Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, góc BAC = 120độ. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị): a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B

Bài 1 trang 99 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4, $\widehat{BAC}=120°$.  Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):

a) Độ dài cạnh BC và độ lớn góc B;

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp;

c) Diện tích của tam giác;

d) Độ dài đường cao xuất phát từ A;

e) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}$ với M là trung điểm của BC.

Trả lời

a) Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC có:

BC² = AB² + AC² - 2.AB.AC.cos $\widehat{A}$

$\Rightarrow$ BC² = 3² + 4² - 2.3.4. cos 120^o

$\Rightarrow$ BC² = 37

$\Rightarrow$ BC ≈ 6

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

$\frac{BC}{\sin \text{A}}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{AC.\sin \text{A}}{BC}=\frac{4.\sin 120°}{6}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow$ $\widehat{B}$ ≈ 35^o

b) Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC có:

$\frac{BC}{\sin \text{A}}=2R$

$\Rightarrow$ 2R = $4\sqrt{3}$

$\Rightarrow$ R ≈ 3.

c) Nửa chu vi của tam giác ABC là: $\frac{3+4+6}{2}$ = 6,5.

Diện tích của tam giác ABC là:

$\sqrt{6,5.\left(6,5-3\right).\left(6,5-4\right).\left(6,5-6\right)}$ ≈ 5. (đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là 5 (đvdt).

d) Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến BC.

Khi đó diện tích tam giác ABC là: SABC = $\frac{1}{2}$AH.BC = $\frac{1}{2}$AH.6 = 3AH.

Mà theo ý c) ta có diện tích tam giác ABC là 5

$\Rightarrow$ 3AH = 5

$\Rightarrow$ AH = $\frac{5}{3}$ ≈ 2.

Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là 2.

e) Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$

= 3 . 4 . cos 120^o = -6.

Do M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.

Khi đó $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BC}$

$=\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2+\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}$

$=\frac{1}{2}{\overrightarrow{AC}}^2-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}}^2$

$=\frac{1}{2}{.4}^2-\frac{1}{2}{.3}^2$

$=\frac{1}{2}{.4}^2-\frac{1}{2}{.3}^2$

$=\frac{7}{2}$$\approx 4$

Vậy $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-6. \overrightarrow{AM}. \overrightarrow{BC}\approx 4$

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 6: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập cuối chương 4

Chủ đề 1: Đo góc

Bài 1: Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây

Bài 2: Hoán vị. Chỉnh hợp