Giải SGK Toán 10 (Cánh Diều) Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

Giải Toán 10 Bài 3: Dấu của tam thức bậc hai

Câu hỏi khởi động

Câu hỏi khởi động trang 44 Toán lớp 10 Tập 1: Để xây dựng phương án kinh doanh cho một loại sản phẩm, doanh nghiệp tính toán lợi nhuận y (đồng) theo công thức sau: y = – 200x² + 92 000x – 8 400 000, trong đó x là số sản phẩm được bán ra. Như vậy, việc đánh giá hiệu quả kinh doanh loại sản phẩm trên dẫn tới việc xét dấu của y = – 200x² + 92 000x – 8 400 000, tức là ta cần xét dấu của tam thức bậc hai f(x) = – 200x² + 92 000x – 8 400 000.

Làm thế nào để xét dấu tam thức bậc hai?

Lời giải:

Đa thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) được gọi là tam thức tâm bậc hai.

Sau bài học thứ 3 của chương 3 này, ta sẽ biết cách xét dấu tam thức bậc hai và áp dụng vào xét dấu tam thức bậc hai f(x) = – 200x² + 92 000x – 8 400 000.

Ta có: a = – 200, b = 92 000, c = – 8 400 000.

∆ = b² – 4ac = 92000² – 4 . (– 200) . (– 8 400 000) = 1 744 000 000 > 0

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{1744000000}=4000\sqrt{109}$

Khi đó f(x) có hai nghiệm $x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-92000+4000\sqrt{109}}{-400}=230-10\sqrt{109}$; $x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}=\frac{-92000-4000\sqrt{109}}{-400}=230+10\sqrt{109}$.

Lại có a = – 200 < 0.

Do đó f(x) < 0 với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ;230-10\sqrt{109}\right)$ và $\left(230+10\sqrt{109};+\infty \right)$.

f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng $\left(230-10\sqrt{109};230+10\sqrt{109}\right)$.

1. Dấu của tam thức bậc hai

Hoạt động 1 trang 44 Toán lớp 10 Tập 1:

a) Quan sát Hình 17 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² – 2x + 2. 

b) Quan sát Hình 18 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 5. 

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ < 0. 

Lời giải:

a) Quan sát Hình 17 ta thấy parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên với mọi giá trị của x thì giá trị f(x) tương ứng đều mang giá trị dương. Do đó tam thức bậc hai f(x) = x² – 2x + 2 > 0 với mọi x.

b) Quan sát Hình 18 ta thấy parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên với mọi giá trị của x thì giá trị f(x) tương ứng đều mang giá trị âm. Do đó tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 5 < 0 với mọi x.

c) Nếu ∆ < 0 ta có:

- Tam thức bậc hai f(x) = x² – 2x + 2 có a = 1 > 0 và f(x) > 0 với mọi x nên f(x) luôn cùng dấu với dấu của hệ số a.

- Tam thức bậc hai f(x) = -x² + 4x - 5 có a = - 1 < 0 và f(x) < 0 với mọi x nên f(x) luôn cùng dấu với dấu của hệ số a.

Vậy nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\in ℝ$.

Hoạt động 2 trang 45 Toán lớp 10 Tập 1:

a) Quan sát Hình 19 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² + 2x + 1.

b) Quan sát Hình 20 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 4.

c) Từ đó rút ra mối liên hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a trong trường hợp ∆ = 0.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 19, ta thấy parabol cắt trục hoành tại một điểm có tọa độ (– 1; 0) còn phần còn lại của đồ thị nằm phía trên trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = x² + 2x + 1 > 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{-1\right\}$.

b) Quan sát Hình 20, ta thấy parabol cắt trục hoành tại một điểm có tọa độ (2; 0) có đỉnh và phần còn lại nằm phía dưới trục hoành nên tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 4 < 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{2\right\}$.

c) Nếu ∆ = 0 ta có:

- Tam thức bậc hai f(x) = x² + 2x + 1 có a = 1 > 0 và f(x) > 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{-1\right\}$ nên trong khoảng này f(x) luôn cùng dấu với dấu của hệ số a.

- Tam thức bậc hai f(x) = -x² + 4x - 4 có a = - 1 < 0 và f(x) < 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{2\right\}$ nên trong khoảng này f(x) luôn cùng dấu với dấu của hệ số a.

Vậy nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{\frac{-b}{2a}\right\}.$

Hoạt động 3 trang 45 Toán lớp 10 Tập 1:

a) Quan sát Hình 21 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = x² + 3x + 2 tùy theo các khoảng của x. 

b) Quan sát Hình 22 và cho biết dấu của tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 3 tùy theo các khoảng của x. 

c) Từ đó rút ra mối quan hệ về dấu của tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) với dấu của hệ số a tùy theo các khoảng của x trong trường hợp ∆ > 0. 

Lời giải:

a) Quan sát Hình 21, ta thấy:

Parabol f(x) = x² – 2x + 2 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt x = -2 và x = -1.

+ Trên khoảng (– 2; – 1), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên trong khoảng này tam thức bậc hai f(x) = x² + 3x + 2 < 0.

+ Trên các khoảng (– ∞; – 2) và (– 1; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên trong khoảng này tam thức bậc hai f(x) = x² + 3x + 2 > 0.

b) Quan sát Hình 22, ta thấy:

Parabol y = - x² + 4x – 3 cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt x = 1 và x = 3.

+ Trên khoảng (1; 3), phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên trong khoảng này tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 3 > 0.

+ Trên các khoảng (– ∞; 1) và (3; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên trong khoảng này tam thức bậc hai f(x) = – x² + 4x – 3 < 0.

c) Nếu ∆ > 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x thuộc các khoảng (– ∞; x₁) và (x₂; + ∞); f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x thuộc khoảng (x₁; x₂), trong đó x₁, x₂ là hai nghiệm của f(x) và x₁ < x₂.

2. Ví dụ

Luyện tập 1 trang 46 Toán lớp 10 Tập 1: Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = – 2x² + 4x – 5;

b) f(x) = – x² + 6x – 9.

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = – 2x² + 4x – 5 có:

∆ = b² – 4ac = 4² – 4 . (– 2) . (– 5) = – 24 < 0

Hệ số a = – 2 < 0 nên f(x) < 0 với mọi $x\in ℝ.$

b) Tam thức bậc hai f(x) = – x² + 6x – 9 có:

∆ = b² – 4ac = 6² – 4 . (– 1) . (– 9) = 0

Suy ra nghiệm kép x₀ = $\frac{-b}{2a}=\frac{-6}{2.\left(-1\right)}=3$

Hệ số a = – 1 < 0 nên f(x) < 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{3\right\}.$

Luyện tập 2 trang 46 Toán lớp 10 Tập 1: Lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai: f(x) = – x² – 2x + 8.

Lời giải:

Tam thức bậc hai f(x) = – x² – 2x + 8 có ∆ = b² – 4ac = (– 2)² – 4 . (– 1) . 8 = 36 > 0.

Do đó tam thức bậc hai có hai nghiệm x₁ = – 4, x₂ = 2 và hệ số a = – 1 < 0. 

Ta có bảng xét dấu như sau: 

Bài tập

Bài 1 trang 48 Toán lớp 10 Tập 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) x² – 2x – 3 > 0 khi và chỉ khi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (3; + ∞).

b) x² – 2x – 3 < 0 khi và chỉ khi x ∈ [– 1; 3].

Lời giải:

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 2x – 3.

Ta có: a = 1, b = – 2, c = – 3, ∆ = b² – 4ac = (– 2)² – 4 . 1 . (– 3) = 16 > 0.

Khi đó tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ = – 1 và x₂ = 3.

Lại có hệ số a = 1 > 0, ta có bảng xét dấu:

Do đó f(x) > 0 với mọi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (3; + ∞) và f(x) < 0 với mọi x ∈ (– 1; 3).

Vì x = – 1 và x = 3 là nghiệm của f(x) nên với hai giá trị này f(x) = 0 nên phát biểu b) sai. 

Vậy phát biểu a) đúng và phát biểu b) sai.  

Bài 2 trang 48 Toán lớp 10 Tập 1: Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai f(x) với đồ thị được cho ở mỗi Hình 24a, 24b, 24c.

Lời giải:

a) Quan sát Hình 24a, ta thấy:

Đồ thị cắt trục hoành tại một điểm có tọa độ (2; 0) hay nghiệm của tam thức bậc hai f(x) là x = 2.

Trừ điểm x = 2 thì toàn bộ phần còn lại của Parabol nằm phía trên trục hoành do đó trên các khoảng (-∞; 2) và (2; +∞) tam thức bậc hai f(x) > 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

b) Quan sát Hình 24b, ta thấy:

Đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có tọa độ là (– 4; 0) và (– 1; 0) hay tam thức bậc hai f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = – 4 và x₂ = – 1.

Trên các khoảng (– ∞; – 4) và (– 1; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên f(x) < 0.

Trên khoảng (– 4; – 1), phần parabol nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0.

Ta có bảng xét dấu tam thức f(x) sau:

c) Quan sát Hình 24c, ta thấy:

Đồ thị cắt trục hoành tại hai điêm phân biệt có tọa độ (– 1; 0) và (2; 0) hay tam thức bậc hai f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = – 1 và x₂ = 2.

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (2; + ∞), phần parabol nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0.

Trên khoảng (– 1; 2) phần parabol nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0.

 Ta có bảng xét dấu tam thức f(x) sau:

Bài 3 trang 48 Toán lớp 10 Tập 1: Xét dấu mỗi tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = 3x² – 4x + 1;

b) f(x) = 9x² + 6x + 1; 

c) f(x) = 2x² – 3x + 10; 

d) f(x) = – 5x² + 2x + 3;

e) f(x) = – 4x² + 8x – 4; 

g) f(x) = – 3x² + 3x – 1. 

Lời giải:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 3x² – 4x + 1 có ∆ = (– 4)² – 4 . 3 . 1 = 4 > 0.

Do đó tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $\frac{1}{3}$ và x₂ = 1.

Lại có hệ số a = 3 > 0, ta có bảng xét dấu

Vậy f(x) > 0 với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và (1; + ∞); f(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng $\left(\frac{1}{3};1\right)$.

b) Tam thức bậc hai f(x) = 9x² + 6x + 1 có ∆ = 6² – 4 . 9 . 1 = 0.

Do đó tam thức f(x) có nghiệm kép là x₀ = $-\frac{1}{3}$.

Lại có hệ số a = 9 > 0, ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{-\frac{1}{3}\right\}$.

c) Tam thức bậc hai f(x) = 2x² – 3x + 10 có ∆ = (– 3)² – 4 . 2 . 10 = – 71 < 0 và hệ số a = 2 > 0 nên ta có bảng xét dấu sau:

Vậy f(x) > 0 với mọi $x\in ℝ$.

d) Tam thức bậc hai f(x) = – 5x² + 2x + 3 có ∆ = 2² – 4 . (– 5) . 3 = 64 > 0.

Suy ra tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = $-\frac{3}{5}$ và x₂ = 1.

Ta lại có hệ số a = – 5 < 0. Khi đó ta có bảng biến thiên sau:

Vậy f(x) < 0 với mọi x thuộc các khoảng $\left(-\infty ;-\frac{3}{5}\right)$ và (1; + ∞); f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng $\left(-\frac{3}{5};1\right)$.

e) Tam thức bậc hai f(x) = – 4x² + 8x – 4 có ∆ = 8² – 4 . (– 4) . (– 4) = 0.

Do đó tam thức f(x) có nghiệm kép x₀ = 1.

Ta có hệ số a = – 4 < 0, khi đó ta có bảng xét dấu sau:

Vậy f(x) < 0 với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{1\right\}$.

g) Tam thức bậc hai f(x) = – 3x² + 3x – 1 có ∆ = 3² – 4 . (– 3) . (– 1) = – 3 < 0 và hệ số a = – 3 < 0 nên ta có bảng xét dấu sau:

Vậy f(x) < 0 với mọi $x\in ℝ.$

Bài 4 trang 48 Toán lớp 10 Tập 1: Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:

50 khách đầu tiên có giá là 300 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách. 

a) Gọi x là số lượng người khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x. 

b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080 000 đồng. 

Lời giải:

a) Gọi x là số lượng người khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm nên $x\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Khi đó tổng số khách của nhóm là 50 + x (người).

Nếu thêm x người thì giá vé sẽ giảm 5 000x đồng/người.

 Do đó, giá vé cho mỗi hành khách trong nhóm 50 + x người là: 300 000 – 5 000x (đồng).

Doanh thu của công ty theo x là: (300 000 – 5 000x). (50 + x) = – 5 000x² + 50 000x + 15 000 000 (đồng)

Vậy biểu thức biểu thi doanh thu của công ty theo x là: - 5 000x² + 50 000x + 15 000 000.

b)

Lợi nhuận thu được của công ty là:  - 5 000x² + 50 000x + 15 000 000 – 15 080 000

= – 5 000x² + 50 000x – 80 000  (đồng)

Xét tam thức bậc hai y = f(x) = – 5 000x² + 50 000x – 80 000.

Ta có: ∆ = 50 000² – 4.(-5 000).(-80 000) = 900 000 000 > 0

Do đó f(x) có hai nghiệm là x₁ = 2, x₂ = 8.

Ta lại có hệ số a = – 5 000 < 0. Khi đó bảng xét dấu là:

 Công ty không lỗ nghĩa là hòa vốn hoặc có lãi

Do đó f(x) ≥ 0 khi và chỉ khi 2 ≤ x ≤ 8

Mà x ∈ ${\mathbb{N}}^{*}$ nên x ∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}

Để số người của nhóm khách du lịch là nhiều nhất khi x là lớn nhất. Suy ra x = 8.

Khi đó số người của nhóm khách du lịch là: 50 + 8 = 58 (người).

Vậy số người của nhóm du lịch nhiều nhất là 58 người thì công ty không bị lỗ.

Bài 5 trang 48 Toán lớp 10 Tập 1: Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là Q² + 180Q + 140 000 (nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra thị trường là 1 200 nghìn đồng.

a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết Q sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất. 

b) Xí nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì hòa vốn?

c) Xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm là bao nhiêu để không bị lỗ?

Lời giải:

Vì Q là số sản phẩm sản xuất của xí nghiệp nên $Q\in {\mathbb{N}}^{*}$.

a) Tổng chi phí để sản xuất Q sản phẩm là Q² + 180Q + 140 000 (nghìn đồng).

Doanh thu của xí nghiệp là: 1 200Q (nghìn đồng).

Khi đó lợi nhuận của xí nghiệp khi bán hết Q sản phẩm là:

1 200Q – (Q² + 180Q + 140 000) = – Q² + 1 020Q – 140 000 (nghìn đồng).

Vậy lợi nhuận của xí nghiệp đó là – Q² + 1 020Q – 140 000 (nghìn đồng).

b) Xét tam thức bậc hai – Q² + 1 020Q – 140 000.

Ta có: ∆ = 1 020² – 4.(-1).(-140 000) = 480 400 > 0

Suy ra tam thức này có hai nghiệm phân biệt $Q_1=510-10\sqrt{1201}$, $Q_2=510+10\sqrt{1201}$ và hệ số a = – 1 < 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Xí nghiệp hòa vốn nếu lợi nhuận bằng 0 nghĩa là Q = Q₁ = $510-10\sqrt{1201}\approx 163,45$ hoặc Q = Q₂ = $510+10\sqrt{1201}\approx 856,55$.

Do $Q\in {\mathbb{N}}^{*}$ 

Khi đó xí nghiệp hòa vốn khi lợi nhuận bằng 0 hay y = 0, tức là Q = 164 hoặc Q = 857.

Vậy xí nghiệp đó hòa vốn khi sản xuất 164 sản phẩm hoặc 857 sản phẩm.

c) Xí nghiệp không bị lỗ, tức là lời hoặc hòa vốn, nên theo bảng xét dấu ở câu b thì xí nghiệp không bị lỗ khi và chỉ khi y ≥ 0, tức là 164 ≤ Q ≤ 857.

Vậy xí nghiệp không bị lỗ khi sản xuất từ 164 sản phẩm đến 857 sản phẩm.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Hàm số và đồ thị

Bài 2: Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng

Bài 4: Bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài tập cuối chương 3