Giải SGK Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài 19: Phương trình đường thẳng

Giải Toán 10 Bài 19: Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

HĐ1 trang 31 Toán 10 Tập 2: Cho vectơ $\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ và điểm A. Tìm tập hợp những điểm M sao cho $\overrightarrow{AM}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$. 

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{n}$ nên đường thẳng AM vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{n}$.

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow{n}$. 

HĐ2 trang 31 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng ∆ đi qua điểm A(x₀; y₀) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(a; b)$. Chứng minh rằng điểm M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi 

a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0.  (1)

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\left(x-x_0;y-y_0\right)$.

Vì điểm M(x; y) thuộc ∆ ⇔ $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{AM}$

$\iff \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AM}=0$

⇔ a.(x – x₀) + b(y – y₀) = 0. 

Vậy điểm M(x; y) thuộc ∆ khi và chỉ khi a(x – x₀) + b(y – y₀) = 0.

Luyện tập 1 trang 32 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(– 1; 5), B(2; 3), C(6; 1). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC. 

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(6-2;1-3\right)=\left(4;-2\right)$.

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC. 

Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(– 1; 5) và nhận vectơ $\overrightarrow{BC}$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 4(x + 1) – 2(y – 5) = 0 hay 2x – y + 7 = 0. 

Luyện tập 2 trang 32 Toán 10 Tập 2: Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆: y = 3x + 4. 

Lời giải:

Ta có: y = 3x + 4 ⇔ 3x – y + 4 = 0. 

Do đó đường thẳng ∆ có phương trình tổng quát: 3x – y + 4 = 0. 

Vậy một vectơ pháp tuyến của ∆ là $\overrightarrow{n}\left(3;-1\right)$. 

2. Phương trình tham số của đường thẳng

HĐ3 trang 32 Toán 10 Tập 2: Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc bằng $\overrightarrow{v}$ và đi qua A thì nó di chuyển trên đường nào?  

Lời giải:

Quan sát Hình 7.2a ta thấy giá của vectơ song song với đường thẳng ∆₂ nên vật thể chuyển động với vận tốc bằng $\overrightarrow{v}$ và đi qua A thì nó di chuyển trên đường ∆₂. 

Luyện tập 3 trang 33 Toán 10 Tập 2: Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆: 2x – y + 1 = 0. 

Lời giải:

Đường thẳng ∆: 2x – y + 1 = 0 có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(2;-1\right)$. 

Do đó một vectơ chỉ phương của ∆ là $\overrightarrow{u}\left(1;2\right)$. 

Ngoài ra ta có thể chọn một vectơ chỉ phương khác của ∆ là $\overrightarrow{v}\left(-1;-2\right)$. 

HĐ4 trang 33 Toán 10 Tập 2: Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng Oxy. Vật thể khởi hành từ A(2; 1) và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}\left(3;4\right)$. 

a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?

b) Chứng minh rằng, tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t). 

Lời giải:

a) Vật thể chuyển động trên đường thẳng đi qua điểm A(2; 1) và nhận vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}\left(3;4\right)$ làm vectơ chỉ phương. 

b) Gọi M(2 + 3t; 1 + 4t). 

Có: $\overrightarrow{AM}=\left(2+3t-2;1+4t-1\right)=\left(3t;4t\right)=t\left(3;4\right)=t\overrightarrow{v}$. 

Do đó vectơ $\overrightarrow{AM}$ và vectơ $\overrightarrow{v}$ là hai vectơ cùng phương hay AM song song hoặc trùng với giá của $\overrightarrow{v}$.

Khi đó điểm M thuộc đường thẳng chuyển động của vật thể, tức là đường thẳng đi qua điểm A và nhận vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}$ làm vectơ chỉ phương.

Vậy tại thời điểm t (t > 0) tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có tọa độ là (2 + 3t; 1 + 4t). 

Luyện tập 4 trang 33 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(– 1; 2) và song song với đường thẳng d: 3x – 4y – 1 = 0. 

Lời giải:

Đường thẳng d: 3x – 4y – 1 = 0 nhận ${\overrightarrow{n}}_d\left(3;-4\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_d\left(4;3\right)$. 

Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d nên đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }={\overrightarrow{u}}_d=\left(4;3\right)$. 

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(– 1; 2) và có vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_{\Delta }\left(3;4\right)$ nên phương trình tham số của ∆ là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+3t\\ y=2+4t\end{array}\right.$. 

Luyện tập 5 trang 33 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt A(x₁; y₁), B(x₂; y₂) cho trước. 

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(x_2-x_1;y_2-y_1\right)$. 

Đường thẳng AB đi qua điểm A(x₁; y₁) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$, do đó có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=x_1+\left(x_2-x_1\right)t\\ y=y_1+\left(y_2-y_1\right)t\end{array}\right.$. 

Gọi vectơ $\overrightarrow{n}$ là vectơ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{n}$ có tọa độ là $\overrightarrow{n}=\left(-\left(y_2-y_1\right);x_2-x_1\right) =\left(y_1-y_2;x_2-x_1\right)$. 

Đường thẳng AB đi qua điểm A(x₁; y₁) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$, do đó có phương trình tổng quát là: (y₁ – y₂)(x – x₁) + (x₂ – x₁)(y – y₁) = 0 hay (y₁ – y₂)x + (x₂ – x₁)y + x₁y₂ – x₂y₁ = 0. 

Vận dụng trang 34 Toán 10 Tập 2: Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1686 – 1736) được xác định bởi hai mốc sau: 

Nước đóng băng ở 0 °C, 32 °F; 

Nước sôi ở 100 °C, 212 °F. 

Trong quy đổi đó, nếu a °C tương ứng với b °F thì trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M(a; b) thuộc đường thẳng đi qua A(0; 32) và B(100; 212). 

Hỏi 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C?

Lời giải:

Ta lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; 32) và B(100; 212). 

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(100-0;212-32\right)=\left(100;180\right)$.

Chọn $\overrightarrow{u}=\frac{1}{20}\overrightarrow{AB}=\left(5;9\right)$ là một vectơ chỉ phương của AB thì đường thẳng AB có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}\left(9;-5\right)$. 

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB là 

9(x – 0) – 5(y – 32) = 0 hay 9x – 5y + 160 = 0. 

Để tìm 0 °F, 100 °F tương ứng với bao nhiêu độ C nghĩa là ta tìm hoành độ của các điểm thuộc đường thẳng AB có tung độ lần lượt là 0 và 100. 

Tại 0 °F, nghĩa là y = 0 thì 9x – 5 . 0 + 160 = 0 ⇔ 9x = – 160 ⇔ x = $-\frac{160}{9}$.

Tại 100 °F, nghĩa là y = 100 thì 9x – 5 . 100 + 160 = 0 ⇔ 9x = 340 ⇔ x = $\frac{340}{9}$. 

Vậy 0 °F tương ứng với $-\frac{160}{9}$°C và 100 °F tương ứng với $\frac{340}{9}$°C. 

Bài tập

Bài 7.1 trang 34 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho $\overrightarrow{n}=\left(2;1\right),\overrightarrow{v}=\left(3;2\right),A\left(1;3\right),B\left(-2;1\right)$. 

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₁ đi qua A và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$. 

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng ∆₂ đi qua B và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}$. 

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng AB. 

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ đi qua A(1; 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)$, do đó phương trình tổng quát của ∆₁ là: 2(x – 1) + 1(y – 3) = 0 hay 2x + y – 5 = 0. 

b) Đường thẳng ∆₂ đi qua B(– 2; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{v}=\left(3;2\right)$, do đó phương trình tham số của ∆₂ là $\left\{\begin{array}{l}x=-2+3t\\ y=1+2t\end{array}\right.$. 

c) Đường thẳng AB đi qua điểm A(1; 3) và nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-2-1;1-3\right)=\left(-3;-2\right)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của đường thẳng AB là $\left\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=3-2t\end{array}\right.$. 

Bài 7.2 trang 34 Toán 10 Tập 2: Lập phương trình đường thẳng tổng quát của các trục tọa độ. 

Lời giải:

Các vectơ đơn vị của trục Ox và Oy lần lượt là $\overrightarrow{i}\left(1;0\right)$ và $\overrightarrow{j}\left(0;1\right)$. Mỗi vectơ đơn vị chính là 1 vectơ chỉ phương của mỗi trục.

Hai trục tọa độ vuông góc với nhau nên vectơ $\overrightarrow{j}\left(0;1\right)$ chỉ phương của trục này là vectơ pháp tuyến của trục kia. 

Trục Ox đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Ox là: 0(x – 0) + 1(y – 0) = 0 hay y = 0. 

Trục Oy đi qua điểm gốc tọa độ O(0; 0) và nhận vectơ $\overrightarrow{i}\left(1;0\right)$ làm vectơ pháp tuyến nên phương trình tổng quát của Oy là: 1(x – 0) + 0(y – 0) = 0 hay x = 0. 

Bài 7.3 trang 34 Toán 10 Tập 2: Cho hai đường thẳng ∆₁:$\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+5t\end{array}\right.$ và ∆₂: 2x + 3y – 5 = 0. 

a) Lập phương trình tổng quát của ∆₁. 

b) lập phương trình tham số của ∆₂. 

Lời giải:

a) Đường thẳng ∆₁ có phương trình tham số là $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3+5t\end{array}\right.$, do đó đường thẳng ∆­₁ đi qua điểm A(1; 3) và có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_1=\left(2;5\right)$. 

Suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆₁ là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(5;-2\right)$. 

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆₁ là 5(x – 1) – 2(y – 3) = 0 hay 5x – 2y + 1 = 0. 

b) Đường thẳng ∆₂ có phương trình tổng quát là 2x + 3y – 5 = 0 nên ∆₂ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_2=\left(2;3\right)$. 

Suy ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆₂ là ${\overrightarrow{u}}_2=\left(3;-2\right)$. 

Ta lấy điểm B(1; 1) thuộc ∆₂ (do 2 . 1 + 3 . 1 – 5 = 0). 

Khi đó đường thẳng ∆₂ đi qua điểm B(1; 1) và nhận ${\overrightarrow{u}}_2=\left(3;-2\right)$ làm vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của ∆₂ là $\left\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=1-2t\end{array}\right.$. 

Bài 7.4 trang 34 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 0) và C(– 2; – 1). 

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ A. 

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ B. 

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(-2-3;-1-0\right)=\left(-5;-1\right)$.

Gọi đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC là đường thẳng ∆, do đó ∆ ⊥ BC. 

Suy ra đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; 2) và nhận vectơ $\overrightarrow{BC}$ làm vectơ pháp tuyến.

Vậy phương trình đường thẳng ∆ là – 5(x – 1) – 1(y – 2) = 0 hay 5x + y – 7 = 0. 

b) Gọi M là trung điểm của AC, khi đó tọa độ của điểm M là 

$\left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{1+\left(-2\right)}{2}=\frac{-1}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{2+\left(-1\right)}{2}=\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Hay M$\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$

Đường trung tuyến kẻ từ B chính là đường thẳng BM. 

Ta có:$\overrightarrow{BM}=\left(-\frac{1}{2}-3;\frac{1}{2}-0\right)=\left(-\frac{7}{2};\frac{1}{2}\right)$. 

Chọn $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{BM}=\left(-7;1\right)$. 

Đường trung tuyến BM đi qua B(3; 0) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-7;1\right)$, do đó phương trình tham số của đường thẳng BM là $\left\{\begin{array}{l}x=3-7t\\ y=t\end{array}\right.$. 

Bài 7.5 trang 34 Toán 10 Tập 2: (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng) 

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 (H.7.3) có phương trình là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. 

Lời giải:

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(0-a;b-0\right)=\left(-a;b\right)$. 

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(-a;b\right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(b;a\right)$. 

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến là: b(x – a) + a(y – 0) = 0 hay bx + ay – ab = 0   (1). 

Do ab ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của (1) cho ab, ta được: 

$\frac{bx}{ab}+\frac{ay}{ab}-\frac{ab}{ab}=\frac{0}{ab}$

$\iff \frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0$

$\iff \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Bài 7.6 trang 34 Toán 10 Tập 2: Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2° Bắc, kinh độ 105,8° Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1° Bắc, kinh độ 108,2° Đông. Một máy bay, bay từ sân bay Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí đó có vĩ độ x° Bắc, kinh độ y° Đông được tính theo công thức

 $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{21,2}-\frac{153}{40}t\\ y=\mathrm{105,8}+\frac{9}{5}t\end{array}\right.$

a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc) chưa? 

Lời giải:

a) Tại sân bay Nội Bài, máy bay bắt đầu bay ứng với thời gian t = 0. 

Tọa độ của sân bay Đà Nẵng thỏa mãn hệ $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{21,2}-\frac{153}{40}t\\ y=\mathrm{105,8}+\frac{9}{5}t\end{array}\right.$. 

Do đó, thời gian máy bay bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng là nghiệm t của hệ $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{16,1}=\mathrm{21,2}-\frac{153}{40}t\left(1\right)\\ \mathrm{108,2}=\mathrm{105,8}+\frac{9}{5}t\left(2\right)\end{array}\right.$.

Từ (1) suy ra t = $\frac{4}{3}$. 

Từ (2) suy ra t = $\frac{4}{3}$. 

Do đó t = $\frac{4}{3}$ là nghiệm của hệ trên. 

Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất $\frac{4}{3}$ giờ. 

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, nghĩa là t = 1, thay vào hệ $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{21,2}-\frac{153}{40}t\\ y=\mathrm{105,8}+\frac{9}{5}t\end{array}\right.$ ta được: $\left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{21,2}-\frac{153}{40}.1\\ y=\mathrm{105,8}+\frac{9}{5}.1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\mathrm{17,375}\\ y=\mathrm{107,6}\end{array}\right.$. 

Do đó tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đang ở vị trí có 17,375° Bắc và có kinh độ 107,6° Đông. 

Vậy tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc).

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Bài 22: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59

Bài 23: Quy tắc đếm