Giải SGK Toán 11 (Chân trời sáng tạo) Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

1900.edu.vn xin giới thiệu giải bài tập Toán lớp 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 1. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

Hoạt động khởi động trang 54 Toán 11 Tập 2: Ta đã biết cách xác định góc giữa hai đường thẳng cùng thuộc một mặt phẳng. Có góc giữa hai đường thẳng chéo nhau không? Nếu có, làm thế nào để xác định?

Hoạt động khởi động trang 54 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Sau khi học xong bài học này, ta giải quyết bài toán trên như sau:

Có góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b: Kẻ một đường thẳng c song song với b thuộc mặt phẳng chứa a. Góc giữa a và b bằng góc giữa a và c.

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Hoạt động khám phá 1 trang 54 Toán 11 Tập 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian. Qua một điểm M tuỳ ý vẽ a // a′ và vẽ b // b′. Khi thay đổi vị trí của điểm M, có nhận xét gì về góc giữa a′ và b′?

Hoạt động khám phá 1 trang 54 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Khi thay đổi vị trí của điểm M , g óc giữa a′ và b ′ không thay đổi.

2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Thực hành 1 trang 55 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông M, N, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, BA, AA′, A′D′. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) MN và DD ′ ;

b) MN và CD ′ ;

c) EF và CC ′ .

Lời giải:

Thực hành 1 trang 55 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Xét tam giác ABC có:

M là trung điểm của BC

N là trung điểm của BA

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ MN // AC

Mà DD ′ // AA ′ nên (MN, DD ′ ) = (AC, AA ′ ) = A'AC^=90°

b) Ta có: MN // AC

⇒ (MN, CD ′ ) = (AC, CD ′ ) = ACD'^

Vì ABCD, ADD ′A′, CDD′C′ là các hình vuông bằng nhau nên các đường chéo của chúng bằng nhau nên AC = AD′ = CD′.

Suy ra ACD ′ là tam giác đều.

  ACD'^=60ο hay (MN, CD ′ ) = 60 °

c) Xét tam giác AA′D′ có:

E là trung điểm của AA ′

F là trung điểm của A ′D′

Nên EF là đường trung bình của tam giác AA ′D′ .

⇒ EF // AD ′

Mà CC ′ // AA ′

⇒ (EF, CC ′ ) = (AD ′ , AA ′ ) = A'AD'^=45°

Vận dụng 1 trang 55 Toán 11 Tập 2: Khung của một mái nhà được ghép bởi các thanh gỗ như Hình 3. Cho biết tam giác OMN vuông cân tại O. Tính góc giữa hai thanh gỗ a và b.

Vận dụng 1 trang 55 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Vì a // OM nên (a, b) = (MN, OM) = OMN^.

Mà tam giác OMN vuông cân tại O. Vậy góc giữa a và b là 45 °.

Hoạt động khám phá 2 trang 55 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông. Nêu nhận xét về góc giữa các cặp đường thẳng:

a) AB và BB′ ;

b) AB và DD′ .

Lời giải:

Hoạt động khám phá 2 trang 55 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) ABB′A′ là hình vuông nên AB ⊥ BB ′ hay góc giữa AB và BB′ là 90 °.

b) Vì DD′ // AA′ nên (AB, DD′) = (AB, AA′) = A'AB^=90° .

Thực hành 2 trang 55 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông.

a) Tìm các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương và vuông góc với AC .

b) Trong các đường thẳng tìm được ở câu a, tìm đường thẳng chéo với AC .

Lời giải:

Thực hành 2 trang 55 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình hộp và vuông góc với AC là BD, B′D′, AA′, CC′, BB′, DD′.

b) Trong các đường thẳng trên, đường thẳng chéo với AC là B′D′.

Vận dụng 2 trang 55 Toán 11 Tập 2: Hình bên mô tả một người thợ đang ốp gạch vào tường có sử dụng thước laser để kẻ vạch. Tìm các đường thẳng vuông góc với đường thẳng a trong Hình 4.

Vận dụng 2 trang 55 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Các đường thẳng vuông góc với a là: chân tường, mép các viên gạch ốp tường, mép các viên gạch sàn nhà song song với chân tường, …

Bài tập

Bài 1 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a. Cho biết SA = a3 , SA ⊥AB và SA ⊥AD. Tính góc giữa SB và CD, SD và CB.

Lời giải:

Bài 1 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Vì CD // AB nên (SB, CD) = (SB, AB) = SBA^

Xét tam giác SBA có: SA ⊥AB nên ΔSAB vuông tại A.

tanSBA^=SAAB=a3a=3. Vậy SBA^=60° .

Mặt khác, CB // AD nên (SD, CB) = (SD, AD) = SDA^

Xét tam giác SDA có: SD⊥AD nên ΔSDA vuông tại D.

tanSDA^=SAAD=a3a=3.

Vậy SDA^=60°.

Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Lời giải:

Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.

Xét tam giác ABC:

M là trung điểm của AC.

N là trung điểm của BC.

Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ MN // AB; MN = 12AB = a2 (1)

Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:

⇒ MP // CD; MP = 12CD = a2 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MN = MP = a2

Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP = a32

Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP = a32

Xét tam giác BCP có: BP = CP = a32

⇒ Tam giác BCP cân tại P.

Mà N là trung điểm của BC ⇒ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN

PN = CP2CN2=a322a22=a22

Xét tam giác MNP:

MP2 + MN2 = a22+a22=2a24 ; PN2 = a222=2a24

⇒ MP2 + MN2 = PN2

⇒ Tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = NMP^=90°.

Vậy AB ⊥CD.

Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, BSA^=CSA^=60°,BSC^=90°. Cho I và J lần lượt là trung điểm của SA và BC. Chứng minh rằng IJ ⊥SA và IJ ⊥BC.

Lời giải:

Bài 3 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Xét tam giác SAB có:

SA = SB = a

BSA^=60°

 Tam giác SAB đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IB = a32

Xét tam giác SAC có:

SA = SC = a

ASC^=60°

 Tam giác SAC đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IC = a32

Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.

 BC=SB2+SC2=a2

Xét tam giác ABC:

AB = AC = a

AB2 + AC2 = a2 + a2 = 2a2

BC2 = a22= 2a2

 AB2 + AC2 = BC2

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ AJ ⊥ BC

  AJ = AB2BJ2=a2a222=a22

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒  SJ ⊥ BC

  SJ = SB2BJ2=a2a222=a22

Xét tam giác JSA:

AJ = SJ = a22

  Tam giác JSA cân tại J.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.

hay IJ ⊥SA.

Xét tam giác IBC:

IB = IC = a32

 Tam giác IBC cân tại I.

Mà J là trung điểm của BC ⇒  IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC.

hay IJ ⊥BC.

Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm CD. Tính góc giữa hai đường thẳng AK và BC.

Lời giải:

Bài 4 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Gọi H là trung điểm của BD.

Ta có: K là trung điểm của CD.

Nên HK là đường trung bình tam giác BCD

⇒ HK // BC; HK = 12BC=a2

⇒ (AK, BC) = (AK, HK)

Xét tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC ⇒  AH = a32

Xét tam giác ACD đều có K là trung điểm của CD ⇒  AK = a32

Xét tam giác AHK: cosAKH^=AK2+HK2AH22.AK.HK=36

 AKH^73,2°

Vậy (AK, BC) = AKH^73,2°

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Biết AB = CD = 2a và MN = a3 . Tính góc giữa AB và CD.

Lời giải:

Bài 5 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Gọi O là trung điểm của AC.

Ta có M là trung điểm của BC.

 OM là đường trung bình tam giác ABC

 OM // AB; OM = 12 AB = a

Tương tự ON là đường trung bình tam giác ACD.

  ON // CD; ON = 12CD = a

  (AB, CD) = (OM, ON)

Trong tam giác MON:

OM = ON = a; MN = a3

cosMON^=OM2+ON2MN22.OM.ON=a2+a2a322.a.a=12

 MON^=120°.

Vậy (AB,CD)=180°MON^=60°.

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 2: Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều ABCDEF song song với mặt bàn và có cạnh AB song song với cạnh bàn a (Hình 5). Tính số đo góc hợp bởi đường thẳng a lần lượt với các đường thẳng AF, AE và AD.

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Lời giải:

Bài 6 trang 56 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

Ta có: AB // a, nên

(a, AF) = (AB, AF) = 120°

(a, AE) = (AB, AE) = 90°

(a, AD) = (AB, AD) = 60°

Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

 

Câu hỏi liên quan

Vì CD // AB nên (SB, CD) = (SB, AB) = góc SBA
Xem thêm
a) Xét tam giác ABC có:
Xem thêm
Gọi H là trung điểm của BD.
Xem thêm
a) Các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình hộp và vuông góc với AC là BD, B′D′, AA′, CC′, BB′, DD′.
Xem thêm
Gọi O là trung điểm của AC.
Xem thêm
a) ABB′A′ là hình vuông nên AB ⊥ BB ′ hay góc giữa AB và BB′ là 90 °.
Xem thêm
Xét tam giác SAB có:
Xem thêm
Ta có: AB // a, nên
Xem thêm
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.
Xem thêm
Vì a // OM nên (a, b) = (MN, OM) = góc OMN.
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Hai đường thẳng vuông góc (CTST)
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!