Giải Toán 11 Bài 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
(Nguồn:https://www.britannica.com/science/carbon-14)
Việc tính toán tuổi của hoá thạch được thực hiện như thế nào?
Lời giải:
Lượng carbon-14 trong hóa thạch được tính theo công thức , trong đó M0 là lượng carbon-14 có trong cơ thể sinh vật khi chết, t là thời gian tính theo năm kể từ khi sinh vật chết đến khi khảo sát. Từ đây, nếu biết M và M0 thì tìm được t.
1. Phương trình mũ
(Nguồn: Sinh học 10, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, trang 101)
a) Ban đầu mẻ có bao nhiêu cá thể vi khuẩn?
b) Sau 1 giờ thì mẻ có 100 cá thể vi khuẩn. Tìm giá trị của k (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
c) Sau bao lâu thì số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 50000?
Lời giải:
a) Số cá thể vi khuẩn ban đầu mẻ có là:
P(0)=50.10k.0=50.100=50 (cá thể)
Vậy ban đầu mẻ có 50 cá thể vi khuẩn.
b) Với t=1,P(t)=100ta có:
P(1)=50.10k.1⇔100=50.10k⇔10k=2⇔k=log2≈0,3.
Vậy k≈0,3.
c) Thời gian để số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 50000 là:
50000=50.100,3t⇔100,3t=1000
⇔0,3t=log1000⇔0,3t=3⇔t=10(giờ)
Vậy sau 10 giờ thì số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 50000.
Lời giải:
•Khi b>0, đồ thị của hai hàm số y=ax và y=b cắt nhau tại một điểm duy nhất.
Khi đó, phương trình ax=b có nghiệm duy nhất x=logab.
•Khi b≤0, đồ thị của hai hàm số y=ax và y=b không có điểm chung.
Khi đó, phương trình ax=b vô nghiệm.
Thực hành 1 trang 28 Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:
Lời giải:
a)
;
b) ;
c)
.
(Nguồn: https://pubchem.ncbi.nlm.nih.gov/elemene/Plutonium#section=Atomic-
Từ khối lượng ban đầu 200 g, sau bao lâu thì khối lượng plutonium-234 còn lại là:
Lời giải:
a) Với M0 = 200, T = 9 , M(t) = 100, ta có:
.
Vậy sau 9 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 100 g.
b) Với M0 = 200, T = 9 , M(t) = 50, ta có:
Vậy sau 18 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 50 g.
c) Với M0 = 200, T = 9 , M(t) = 20, ta có:
.
Vậy sau khoảng 29,9 giờ thì khối lượng plutonium-234 ban đầu 200 g còn lại là 20 g.
2. Phương trình lôgarit
Biết sữa có độ pH là 6,5. Nồng độ H+ của sữa bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Ta có pH = −log x ⇔ 6,5 = −log x
⇔ log x = −6,5 ⇔ x = 10−6,5 ≈ 3,16.10−7.
Vậy nồng độ H+ của sữa bằng 3,16.10−7 mol/L.
Lời giải:
Đồ thị của hai hàm số y=logax và y=b luôn cắt nhau tại một điểm duy nhất.
Khi đó, phương trình logax=b có nghiệm duy nhất x=ab.
Thực hành 2 trang 30 Toán 11 Tập 2: Giải phương trình sau:
Lời giải:
a)
Điều kiện x – 2 > 0 ⇔ x > 2.
Khi đó
(TM)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 6.
b) .
Điều kiện
Khi đó
(TM).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 4.
3. Bất phương trình mũ
Hoạt động khám phá 5 trang 30 Toán 11 Tập 2: Xét quần thể vi khuẩn ở Hoạt động khám phá 1.
a) Ở những thời điểm nào thì số lượng cá thể vi khuẩn vượt quá 50 000?
b) Ở những thời điểm nào thì số lượng cá thể vi khuẩn vượt quá 50 000 nhưng chưa vượt quá 100 000?
Lời giải:
Do 10>1nên hàm số P(t)=50.10kt đồng biến trên ℝ.
a) Tại thời điểm t=10 thì số lượng cá thể vi khuẩn bằng 50000.
Vì hàm số đồng biến trên ℝ nên với t>10 thì số lượng cá thể vi khuẩn vượt quá 50000.
b) Thời gian để số lượng cá thể vi khuẩn đạt đến 100000 là:
100000=50.100,3t⇔100,3t=2000
⇔0,3t=log2000⇔t≈11 (giờ)
•Tại thời điểm t=10 thì số lượng cá thể vi khuẩn bằng 50000.
•Tại thời điểm t=11 thì số lượng cá thể vi khuẩn bằng 100000.
Vì hàm số đồng biến trên ℝ nên với 10
Thực hành 3 trang 31 Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:
Lời giải:
a) 2x > 16 ⇔ 2x > 24 ⇔ x > 4 (do 2 > 1).
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x > 4.
b) 0,1x ≤ 0,001 ⇔ 0,1x ≤ 0,13⇔ x ≥ 3 (do 0 < 0,1 < 1).
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≥ 3.
c)
(do ).
.
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x ≥ −2.
4. Bất phương trình lôgarit
Lời giải:
Ta có .
Do nên hàm số nghịch biến trên (0; +∞).
Độ pH từ 7,3 đến 7,45 hay 7,3 ≤ −log x ≤7,45
⇔ −7,3 ≥ log x ≥ −7,45⇔ 10−7,3 ≥ x ≥ 10−7,45.
Vì hàm số nghịch biến trên (0; +∞) nên nồng độ H+trong máu nhận giá trị trong miền từ 10−7,45 mol/L đến 10−7,3mol/L.
Thực hành 4 trang 32 Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:
Lời giải:
a)
Điều kiện: x + 1 > 0 ⇔ x > −1.
.
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là .
b)
Điều kiện: x + 2 > 0 ⇔ x > −2.
.
Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là −2 < x ≤ 3.
Lời giải:
Ta có 6,5 ≤ pH ≤ 8,5 ⇔6,5 ≤ −log x ≤ 8,5
⇔−6,5 ≥ log x ≥ 8,5 ⇔ 10−6,5 ≥ x ≥ 10−8,5.
Vậy nồng độ H+trong máu nhận giá trị trong miền từ 10−8,5 mol/L đến 10−6,5mol/L.
Bài tập
Bài 1 trang 32 Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:
Lời giải:
a).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là .
b)3x + 1 = 92x + 1 ⇔ 3x + 1 = 32(2x + 1)
⇔ x + 1 = 2(2x + 1) ⇔ x + 1 = 4x + 2
⇔ 3x = −1 ⇔ .
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là .
c) 101 – 2x = 100 000 ⇔ 101 – 2x = 105
⇔ 1 – 2x = 5 ⇔ 2x = – 4 ⇔ x = – 2.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = – 2.
Bài 2 trang 33 Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau. Làm tròn kết quả đến hàng nghìn.
Lời giải:
a) 3x + 2 = 7 ⇔ x + 3 = log3 7
⇔ x = –3 + log3 7 ⇔ x ≈ –0,229.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x ≈ –0,229.
b)
.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x ≈ –0,389.
Bài 3 trang 33 Toán 11 Tập 2: Giải các phương trình sau:
Lời giải:
a) Điều kiện: 4x + 4 > 0 ⇔ x > –1
Khi đó: log6 (4x + 4) = 2 ⇔ 4x + 4 = 62
⇔ 4x + 4 = 36 ⇔ 4x = 32 ⇔ x = 8 (TMĐK)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 8.
b) Điều kiện: .
Khi đó: log3 x – log3 (x – 2) = 1
⇔ log3 x – log3 (x – 2) = 1
⇔ log3 x = log3 (x – 2) + 1
⇔ log3 x = log3 (x – 2) + log3 3
⇔ log3 x = log3 3(x – 2)
⇔ x = 3(x – 2) ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3 (TMĐK)
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 3.
Bài 4 trang 33 Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:
Lời giải:
a)
(do )
.
Vậy nghiệm của bất phương trình là .
b)
(do 2 > 1)
⇔ x > – 2.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x > – 2.
Bài 5 trang 33 Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình sau:
Lời giải:
a) Điều kiện: x – 2 > 0 ⇔ x > 2
Khi đó: log2 (x – 2) < 2⇔ x – 2 < 22
⇔ x – 2 < 4 ⇔ x < 6.
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là 2 < x < 6.
b)Điều kiện:
Khi đó: log (x + 1) ≥ log (2x – 1)
⇔x + 1 ≥ 2x – 1 ⇔x ≥ –2⇔x ≤ 2.
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là .
(nguồn://pubchem.ncbi.nlm.nih.gov/element/Polonium#section=
Atiomc-Mass-Half-Life-anh-Decay)
a) Khối lượng polonium-210 còn lại bao nhiêu sau 2 năm?
b) Sau bao lâu thì còn lại 40 g polonium-210.
Lời giải:
a) Sau 2 năm (tức t = 730), khối lượng polonium-210 còn lại là:
.
Vậy khối lượng polonium-210 còn lại sau 2 năm khoảng 1,92 g.
b) Ta có
Vậy sau khoảng 182,43 ngày thì còn lại 40 g polonium-210.
(Nguồn: Vật lí 12, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, trang 52)
Lời giải:
a) Ta có
.
Vậy cường độ âm của giọng nói giáo viên bằng 10–7 (W/m2).
b) Ta có
.
Vậy cường độ âm trong nhà xưởng này thay đổi trong khoảng 10–4,5 (W/m2) đến 10–3 (W/m2).
Xem thêm các bài giải SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác: