoạt động khám phá 1, hãy tính vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2.

Lời giải:

Với bất kì t0 ∈ ℝ, ta có:

s't0=limtt0stst0tt0=9,8t0.

Do đó s't=9,8t trên ℝ.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là:

v(2)=s'2=9,8.2=19,6 (m/s).

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Hoạt động khám phá 2 trang 39 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số y=f(x)=12x2có đồ thị (C) và điểm M1;12thuộc (C).

a) Vẽ (C) và tính f' (1).

b) Vẽ đường thẳng d đi qua điểm M và có hệ số góc bằng f' (1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa d và (C).

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số (C):y=12x2 được vẽ như hình bên dưới.

Hoạt động khám phá 2 trang 39 Toán 11 Tập 2

Ta có f'1=limt1fxf1x1=limt112x212x1

=limt112x21x1=limt112x1x+1x1

=limt112x+1=12x+1=1.

b) Theo đề bài, đường thẳng d đi qua M1;12 và có hệ số góc bằng k = f' (1) = 1 nên:

y12=1x1y12=x1y=x12.

Lấy điểm M1;12, vẽ đường thẳng (d):y=x12, ta có hình vẽ:

Hoạt động khám phá 2 trang 39 Toán 11 Tập 2

Nhận xét: Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại duy nhất tại điểm M1;12.

Khi đó, đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại điểm M1;12.

Thực hành 2 trang 40 Toán 11 Tập 2: Cho (C) là đồ thị của hàm số fx=1x và điểm M(1; 1) ∈ (C). Tính hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M và viết phương trình tiếp tuyến đó.

Lời giải:

Ta có 1x'=1x2 nên tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hệ số góc f'(x)=112=1.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là:

y – 1 = (–1)(x – 1) ⇔ y – 1 = 1 – x ⇔ y = – x + 2.

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M bằng –1 và phương trình tiếp tuyến là y = – x + 2.

3. Số e

Hoạt động khám phá 3 trang 40 Toán 11 Tập 2: Một người gửi tiết kiệm khoản tiền A triệu đồng (gọi là vốn) với lãi suất r/năm theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn được cộng gộp vào vốn). Tính tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi nếu kì hạn là

a) một năm;

b) một tháng.

Lưu ý: Nếu một năm được chia thành n kì hạn (n ∈ ℕ*) thì lãi suất mỗi kì hạn là rn.

Lời giải:

a) Nếu người gửi với kì hạn một năm.

Số tiền lãi sau một năm là A.r.

Tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi là:

A + Ar = A(1 + r).

b) Nếu người gửi với kì hạn một tháng.

Số tiền lãi sau tháng thứ nhất là: A.r12.

Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ nhất là:

A+A.r12=A1+r12.

Số tiền lãi sau tháng thứ hai là: A1+r12r12.

Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ hai là:

A1+r12+A1+r12r12=A1+r121+r12=A1+r122

Số tiền lãi sau tháng thứ ba là: A1+r122r12.

Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ ba là:

A1+r122+A1+r122r12=A1+r1221+r12=A1+r123

...

Tương tự, tổng số tiền vốn và lãi sau 1 năm (tức là sau tháng thứ 12) là: A1+r1212.

Vậy tổng số tiền vốn và lãi sau một năm là A1+r1212.

Thực hành 3 trang 41 Toán 11 Tập 2: Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 5 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 4% năm và theo thể thức lãi kép liên tục. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau:

a) 1 ngày.

b) 30 ngày.

(Luôn coi một năm có 365 ngày.)

Lời giải:

a) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày là:

T=5000000.e0,0413655000548 (đồng)

Vậy tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày khoảng 5 000 548 đồng.

b) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày là:

T=5000000.e0,04303655016465 (đồng).

Vậy tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày khoảng 5 016 465 đồng.

Bài tập

Bài 1 trang 41 Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = −x2;

b) f(x) = x− 2x;

c) fx=4x.

Lời giải:

a) Với bất kì x0 ∈ ℝ, ta có:

f'x0=limxx0x2x02xx0=limxx0x2+x02xx0

=limxx0xx0x+x0xx0=limxx0xx0

=x0x0=2x0.

Vậy f'(x)=x2'=2x trên ℝ.

b) Với bất kì x0 ∈ ℝ, ta có:

f'x0=limxx0x32xx032x0xx0

=limxx0x32xx03+2x0xx0=limxx0x3x032x2x0xx0

=limxx0xx0x2+x.x0+x022xx0xx0

=limxx0xx0x2+x.x0+x022xx0

=limxx0x2+x.x0+x022

=x02+x0.x0+x022=3x022.

Vậy f'(x)=x32x'=3x22 trên ℝ.

c) Với bất kì x0 ≠ 0, ta có:

f'x0=limxx04x4x0xx0=limxx04x04xxx0xx0=limxx04x04xxx0xx0

=limxx04xx0xx0xx0=limxx04xx0=4x0.x0=4x02.

Vậy f'(x)=4x'=4x2 trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).

Bài 2 trang 41 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = −2x2 có đồ thị (C) và điểm A(1; −2) ∈ (C). Tính hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A.

Lời giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A là:

f'1=limx12x22.12x1=limx12x2+2x1

=limx12x21x1=limx12x1x+1x1

=limx12x+1=21+1=4.

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A là −4.

Bài 3 trang 42 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3.

a) Tại điểm (−1; 1);

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2.

Lời giải:

Ta có: (x3)′=3x2.

a) Vì điểm M(−1; 1) không thuộc đồ thị hàm số (C) nên không có phương trình tiếp tuyến tại điểm M(−1; 1).

b) Với x0=2⇔y0=23=8. Do đó N(2;8).

Tiếp tuyến của (C) tại điểm N(2;8) có hệ số góc là:

f′(2)=3.22=12.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm N là:

y – 8= 12(x − 2) ⇔ y = 12x  –24 + 8 ⇔ y = 12x – 16.

Bài 4 trang 42 Toán 11 Tập 2: Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = 4t3 + 6t + 2, trong đó tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2.

Lời giải:

Vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2 là:

v(2)=s'2=limt2s(t)s(2)t2

=limt24t3+6t+24.23+6.2+2t2

=limt24t3+6t+246t2=limt24t3+6t44t2

=limt222t3+3t22t2=limt22t22t2+4t11t2

=limt222t2+4t11=22.22+4.211=54.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là v(2) = 54 m/s.

Bài 5 trang 42 Toán 11 Tập 2: Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 10 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5%/năm. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau một năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức

a) lãi kép với kì hạn 6 tháng.

b) lãi kép liên tục.

Lời giải:

a) Nếu tiền lãi được tính theo thể thứclãi kép với kì hạn 6 tháng.

Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là:

T=A.1+rnn=1000000000.1+0,0522=10506250 (đồng).

Vậy tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là 10 506 250 đồng, nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép với kì hạn 6 tháng.

b) Nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép liên tục.

Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là:

T=A.ert=1000000000.e0,0510512711 (đồng).

Vậy tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là 10 512 711 đồng, nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép liên tục.

Bài 6 trang 42 Toán 11 Tập 2: Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tư do của một vật được cho bởi công thức h(t) = 0,81t2, với được tính bằng giây và tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt Trăng tại thời điểm t = 2.

Lời giải:

Bài 6 trang 42 Toán 11 Tập 2(Nguồn: https:/www.britannica.complace/Moon)

Ta có h'2=limt2h(t)h(2)t2=limt20,81t20,81.22t2

=limt20,81t222t2=limt20,81t2t+2t2

=limt20,81t+2=0,812+2=3,24.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là v(2) = h(2) = 3,24 m/s.

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Câu hỏi liên quan

a) Với bất kì x0 ∈ ℝ, ta có:
Xem thêm
Với bất kì x0 ∈ ℝ, ta có:
Xem thêm
Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A là:
Xem thêm
Vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2 là:
Xem thêm
a) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày là:
Xem thêm
a) Nếu tiền lãi được tính theo thể thứclãi kép với kì hạn 6 tháng.
Xem thêm
Ta có (1/x)' = -1/x^2 nên tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hệ số góc f'(x) = -1/1^2 = -1.
Xem thêm
Ta có: (x^3)′=3x^2.
Xem thêm
a) Đồ thị hàm số (C): y =1/2x^2 được vẽ như hình bên dưới.
Xem thêm
a) Nếu người gửi với kì hạn một năm.
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Đạo hàm (CTST)
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!