Giải Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc
Lời giải:
Sau khi học xong bài học này, ta giải quyết bài toán trên như sau:
Có góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
Cách xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b: Kẻ một đường thẳng c song song với b thuộc mặt phẳng chứa a. Góc giữa a và b bằng góc giữa a và c.
1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Lời giải:
Khi thay đổi vị trí của điểm M , g óc giữa a′ và b ′ không thay đổi.
2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian
Lời giải:
a) Xét tam giác ABC có:
M là trung điểm của BC
N là trung điểm của BA
Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
⇒ MN // AC
Mà DD ′ // AA ′ nên (MN, DD ′ ) = (AC, AA ′ ) =
b) Ta có: MN // AC
⇒ (MN, CD ′ ) = (AC, CD ′ ) =
Vì ABCD, ADD ′A′, CDD′C′ là các hình vuông bằng nhau nên các đường chéo của chúng bằng nhau nên AC = AD′ = CD′.
Suy ra ACD ′ là tam giác đều.
⇒ hay (MN, CD ′ ) = 60 °
c) Xét tam giác AA′D′ có:
E là trung điểm của AA ′
F là trung điểm của A ′D′
Nên EF là đường trung bình của tam giác AA ′D′ .
⇒ EF // AD ′
Mà CC ′ // AA ′
⇒ (EF, CC ′ ) = (AD ′ , AA ′ ) =
Lời giải:
Vì a // OM nên (a, b) = (MN, OM) = .
Mà tam giác OMN vuông cân tại O. Vậy góc giữa a và b là 45 °.
Lời giải:
a) ABB′A′ là hình vuông nên AB ⊥ BB ′ hay góc giữa AB và BB′ là 90 °.
b) Vì DD′ // AA′ nên (AB, DD′) = (AB, AA′) = .
Thực hành 2 trang 55 Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′ có 6 mặt đều là hình vuông.
a) Tìm các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương và vuông góc với AC .
b) Trong các đường thẳng tìm được ở câu a, tìm đường thẳng chéo với AC .
Lời giải:
a) Các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình hộp và vuông góc với AC là BD, B′D′, AA′, CC′, BB′, DD′.
b) Trong các đường thẳng trên, đường thẳng chéo với AC là B′D′.
Lời giải:
Các đường thẳng vuông góc với a là: chân tường, mép các viên gạch ốp tường, mép các viên gạch sàn nhà song song với chân tường, …
Bài tập
Lời giải:
Vì CD // AB nên (SB, CD) = (SB, AB) =
Xét tam giác SBA có: SA ⊥AB nên ΔSAB vuông tại A.
. Vậy .
Mặt khác, CB // AD nên (SD, CB) = (SD, AD) =
Xét tam giác SDA có: SD⊥AD nên ΔSDA vuông tại D.
.
Vậy .
Bài 2 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.
Lời giải:
Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện đều ABCD.
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AD.
Xét tam giác ABC:
M là trung điểm của AC.
N là trung điểm của BC.
Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
⇒ MN // AB; MN = AB = (1)
Tương tự: MP là đường trung bình tam giác ACD:
⇒ MP // CD; MP = CD = (2)
Từ (1) và (2) ⇒ MN = MP =
Tam giác ABD đều có BP là trung tuyến nên BP =
Tam giác ACD đều có CP là trung tuyến nên CP =
Xét tam giác BCP có: BP = CP =
⇒ Tam giác BCP cân tại P.
Mà N là trung điểm của BC ⇒ PN là đường trung tuyến nên PN ⊥ CN
PN =
Xét tam giác MNP:
MP2 + MN2 = ; PN2 =
⇒ MP2 + MN2 = PN2
⇒ Tam giác MNP vuông tại M.
Ta có: (AB, CD) = (MN, MP) = .
Vậy AB ⊥CD.
Lời giải:
Xét tam giác SAB có:
SA = SB = a
⇒ Tam giác SAB đều.
Mà I là trung điểm của SA ⇒ IB =
Xét tam giác SAC có:
SA = SC = a
⇒ Tam giác SAC đều.
Mà I là trung điểm của SA ⇒ IC =
Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.
⇒
Xét tam giác ABC:
AB = AC = a
AB2 + AC2 = a2 + a2 = 2a2
BC2 = = 2a2
⇒ AB2 + AC2 = BC2
⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.
Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ AJ ⊥ BC
⇒ AJ =
Xét tam giác SBC vuông cân tại S:
Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ SJ ⊥ BC
⇒ SJ =
Xét tam giác JSA:
AJ = SJ =
⇒ Tam giác JSA cân tại J.
Mà I là trung điểm của SA ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.
hay IJ ⊥SA.
Xét tam giác IBC:
IB = IC =
⇒ Tam giác IBC cân tại I.
Mà J là trung điểm của BC ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC.
hay IJ ⊥BC.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BD.
Ta có: K là trung điểm của CD.
Nên HK là đường trung bình tam giác BCD
⇒ HK // BC; HK =
⇒ (AK, BC) = (AK, HK)
Xét tam giác ABC đều có H là trung điểm của BC ⇒ AH =
Xét tam giác ACD đều có K là trung điểm của CD ⇒ AK =
Xét tam giác AHK:
⇒
Vậy (AK, BC) =
Lời giải:
Gọi O là trung điểm của AC.
Ta có M là trung điểm của BC.
⇒ OM là đường trung bình tam giác ABC
⇒ OM // AB; OM = AB = a
Tương tự ON là đường trung bình tam giác ACD.
⇒ ON // CD; ON = CD = a
⇒ (AB, CD) = (OM, ON)
Trong tam giác MON:
OM = ON = a; MN =
⇒ .
Vậy .
Lời giải:
Ta có: AB // a, nên
(a, AF) = (AB, AF) = 120°
(a, AE) = (AB, AE) = 90°
(a, AD) = (AB, AD) = 60°
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: