Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau: a) f(x) = −x^2; b) f(x) = x^2 − 2x

Bài 1 trang 41 Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = −x²;

b) f(x) = x² − 2x;

c) $f\left(x\right)=\frac{4}{x}$.

Trả lời

a) Với bất kì x₀ ∈ ℝ, ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(-x^2\right)-\left(-x_0^2\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-x^2+x_0^2}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(-x-x_0\right)$

$=-x_0-x_0=-2x_0$.

Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(-x^2\right)}^{\text{'}}=-2x$ trên ℝ.

b) Với bất kì x₀ ∈ ℝ, ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x^3-2x\right)-\left(x_0^3-2x_0\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^3-2x-x_0^3+2x_0}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x^3-x_0^3\right)-\left(2x-2x_0\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x.x_0+x_0^2\right)-2\left(x-x_0\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x.x_0+x_0^2-2\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x^2+x.x_0+x_0^2-2\right)$

$=x_0^2+x_0.x_0+x_0^2-2=3x_0^2-2$.

Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(x^3-2x\right)}^{\text{'}}=3x^2-2$ trên ℝ.

c) Với bất kì x₀ ≠ 0, ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{4}{x}-\frac{4}{x_0}}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\frac{4x_0-4x}{x{x}_0}}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{4x_0-4x}{x{x}_0\left(x-x_0\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-4\left(x-x_0\right)}{x{x}_0\left(x-x_0\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{-4}{x{x}_0}=\frac{-4}{x_0.x_0}=-\frac{4}{x_0^2}$.

Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)={\left(\frac{4}{x}\right)}^{\text{'}}=-\frac{4}{x^2}$ trên các khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: