Giải Toán 10 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai
Câu hỏi khởi động
Bạn Dương xác định được x thỏa mãn phương trình
Làm thế nào để tìm được giá trị của x?
Lời giải:
Sau bài học này ta sẽ giải quyết bài toán này như sau:
Để tìm được giá trị của x, ta cần giải phương trình (1).
Điều kiện xác định: (8 – 40x)2 + (7 – 40x)2 ≥ 0.
Vì (8 – 40x)2 ≥ 0 và (7 – 40x)2 ≥ 0 với mọi x nên (8 – 40x)2 + (7 – 40x)2 ≥ 0 với mọi x.
Bình phương hai vế ta được: (8 – 40x)2 + (7 – 40x)2 = 25
⇔ 1 600x2 – 640x + 64 + 1 600x2 – 560x + 49 = 25
⇔ 3 200x2 – 1 200x + 88 = 0
⇔ 400x2 – 150x + 11 = 0
(thỏa mãn điều kiện)
Vậy có hai giá trị của x: x = 0,1 hoặc x = 0,275 nghĩa là có hai thời điểm để hai xe cách nhau 5km.
1. Giải phương trình có dạng = (I)
Luyện tập 1 trang 57 Toán lớp 10 Tập 1: Giải phương trình:
Lời giải:
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được:
3x2 – 4x + 1 = x2 + x – 1
⇔ 2x2 – 5x + 2 = 0
.
Thay x = 2 vào bất phương trình 3x2 – 4x + 1 ≥ 0 ta được: 3.22 – 4.2 + 1 ≥ 0 ⇔ 5 ≥ 0 (luôn đúng). Do đó x = 2 là nghiệm của phương trình (1).
Thay vào bất phương trình 3x2 – 4x + 1 ≥ 0 ta được: (vô lý). Do đó không là nghiệm của phương trình (1).
Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 2.
2. Giải phương trình có dạng =g(x) (II)
Luyện tập 2 trang 58 Toán lớp 10 Tập 1: Giải phương trình:
Lời giải:
Ta có: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
Bình phương hai vế của (1) ta được:
3x – 5 = (x – 1)2
⇔ 3x – 5 = x2 – 2x + 1
⇔ x2 – 5x + 6 = 0
(thỏa mãn x ≥ 1)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.
Bài tập
Bài 1 trang 58 Toán lớp 10 Tập 1: Giải các phương trình sau:
Lời giải:
a)
Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta được:
2x – 3 = 2x2 – 3x – 1
⇔ 2x2 – 3x – 1 – 2x + 3 = 0
⇔ 2x2 – 5x +2 = 0
Lần lượt thay hai giá trị trên vào bất phương trình 2x2 – 3x – 1 ≥ 0 ta thấy chỉ có giá trị x = 2 thỏa mãn bất phương trình.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 2.
b)
Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta được:
4x2 – 6x – 6 = x2 – 6
⇔ 4x2 – x2 – 6x – 6 + 6 = 0
⇔ 3x2 – 6x = 0
⇔ 3x(x – 2) = 0
Lần lượt thay hai giá trị trên vào bất phương trình 4x2 – 6x – 6 ≥ 0 ta thấy cả hai giá trị đều không thỏa mãn bất phương trình.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c)
Điều kiện: 2x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ (1)
Bình phương cả hai vế của phương trình đã cho ta được:
x + 9 = (2x – 3)2
⇔ x + 9 = 4x2 – 12x + 9
⇔ 4x2 – 12x + 9 – x – 9 = 0
⇔ 4x2 – 13x = 0
⇔ x(4x – 13) = 0
Ta thấy chỉ có giá trị x = thỏa mãn điểu kiện (1).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = .
d)
Điều kiện: 2 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 2 (2).
Bình phương hai vế của phương trình đã cho ta được:
– x2 + 4x – 2 = (2 – x)2
⇔ – x2 + 4x – 2 = 4 – 4x + x2
⇔ 2x2 – 8x + 6 = 0
⇔ x2 – 4x + 3 = 0
Ta thấy trong hai giá trị trên chỉ có giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện (2).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.
Bài 2 trang 59 Toán lớp 10 Tập 1: Giải các phương trình sau:
Lời giải:
a)
(1)
Điều kiện: 3 – 2x ≥ 0 ⇔ x ≤ (2).
Bình phương hai vế của phương trình (1) ta được: 2 – x = (3 – 2x)2
⇔ 2 – x = 9 – 12x + 4x2
⇔ 4x2 – 11x + 7 = 0
Ta thấy x = 1 thỏa mãn (2) và không thỏa mãn (2).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.
b)
(3)
Điều kiện: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4 (4)
Bình phương hai vế của phương trình (3) ta được: – x2 + 7x – 6 = (4 – x)2
⇔ – x2 + 7x – 6 = 16 – 8x + x2
⇔ 2x2 – 15x + 22 = 0
Ta thấy x = 2 thỏa mãn (4) và không thỏa mãn (4).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 2.
Lời giải:
Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0).
Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m).
Hình 33a) tương ứng ta có: AC = x, AB = x + 1
Xét tam giác ABC vuông tại C:
AB2 = AC2 + BC2 (định lý Pythagore)
⇒ BC2 = AB2 – AC2 = (x + 1)2 – x2 = (x + 1 – x)(x + 1 + x) = 2x + 1
(m).
Hình 33b) ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m).
Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC – 0,5.
Suy ra (m)
Xét tam giác DGE vuông tại G, ta có:
⇔
⇔
⇔
(1)
Điều kiện (2)
Bình phương hai vế của (1) ta được:
Ta thấy chỉ có x ≈ 4,7 thỏa mãn x > 0 và điều kiện (2).
Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.
Lời giải:
Gọi độ dài khoảng cách từ vị trí C đến D là x (km, x > 0).
Đổi: 300 m = 0,3 km; 800 m = 0,8 km; 7,2 phút = 0,12 giờ.
Tương ứng ta có: AC = 0,3 km; CD = x km; BC = 0,8 km; DB = BC – CD = 0,8 – x (km).
Xét tam giác ACD vuông tại C, ta có:
AD2 = AC2 + CD2 (định lý Pythagore)
AD2 = (0,3)2 + x2 = 0,09 + x2
(km)
Thời gian người đó chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí D là (giờ).
Thời gian người đó chạy bộ từ vị trí D đến vị trí B là (giờ).
Tổng thời gian người đó chèo thuyền và đi bộ là (giờ).
Vì người đó mất 0,12 giờ chèo thuyền và chạy bộ từ A đến B nên ta có phương trình:
(1)
Điều kiện 1,2 + 3x ≥ 0 ⇔ (2)
Bình phương cả hai vế của (1) ta được: 25.(0,09 + x2) = (1,2 + 3x)2
⇔ 2,25 + 25x2 = 1,44 + 7,2x + 9x2
⇔ 16x2 – 7,2x + 0,81 = 0
⇔ x = 0,225 (thỏa mãn điều kiện x > 0 và điều kiện (2))
Ta có: x = 0,225 km = 225 m.
Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 225 m.
Lời giải:
Gọi khoảng cách từ vị trí B đến M là x (km, x > 0).
Tương ứng trên hình vẽ ta có: AB = 4 km, BM = x km, BC = 7 km.
Xét tam giác ABM vuông tại B, ta có:
AM2 = AB2 + BM2 (định lý Pythagore)
⇔ AM2 = 42 + x2 = 16 + x2
(km)
Thời gian chèo thuyền từ A đến M là (giờ).
Ta có: MC = BC – BM = 7 – x (km).
Thời gian đi bộ từ M đến C là (giờ).
Tổng thời gian người đó đi từ A đến C là: (giờ)
Biết thời gian đi từ A đến C là 148 phút = giờ nên ta có phương trình:
(1)
Điều kiện 16 + 3x ≥ 0 ⇔ x ≥ (2)
Bình phương cả hai vế của (1) ta được: 25.(16 + x2) = (16 + 3x)2
⇔ 400 + 25x2 = 256 + 96x + 9x2
⇔ 16x2 – 96x + 144 = 0
⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0 và (2))
Vậy khoảng cách từ vị trí B đến vị trí M là 3 km.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:
Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai