Giải Toán 10 Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Định lý côsin và định lý sin trong tam giác
(Nguồn: http://baophutho.vn)
Từ chân bệ cột cờ và đỉnh bệ cột cờ bạn Nam đo được góc nâng (so với phương nằm ngang) tới một vị trí dưới chân núi lần lượt là 45° và 50° (Hình 1).
Chiều cao h của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là bao nhiêu mét?
Lời giải:
Ta có: Ay // CH (hai góc so le trong).
Tam giác ACH vuông tại H có nên tam giác ACH vuông tại H
Suy ra CH = AH = h
Ta có: BH = AB + AH = 20,25 + h
Ta lại có: (hai góc phụ nhau)
Tam giác BCH vuông tại H nên tan =
Do đó ta có:
(20,25 +h).0,84 = h
20,25 = 0,2h
0,16h = 17,1
h = 106,3 m
Vậy chiều cao của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là 106,3 m
Hoạt động 1 trang 63 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có (Hình 2).
a) Nhắc lại định nghĩa sin α, cos α, tan α, cot α.
b) Biểu diễn tỉ số lượng giác của góc 90° – α theo tỉ số lượng giác của góc α.
Lời giải:
a) Xét tam giác ABC vuông tại A có
Khi đó áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, ta được:
.
b) Xét tam giác ABC, có:
Ta có: sin(90° – α)= sin C = = cos α;
cos(90° – α) = cos C = = sin α;
tan(90° – α) = tan C = = cot B;
cot(90° – α) = cot C = = tan B.
Vậy: sin(90° – α) = cos α; cos(90° – α) = sin α; tan(90° – α) = cot α; cot(90° – α) = tan α.
Lời giải:
Để tính sin α, cos α, tan α, cot α theo x0, y0, thực hiện như sau:
Xét tam giác OMH vuông tại H, ta có:
.
a) Chứng minh
b) Biểu diễn giá trị lượng giác của góc 180° – α theo giá trị lượng giác của góc α.
Lời giải:
a) Do MN // Ox nên (2 góc so le trong).
Do OM = ON = 1 nên tam giác OMN cân tại O.
.
.
Mà nên .
Vậy
b) Ta có N(-x0; y0) và M(x0; y0) và M, N là các điểm nằm trên đường tròn đơn vị thỏa mãn và nên:
sin = y0; cos = x0; tan = ; cot = ;
sin = y0; cos = -x0; tan = ; cot = .
Vậy sin(180° – α) = sin α; cos(180° – α) = – cos α;
tan(180° – α) = – tan α; cot(180° – α) = – cot α.
Tính sin75°, cos175°, tan64° (làm tròn đến hàng phần chục nghìn).
Lời giải:
Để tính các giá trị lượng giác sin75°, cos175°, tan64°, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ” ta làm như sau:
Vậy sin 75° = 0,9659; cos 175° = – 0,9962 , tan 64° = 2,0503 (chú ý dấu phẩy thập phân trên máy tính cầm tay là dấu “.”).
Tìm số đo góc α (từ 0° đến 180°) và làm tròn đến độ, biết:
a) cos α = – 0,97;
b) tan α = 0,68;
c) sin α = 0,45.
Lời giải:
Để tính gần đúng số đo góc α trong mỗi trường hợp trên, sau khi đưa máy tính về chế độ “độ”, ta làm như sau:
Vậy:
a) Với cos α = – 0,97 thì α ≈ 166°;
b) Với tan α = 0,68 thì α ≈ 34°;
c) Với sin α = 0,45 thì α ≈ 27°.
Lời giải:
Ta có: Ay // CH (hai góc so le trong).
Tam giác ACH vuông tại H có nên tam giác ACH vuông tại H
Suy ra CH = AH = h
Ta có: BH = AB + AH = 20,25 + h
Ta lại có: (hai góc phụ nhau)
Tam giác BCH vuông tại H nên tan =
Do đó ta có:
(20,25 +h).0,84 = h
20,25 = 0,2h
0,16h = 17,1
h = 106,3 m
Vậy chiều cao của đỉnh Lũng Cú so với chân núi là 106,3 m
Hoạt động 6 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, . Kẻ đường cao BH.
Cho α là góc nhọn, chứng minh:
a) HC = |AC – AH| và BC2 = AB2 + AC2 – 2AH . AC;
b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Lời giải:
a) Nếu góc C nhọn thì H nằm giữa A và C.
Do đó: HC = AC – AH = |AC – AH|.
Nếu góc C tù thì C nằm giữa A và H.
Do đó: HC = AH – AC = |AC – AH|.
Nếu góc C vuông thì C trùng với H. Do đó: HC = 0 = |AC – AH|.
Trong mọi trường hợp, ta đều có HC = |AC – AH|.
Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC – AH)2 = (BH2 + AH2) + AC2 – 2AH . AC
= AB2 + AC2 – 2AH . AC.
b) Xét tam giác vuông AHB, ta có: AH = AB cosA = c.cosα.
Do đó BC2 = AB2 + AC2 – 2 . AH . AC = b2 + c2 – 2bc.cosα.
Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc.cos α.
Hoạt động 7 trang 67 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, . Kẻ đường cao BH.
Cho α là góc tù. Chứng minh:
a) HC = AC + AH và BC2 = AB2 + AC2 + 2 AH . AC;
b) a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Lời giải:
a) Do α là góc tù nên A nằm giữa H và C. Do đó: HC = AC + AH.
Xét các tam giác vuông BHC và AHB, áp dụng định lí Pythagore, ta có:
BC2 = BH2 + HC2 = BH2 + (AC + AH)2
= (BH2 + AH2) + AC2 + 2AH . AC
= AB2 + AC2 + 2AH . AC.
b) Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:
AH = AB cos(180° – α) = – c cos α.
Do đó BC2 = AB2 + AC2 + 2AH . AC = b2 + c2 – 2bc.cos α.
Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc.cos α.
Hoạt động 8 trang 68 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, . Kẻ đường cao BH.
Cho α là góc vuông. Chứng minh a2 = b2 + c2 – 2bc cos α.
Lời giải:
Do α = 90° nên tam giác ABC vuông tại A và cos α = cos 90o = 0.
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:
BC2 = AC2 + AB2 = b2 + c2 - 0 = b2 + c2 - 2bc.cos α.
Vậy a2 = b2 + c2 – 2bc.cos α.
Luyện tập 2 trang 68 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có AB = 5, AC = 6, BC = 7. Tính cos A.
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 – 2 AB . AC . cos A
.
Thay số ta được: .
Vậy cos A = 0,2.
a) ;
b) .
Lời giải:
Do α là góc nhọn ta vẽ được hình như sau:
a) Trong đường tròn (O) ta có (2 góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ BC).
Vậy .
b) Do là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên .
Khi đó là tam giác vuông tại C.
Xét trong tam giác BCD vuông tại C có hay .
Do đó .
a) ;
b)
Lời giải:
Do α là góc tù ta vẽ được hình như sau:
a) Do tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nên .
Do đó .
b) Do là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên .
Khi đó là tam giác vuông tại C.
Xét trong tam giác BCD vuông tại C có hay .
Mà sin α = sin(180o - α) nên .
Do đó .
Lời giải:
Do và là góc nội tiếp trong đường tròn (O) nên là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
Do đó BC là đường kính của đường tròn (O).
Mà BD là đường kính của đường tròn (O) nên C D.
Do α = 90o nên sin α = sin 90o = 1.
Do BC là đường kính của đường tròn (O; R) nên BC = 2R hay a = 2R.
Do đó hay .
Lời giải:
Xét tam giác ABC: .
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có
BC = sinA . 2R
BC = sin30o . 12
BC = 6
Vậy BC = 6.
B. Bài tập
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cos
BC2 = (3,5)2 + (7,5)2 - 2 . 3,5 . 7,5 . cos 135o
BC2 ≈ 105,6
BC ≈ 10,3
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
2R ≈ 14,6
R ≈ 7,3
Vậy BC ≈ 10,3; R ≈ 7,3.
Bài 2 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có và BC = 50. Tính độ dài cạnh AB.
Lời giải:
Trong tam giác ABC: .
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
Thay số ta được:
Vậy .
Lời giải:
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC ta có:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cosA
cosA =
cosA =
cosA =
≈ 75,5o
sinA ≈ 0,97
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
2R ≈ 8,25
R ≈ 4,13
Vậy cosA = ; sinA ≈ 0,97; R ≈ 4,13.
a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°;
b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°;
c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°;
d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°;
e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°.
Lời giải:
a) A = cos 0° + cos 40° + cos 120° + cos 140°
A = 1 + cos(180o - 140o) + () + cos 140o
A = 1 + () - cos 140o + cos 140o
A = .
b) B = sin 5° + sin 150° – sin 175° + sin 180°
B = sin(180o - 175o) - sin 175o + sin 150° + sin 180°
B = sin 175o - sin 175o + + 0
B = .
c) C = cos 15° + cos 35° – sin 75° – sin 55°
C = cos(90o - 75o) - sin 75o + cos(90o - 55o) - sin 55o
C = sin 75o - sin 75o + sin 55o - sin 55o
C = 0.
d) D = tan 25° . tan 45° . tan 115°
D = tan(90o - 65o) . tan 45o . tan(180o - 65o)
D = cot 65o . tan 45o . (– tan 65°)
D = – (cot 65° . tan 65°) . tan 45°
D =
D = -1 . 1
D = -1.
e) E = cot 10° . cot 30° . cot 100°.
E = cot(90o - 80o) . cot 30o . cot(180o - 80o)
E = tan 80o . cot 30o . (- cot 80o)
E = – (tan 80° . cot 80°) . cot 30°
E = (– 1) .
E = .
Bài 5 trang 71 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh:
Lời giải:
a) Trong tam giác ABC ta có: .
Khi đó .
Suy ra và là hai góc phụ nhau.
Do đó
Vậy .
b) Do và là hai góc phụ nhau nên .
Vậy .
Lời giải:
Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác.
Trong tam giác ABC:
.
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC ta có:
Thay số ta được:
AB ≈ 40 m.
Vậy khoảng cách từ A đến B khoảng 40 m.
Lời giải:
Sau 2,5 giờ tàu thứ nhất đi được: 8 . 2,5 = 20 hải lí.
Sau 2,5 giờ tàu thứ hai đi được: 12 . 2,5 = 30 hải lí.
Gọi AC là quãng đường tàu thứ nhất đi được sau 2,5 giờ; AB là quãng đường tàu thứ hai đi được sau 2,5 giờ.
Khi đó khoảng cách giữa hai tàu là BC.
Ba vị trí A, B, C tạo thành ba đỉnh của tam giác.
Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC:
BC2 = AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cosA
BC2 = 302 + 202 - 2.30.20.cos 75o
BC2 ≈ 989,4
BC ≈ 31,5 hải lí.
Vậy sau 2,5 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu khoảng 31,5 hải lí.
Lời giải:
Ta đặt tên các điểm như hình vẽ dưới:
AC là khoảng cách từ đỉnh của tòa nhà tới mắt bạn A và BD là khoảng cách từ mặt đất tới mắt của bạn B nên AC = 1,5 m và BD = 1,5 m.
Do AC = BD = 1,5 m nên AC + BC = BD + BC hay AB = CD = h.
Do đó AB = 20 m.
Do nên .
Do nên trong tam giác ABG có:
Áp dụng định lí sin vào tam giác ABG có:
Thay số ta được:
BG ≈ 25,5 m.
Xét tam giác vuông BEG có:
EG = 25,5 . sin 75o
EG ≈ 24,6 m.
Ta thấy BD = EF nên EF = 1,5 m.
Khi đó GF = EG + EF = 24,6 + 1,5 = 26,1 m ≈ 26 m.
Vậy chiếc diều bay cao khoảng 26 m so với mặt đất.
Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Cánh Diều hay, chi tiết khác:
Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai