Giải Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vecto
1. Góc giữa hai vecto
Giải Toán 10 trang 66 Tập 1
Lời giải
Số đo góc giữa hai vectơ và là góc CBD bằng 30°.
Xét tam giác BCD có là góc ngoài của tam giác tại đỉnh C nên:
Suy ra số đo góc giữa hai vectơ và là góc ADB bằng 50°.
Vậy số đo góc giữa hai vectơ và bằng 30° và số đo góc giữa hai vectơ và bằng 50°.
Câu hỏi trang 66 Toán 10 Tập 1: Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0°, bằng 180°.
Lời giải
Góc giữa hai vectơ bằng 0° khi hai vectơ cùng hướng.
Góc giữa hai vectơ bằng 180° khi hai vectơ ngược hướng.
Luyện tập 1 trang 66 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC. Tính
Lời giải
Giải Toán 10 trang 67 Tập 1
Lời giải
Tích vô hướng của hai vectơ được tính bởi công thức sau:
Vì nên dấu của tích vô hướng phụ thuộc vào dấu của .
+) Tích vô hướng của hai vectơ là một số dương thì
Khi đó góc giữa hai vectơ là góc nhọn hoặc bằng 0°.
+) Tích vô hướng của hai vectơ là một số âm thì
Khi đó góc giữa hai vectơ là góc tù hoặc bằng 180°.
Vậy khi thì tích vô hướng của hai vectơ là một số dương;
Khi thì tích vô hướng của hai vectơ là một số âm.
Câu hỏi trang 67 Toán 10 Tập 1: Khi nào thì
Lời giải
2. Tích vô hướng của hai vecto
Lời giải
Ta có:
Xét tam giác ABC, theo định lí côsin ta có:
Vậy
3. Biểu thức tọa độ và tính chất của tích vô hướng
Giải Toán 10 trang 68 Tập 1
a)
b) và
c) và k < 0.
Lời giải
Ta có:
a) Vì vectơ vuông góc với mọi vectơ nên vectơ vuông góc với
Do đó
Ta có:
Do đó
Vậy với thì công thức đúng.
b) Vì k ≥ 0 nên vectơ cùng hướng với vectơ
Do đó
Vậy với và thì công thức đúng.
c) Vì k < 0 nên vectơ ngược hướng với vectơ
Do đó:
Vậy với và k < 0 thì công thức đúng.
HĐ 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương và .
a) Xác định tọa độ các điểm A và B sao cho
b) Tính AB2, OA2, OB2 theo tọa độ của A và B.
c) Tính theo tọa độ của A, B.
Lời giải
a) Vì mà nên suy ra A(x; y).
Vì mà nên suy ra B(x'; y').
b) +) Ta có: A(x; y) và B(x'; y')
+) Ta có :
+) Ta có:
Vậy và
c) Ta có:
Xét tam giác OAB, theo định lí côsin ta có:
Luyện tập 3 trang 68 Toán 10 Tập 1: Tính tích vô hướng và góc giữa hai vectơ
Lời giải
Vậy và góc giữa hai vectơ bằng 120°.
HĐ 4 trang 68 Toán 10 Tập 1: Cho ba vectơ
a) Tính theo tọa độ các vectơ
b) So sánh và .
c) So sánh và .
Lời giải
a) Với và ta có:
+)
.
+) và
.
b) Theo câu a ta có:
và
Vậy
c) Ta có: và
Vậy
Giải Toán 10 trang 70 Tập 1
a) Chứng minh rằng và
b) Tìm tọa độ của H.
c) Giải tam giác ABC.
Lời giải
a) Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên:
+)
+) .
Vậy và .
b) Gọi tọa độ điểm H là H(x; y).
Ta có: A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) và H(x; y).
và
Suy ra
Và .
Theo câu a ta có: 9(y – 2) = 0 y – 2 = 0 y = 2.
Và (do BH ⊥ AC) 9x + 6y – 66 = 0.
Thay y = 2 vào 9x + 6y – 66 = 0 ta được: 9x + 6.2 – 66 = 0
9x – 54 = 0
9x = 54
x = 6
⇒ H(6; 2)
Vậy H(6; 2).
c) Với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) ta có:
Xét tam giác ABC, theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có:
Vậy
a) Dựa vào tính chất của tích vô hướng, hãy giải thích vì sao công sinh bởi lực (đã được đề cập ở trên) bằng tổng của các công sinh bởi các lực và
b) Giả sử các lực thành phần và tương ứng cùng phương, vuông góc với phương chuyển động của vật. Hãy tìm mối quan hệ giữa các công sinh bởi lực và lực
Lời giải
a) Một lực tác động lên một vật làm vật dịch chuyển tịnh tiến theo một vectơ độ rời
+) Công sinh bởi lực là
+) Công sinh bởi lực là
+) Công sinh bởi lực là
Suy ra (tính chất phân phối đối với phép cộng của tích vô hướng)
Mà do đó
Vậy
b) +) Công sinh bởi lực là
Do vật chuyển động thẳng từ A đến B nên cùng hướng với .
Suy ra
Do đó
Ta lại có:
(1)
+) Công sinh bởi lực là
Do cùng hướng với nên
(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
Vậy
Bài tập
a)
b)
c)
Lời giải
Bài 4.22 trang 70 Toán 10 Tập 1: Tìm điều kiện của để:
a)
b)
Lời giải
a) Ta có:
Để thì
Suy ra là hai vectơ cùng hướng.
Vậy hai vectơ cùng hướng thì
b) Ta có:
Để thì
Suy ra là hai vectơ ngược hướng.
Vậy hai vectơ ngược hướng thì
a) Tính theo t;
b) Tính t để
Lời giải
a) Với A(1; 2), B(‒4; 3) và M(t; 0) ta có:
b) Để thì
Vậy với thì
a) Giải tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.
Lời giải
+) Theo định lí cosin, ta có:
Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A
.
Vậy:
b) Giả sử trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x; y).
Do H là trực tâm của tam giác ABC nên
Với A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2) và H(x; y) ta có:
Vì nên (x + 4).0 + (y – 1).(‒6) = 0‒6.(y – 1) = 0y = 1.
Vì nên Û (x – 2).6 + (y – 4).(‒3) = 0
(x – 2).2 + (y – 4).(‒1) = 0 Û 2x – y = 0.
Mà y = 1
Vậy toạ độ trực tâm H của tam giác ABC là .
Bài 4.25 trang 70 Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC:
Lời giải
Cách 1:
Cách 2:
Bài 4.26 trang 70 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M,
MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.
Lời giải
(Quy tắc ba điểm)
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên (tính chất trọng tâm tam giác)
MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.
Vậy MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 9: Tích của một vecto với một số
Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ