Giải Toán 11 Bài 1: Đạo hàm
Lời giải:
Để biết được vận tốc rơi của vật tại một thời điểm bất kì thì ta xác định hàm số biểu diễn độ cao của vật đó khi được thả từ chiếc trực thăng. Sau đó ta tính đạo hàm hàm số vừa tìm được.
Lời giải:
Sau khi học xong bài này, ta giải quyết được:
Tốc độ của xe cho biết tốc độ thay đổi của quãng đường của xe đi được theo thời gian. Nếu biết quãng đường tại mọi thời điểm thì có thể tính được tốc độ của xe tại mọi thời điểm (dựa vào phép tính đạo hàm).
1. Đạo hàm
Khoảng thời gian |
[5; 6] |
[5; 5,1] |
[5; 5,05] |
[5; 5,01] |
[5; 5,001] |
[4,999; 5] |
[4,99; 5] |
53,9 |
? |
? |
? |
? |
? |
? |
b) Giới hạn được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 = 5. Tính giá trị này.
Lời giải:
a) • Với t ∈ [5; 5,1], chọn t = 5,1 ta có:
• Với t ∈ [5; 5,05], chọn t = 5,05 ta có:
.
• Với t ∈ [5; 5,01], chọn t = 5,01 ta có:
.
• Với t ∈ [5; 5,001], chọn t = 5,001 ta có:
.
• Với t ∈ [4,999; 5], chọn t = 4,999 ta có:
.
• Với t ∈ [4,99; 5], chọn t = 4,99 ta có:
.
Từ đó ta có bảng sau:
Khoảng thời gian |
[5; 6] |
[5; 5,1] |
[5; 5,05] |
[5; 5,01] |
[5; 5,001] |
[4,999; 5] |
[4,99; 5] |
53,9 |
49,49 |
49,245 |
49,049 |
49,0049 |
48,9951 |
48,951 |
Ta thấy càng gần 49 khi t càng gần 5.
b)
c)
Thực hành 1 trang 39 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3.
Lời giải:
Với bất kì x0 ∈ ℝ, ta có:
.
Vậy trên ℝ.
Lời giải:
Với bất kì t0 ∈ ℝ, ta có:
.
Do đó trên ℝ.
Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là:
(m/s).
2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Hoạt động khám phá 2 trang 39 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số có đồ thị (C) và điểm thuộc (C).
Lời giải:
a) Đồ thị hàm số được vẽ như hình bên dưới.
Ta có
.
b) Theo đề bài, đường thẳng d đi qua và có hệ số góc bằng k = f' (1) = 1 nên:
.
Lấy điểm , vẽ đường thẳng , ta có hình vẽ:
Nhận xét: Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại duy nhất tại điểm .
Khi đó, đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại điểm .
Lời giải:
Ta có nên tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hệ số góc .
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là:
y – 1 = (–1)(x – 1) ⇔ y – 1 = 1 – x ⇔ y = – x + 2.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M bằng –1 và phương trình tiếp tuyến là y = – x + 2.
3. Số e
Lưu ý: Nếu một năm được chia thành n kì hạn (n ∈ ℕ*) thì lãi suất mỗi kì hạn là .
Lời giải:
a) Nếu người gửi với kì hạn một năm.
Số tiền lãi sau một năm là A.r.
Tổng số tiền vốn và lãi sau một năm của người gửi là:
A + Ar = A(1 + r).
b) Nếu người gửi với kì hạn một tháng.
Số tiền lãi sau tháng thứ nhất là: .
Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ nhất là:
.
Số tiền lãi sau tháng thứ hai là: .
Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ hai là:
Số tiền lãi sau tháng thứ ba là: .
Tổng số tiền vốn và lãi sau tháng thứ ba là:
...
Tương tự, tổng số tiền vốn và lãi sau 1 năm (tức là sau tháng thứ 12) là:
Vậy tổng số tiền vốn và lãi sau một năm là
(Luôn coi một năm có 365 ngày.)
Lời giải:
a) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày là:
(đồng)
Vậy tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 1 ngày khoảng 5 000 548 đồng.
b) Tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày là:
(đồng).
Vậy tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau 30 ngày khoảng 5 016 465 đồng.
Bài tập
Bài 1 trang 41 Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:
Lời giải:
a) Với bất kì x0 ∈ ℝ, ta có:
.
Vậy trên ℝ.
b) Với bất kì x0 ∈ ℝ, ta có:
.
Vậy trên ℝ.
c) Với bất kì x0 ≠ 0, ta có:
.
Vậy trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).
Lời giải:
Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A là:
.
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại điểm A là −4.
Bài 3 trang 42 Toán 11 Tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3.
b) Tại điểm có hoành độ bằng 2.
Lời giải:
Ta có: (x3)′=3x2.
a) Vì điểm M(−1; 1) không thuộc đồ thị hàm số (C) nên không có phương trình tiếp tuyến tại điểm M(−1; 1).
b) Với x0=2⇔y0=23=8. Do đó N(2;8).
Tiếp tuyến của (C) tại điểm N(2;8) có hệ số góc là:
f′(2)=3.22=12.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm N là:
y – 8= 12(x − 2) ⇔ y = 12x –24 + 8 ⇔ y = 12x – 16.
Lời giải:
Vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2 là:
.
Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là v(2) = 54 m/s.
a) lãi kép với kì hạn 6 tháng.
Lời giải:
a) Nếu tiền lãi được tính theo thể thứclãi kép với kì hạn 6 tháng.
Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là:
(đồng).
Vậy tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là 10 506 250 đồng, nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép với kì hạn 6 tháng.
b) Nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép liên tục.
Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là:
(đồng).
Vậy tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là 10 512 711 đồng, nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép liên tục.
Lời giải:
(Nguồn: https:/www.britannica.complace/Moon)
Ta có
.
Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là v(2) = h' (2) = 3,24 m/s.
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: