Giải Toán 10 Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm
Mở đầu
Quan sát mẫu số liệu trên, có thể đánh giá được phương pháp học tập nào hiệu quả hơn không?
Lời giải:
Ta có thể đánh giá được phương pháp học tập nào hiệu quả hơn bằng cách tính toán các số đặc trưng (số trung bình cộng, số trung vị, tứ phân vị) cho mỗi mẫu số liệu rồi so sánh chúng với nhau.
Dưới đây phương pháp sử dụng số trung bình cộng:
Tổng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp A là:
2 + 7 + 6 + 3 + 9 + 8 + ... + 5 + 5 + 4 + 5 + 7 + 7 = 148 (điểm)
Tổng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp B là:
6 + 7 + 6 + 4 + 7 + 9 + ...+ 9 + 6 + 7 + 6 + 7 + 5 = 157 (điểm)
Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp A là:
148 : 25 = 5,92 (điểm)
Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp B là:
157 : 25 = 6,28 (điểm).
Vì 6,28 > 5,92 nên điểm trung bình của lớp B cao hơn điểm trung bình của lớp A.
Vậy phương pháp học tập được áp dụng ở lớp B hiệu quả hơn phương pháp được áp dụng ở lớp A.
1. Số trung bình và trung vị
Giải Toán 10 trang 78 Tập 1
HĐ 1 trang 78 Toán 10 Tập 1: Tính trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của mỗi lớp A và B.
Lời giải:
Tổng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp A là:
2 + 7 + 6 + 3 + 9 + 8 + ... + 5 + 5 + 4 + 5 + 7 + 7 = 148 (điểm)
Tổng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp B là:
6 + 7 + 6 + 4 + 7 + 9 + ... + 9 + 6 + 7 + 6 + 7 + 5 = 157 (điểm)
Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp A là:
148 : 25 = 5,92 (điểm)
Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp B là:
157 : 25 = 6,28 (điểm)
Vậy trung bình cộng điểm tiếng Anh lớp A là 5,92 và lớp B là 6,28.
Lời giải:
Ta thấy điểm trung bình của lớp B cao hơn điểm trung bình của lớp A (vì 6,28 > 5,92).
Vậy phương pháp học tập được áp dụng ở lớp B hiệu quả hơn phương pháp được áp dụng ở lớp A.
Giải Toán 10 trang 79 Tập 1
Hãy tính thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp.
Lời giải:
Số bạn trong lớp là:
5 + 7 + 10 + 8 + 6 = 36 (bạn).
Thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp là:
(giây).
Vậy thời gian chạy trung bình cự li 100 m của các bạn trong lớp là khoảng 14,08 giây.
a) Tính thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty.
b) Thu nhập trung bình có phản ánh đúng thu nhập của nhân viên trong công ty không?
Lời giải
a) Thu nhập trung bình của thành viên trong công ty là:
(triệu đồng).
Vậy thu nhập trung bình của các thành viên trong công ty khoảng 6,67 triệu đồng.
b) Ta thấy rõ ràng thu nhập của giám đốc cao hơn thu nhập trung bình rất nhiều (cao hơn khoảng 13,3 triệu), còn thu nhập của mỗi nhân viên thì gần với thu nhập trung bình hơn (thấp hơn khoảng 2,67 triệu).
Do đó, thu nhập trung bình không phản ánh đúng thu nhập của nhân viên công ty.
48 53 51 31 53 112 52.
Tìm số trung bình và số trung vị của mẫu số liệu trên. Trong hai số đó, số nào phù hợp hơn để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này?
Lời giải:
Số trung bình của mẫu số liệu trên là:
Sắp xếp số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:
31; 48; 51; 52; 53; 53; 112.
Số giá trị là 7 và là số lẻ nên giá trị chính giữa của mẫu là trung vị.
Do đó, số trung vị của mẫu số liệu trên là 52.
Ta thấy trong mẫu số liệu bài cho thì giá trị 112 cao hơn hẳn các số liệu khác, đây là mẫu số liệu có giá trị bất thường nên không thể dùng số trung bình để đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành này.
Vậy trong hai số trên, số đại diện cho chiều dài của 7 con cá voi trưởng thành là số trung vị 52.
2. Tứ phân vị
Giải Toán 10 trang 80 Tập 1
58 74 92 81 97 88 75 69 87 69 75 77.
Ban tổ chức muốn trao các giải Nhất, Nhì, Ba, Tư cho các thí sinh này, mỗi giải trao 25% số thí sinh (3 thí sinh).
Em hãy giúp ban tổ chức xác định các ngưỡng điểm để phân loại thí sinh.
Lời giải:
Sắp xếp dãy số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:
58; 69; 69; 74; 75; 75; 77; 81; 87; 88; 92; 97.
Mỗi giải có 3 thí sinh nên ta sẽ xếp lần lượt các thí sinh vào các nhóm giải dựa vào số điểm thi của thí sinh như sau:
Nhóm giải tư: 58; 69; 69.
Nhóm giải ba: 74; 75; 75.
Nhóm giải nhì: 77; 81; 87.
Nhóm giải nhất: 88; 92; 97.
Giữa các nhóm giải ta xác định được các ngưỡng điểm để phân loại thí sinh:
∙ Ngưỡng điểm phân loại giữa nhóm giải tư và nhóm giải ba là:
(69 + 74) : 2 = 71,5.
∙ Ngưỡng điểm phân loại giữa nhóm giải ba và nhóm giải nhì là:
(75 + 77) : 2 = 76.
∙ Ngưỡng điểm phân loại giữa nhóm giải nhì và nhóm giải nhất là:
(87 + 88) : 2 = 87,5.
Vậy ba ngưỡng điểm giúp ban tổ chức phân loại thí sinh là: 71,5; 76; 87,5.
Giải Toán 10 trang 81 Tập 1
Hãy tìm các tứ phân vị cho mẫu số liệu này.
Lời giải:
Ta có: n = 2 + 4 + 6 + 12 + 8 + 3 = 35.
Vì n = 35 là số lẻ nên trung vị Q2 là số ở vị trí số 18
Ta thấy 2 + 4 + 6 < 18 < 2 + 4 + 6 + 12.
Do đó Q2 = 3.
Ta tìm Q1 là trung vị của nửa số liệu bên trái Q2 (không bao gồm Q2).
Nửa số liệu bên trái Q2 có 17 học sinh nên trung vị là học sinh thứ 9.
Ta thấy 2 + 4 < 9 < 2 + 4 + 6.
Do đó Q1 = 2.
Ta tìm Q3 là trung vị của nửa số liệu bên phải Q2 (không bao gồm Q2)
Nửa số liệu bên phải Q2 có 17 học sinh nên trung vị là học sinh thứ 9 trong 17 học sinh và là học sinh thứ 9 + 18 = 27 trong 35 học sinh.
Ta thấy 2 + 4 + 6 + 12 < 27 < 2 + 4 + 6 + 12 + 8.
Do đó Q3 = 4.
Vậy tứ phân vị cho mẫu số liệu này là Q1 = 2; Q2 = 3, Q3 = 4.
3. Mốt
38 39 39 38 40 41 39 39 38 39 39 39 40 39 39.
a) Tính cỡ giày trung bình. Số trung bình này có ý nghĩa gì với cửa hàng không?
b) Cửa hàng nên nhập cỡ giày nào với số lượng nhiều nhất?
Lời giải:
a) Bảng tần số:
Cỡ giày trung bình:
Số trung bình này không có ý nghĩa gì với cửa hàng vì một cửa hàng thì thường quan tâm đến cỡ giày được bán nhiều nhất.
b) Cỡ giày số 39 là cỡ giày nhiều khách nam đi nhất trong tổng số người được chọn nên cửa hàng nên nhập cỡ giày này.
Giải Toán 10 trang 82 Tập 1
Lời giải:
* Xét lớp A:
Bảng tần số:
Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp A là:
Vì n = 25 nên trung vị: số thứ 13.
Ta thấy: 2 + 2 + 2 + 5 + 2 = 13.
Do đó trung vị là 6.
Từ bảng tần số, ta thấy điểm 7 xuất hiện nhiều nhất (6 lần).
Do đó mốt của số liệu là 7.
* Xét lớp B:
Bảng tần số:
Trung bình cộng điểm khảo sát Tiếng Anh của lớp B là:
Vì n = 25 nên trung vị: số thứ 13.
Ta thấy 2 + 2 + 4 + 5 = 13.
Do đó trung vị là 6.
Từ bảng tần số, ta thấy điểm 7 xuất hiện nhiều nhất (7 lần).
Do đó mốt của số liệu là 7.
Ta thấy:
+ Điểm trung bình của lớp B cao hơn điểm trung bình của lớp A (vì 6,28 > 5,92).
Do đó phương pháp học tập được áp dụng ở lớp B hiệu quả hơn phương pháp được áp dụng ở lớp A.
+ Số trung vị của hai dãy số liệu là bằng nhau nên nếu dùng số trung vị thì hiệu quả học tập của hai phương pháp này là như nhau.
+ Mốt của hai dãy số liệu là bằng nhau nên nếu dùng mốt thì hiệu quả học tập của hai phương pháp này là như nhau.
Bài tập
a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:
9 8 15 8 20
b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):
350 300 650 300 450 500 300 250
c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:
36 38 33 34 32 30 34 35
Lời giải:
a) Số điểm mà năm vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu:
9 8 15 8 20
Số trung bình:
Trung vị:
Mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm, ta được:
8; 8; 9; 15; 20
Ta có n = 5 là số lẻ nên trung vị là 9.
∙ Mốt:
Ta thấy số 8 là số có tần số lớn nhất (xuất hiện 2 lần).
Do đó mốt của số liệu là 8.
∙ Tứ phân vị:
+ Tìm Q2.
Ta có trung vị là 9 nên Q2 = 9.
+ Tìm Q1.
Nửa số liệu bên trái là: 8 8
Trung vị của mẫu này là: (8 + 8) : 2 = 8
Do đó Q1 = 8.
+ Tìm Q3.
Nửa số liệu bên phải là: 15 20
Trung vị của mẫu này là: (15 + 20) : 2 = 17,5.
Do đó Q3 = 17,5.
Vậy số trung bình là 12; trung vị là 9; mốt là 8; Q1 = 8; Q3 = 17,5.
b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng):
350 300 650 300 450 500 300 250
∙ Số trung bình:
∙ Trung vị:
Mẫu số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm ta được:
250; 300; 300; 300; 350; 450; 500; 650.
Ta có n = 8 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số chính giữa.
Số trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa là:
(300 + 350) : 2 = 325.
Do đó trung vị là 325.
∙ Mốt:
Ta thấy số 300 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 3 lần).
Do đó mốt của dãy số liệu là 300.
∙ Tứ phân vị:
+ Tìm Q2.
Ta có trung vị là 325.
Do đó Q2 = 325.
+ Tìm Q1.
Vì n chẵn nên nửa số liệu bên trái là: 250 300 300 300
Trung vị của mẫu này là: (300 + 300) : 2 = 300
Do đó Q1 = 300.
+ Tìm Q3.
Vì n chẵn nên nửa số liệu bên phải là: 350 450 500 650
Trung vị của mẫu này là: (450 + 500) : 2 = 475
Do đó Q3 = 475.
Vậy số trung bình là 387,5; trung vị là 325; mốt là 300; Q1 = 300; Q3 = 475.
c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp:
36 38 33 34 32 30 34 35
∙ Số trung bình:
∙ Trung vị:
Sắp xếp theo thứ tự không giảm: 30 32 33 34 34 35 36 38
Ta có n = 8 là số chẵn nên trung vị là trung bình cộng của hai số chính giữa.
Hai số chính giữa là 34 và 34.
Do đó trung vị là: (34 + 34) : 2 = 34.
∙ Mốt:
Ta thấy số 34 là số có tần số cao nhất (xuất hiện 2 lần).
Do đó mốt của dãy số liệu là 34.
∙ Tứ phân vị:
+ Tìm Q2.
Ta có trung vị là 34.
Do đó Q2 = 34.
+ Tìm Q1.
Vì n chẵn nên nửa số liệu bên trái là: 30 32 33 34
Trung vị của mẫu này là: (32 + 33) : 2 = 32,5
Do đó Q1 = 32,5.
+ Tìm Q3.
Vì n chẵn nên nửa số liệu bên phải là: 34 35 36 38
Trung vị của mẫu này là: (35 + 36) : 2 = 35,5
Do đó Q3 = 35,5.
Vậy số trung bình là 34; trung vị là 34; mốt là 34; Q1 = 32,5; Q3 = 35,5.
a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh:
b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu của một số cầu thủ bóng đá:
32 24 20 14 23.
c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh:
80 102 83 103 108 94 110 106 104 100.
d) Các sai số trong một phép đo:
10 15 18 15 14 13 42 15 12 14 42.
Lời giải:
a) Sắp xếp lại số liệu:
0 0 1 2 13 27 34 63
Mẫu số liệu đã cho có số liệu tăng dần, do đó ta nên dùng số trung bình để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu này.
Số trung bình của mẫu số liệu là:
.
Ta không dùng trung vị vì Me = (2 + 13) : 2 = 7,5, giá trị này chênh lệch nhiều so với các số liệu ở nửa bên phải.
b) Các số liệu bài cho không chênh lệch quá lớn với nhau nên ta chọn số trung bình làm số đặc trưng đo xu thế trung tâm.
Số đường chuyền trung bình là:
.
c) Các số liệu bài cho không chênh lệch quá lớn với nhau nên ta chọn số trung bình làm số đặc trưng đo xu thế trung tâm.
Chỉ số IQ trung bình của nhóm học sinh là:
d) Mẫu số liệu đã cho có đa số các sai số là giống nhau, riêng giá trị 42 lớn hơn hẳn các giá trị khác, đây được xem là giá trị bất thường nên ta chọn số trung vị là số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu đã cho.
Sắp xếp dãy số liệu đã cho theo thứ tự không giảm ta được:
10; 12; 13; 14; 14; 15; 15; 15; 18; 42; 42
Vì dãy số liệu có 11 số nên trung vị của mẫu là Me = 15.
Giải Toán 10 trang 83 Tập 1
0 0 4 0 0 0 10 0 6 0.
a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.
Lời giải:
a)
∙ Số trung bình:
Trung bình số lượng học sinh giỏi Quốc gia của 10 trường Trung học phổ thông là:
∙ Mốt:
Trong dãy số liệu đã cho, số 0 là số xuất hiện với tần số lớn nhất (7 lần).
Do đó mốt của mẫu số liệu là 0.
∙ Trung vị:
Sắp xếp dãy số liệu trên theo thứ tự không giảm là:
0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 4; 6; 10.
Vì n = 10 là số chẵn nên Q2 là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa:
Q2 = (0 + 0) : 2 = 0.
∙ Tứ phân vị:
Ta tìm Q1 là trung vị của nửa số liệu bên trái Q2:
0; 0; 0; 0 ;0.
Do đó Q1 = 0.
Ta tìm Q3 là trung vị của nửa số liệu bên phải Q2:
0; 0; 4; 6; 10.
Do đó Q3 = 4.
Vậy số trung bình là 2; mốt là 0, tứ phân vị là Q1 = 0; Q2 = 0; Q3 = 4.
b) Tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau vì mật độ của mẫu số liệu tập trung hết ở nửa trái của trung vị, mẫu số liệu bên trái có số liệu bằng 0 hết.
Các giá trị số trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình?
Lời giải:
Dãy số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm là:
20 120; 20 120; 21 315; 23 405; 37 546.
Số chỗ ngồi trung bình của một sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam là:
Vì n = 5 là số lẻ nên số trung vị của dãy số liệu là số chính giữa là: 21 315.
Số 20 120 là số xuất hiện nhiều nhất nên mốt của số liệu là 20 120.
Nếu bớt đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình, ta có:
Số chỗ ngồi trung bình của một sân vận động được sử dụng trong Giải Bóng đá Vô địch Quốc gia Việt Nam là:
Dãy số liệu sắp xếp theo thứ tự không giảm là:
20 120; 20 120; 21 315; 23 405.
Vì n = 4 là số chẵn nên số trung vị của dãy số liệu là trung bình cộng hai giá trị chính giữa là: (20 120 + 21 315) : 2 = 20 717,5.
Số 20 120 là số xuất hiện nhiều nhất nên mốt của số liệu là 20 120.
Vậy khi bỏ bớt đi số liệu chỗ ngồi của Sân vận động Quốc gia Mỹ Đình thì số trung bình và trung vị bị thay đổi còn mốt vẫn giữ nguyên.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm