Giải SGK Toán 10 (Kết nối tri thức) Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Giải Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

1. Phương trình đường tròn

HĐ1 trang 43 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R (H.7.13). Khi đó, một điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn điều kiện đại số nào? 

Lời giải:

Điểm M thuộc đường tròn (C) khi khoảng cách từ tâm I của (C) đến M bằng bán kính R của (C). 

Ta có: $\overrightarrow{IM}=\left(x-a;y-b\right)$ nên $IM=\sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2}$. 

Khi đó IM = R $\iff \sqrt{{\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2}=R\iff {\left(x-a\right)}^2+{\left(y-b\right)}^2=R^2$ (do R > 0, (x – a)² ≥ 0, (y – b)² ≥ 0).

Vậy điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R khi và chỉ khi 

(x – a)² + (y – b)² = R².

Luyện tập 1 trang 44 Toán 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C): (x + 2)² + (y – 4)² = 7. 

Lời giải:

Ta viết phương trình (C) ở dạng (x – (– 2))² + (y – 4)² = ${\left(\sqrt{7}\right)}^2$. 

Vậy (C) có tâm I(– 2; 4) và bán kính R = $\sqrt{7}$. 

Luyện tập 2 trang 44 Toán 10 Tập 2: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó. 

a) x² – y² – 2x + 4y – 1 = 0; 

b) x² + y² – 2x + 4y + 6 = 0; 

c) x² + y² + 6x – 4y + 2 = 0. 

Lời giải:

 a) Phương trình x² – y² – 2x + 4y – 1 = 0 không có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 nên đây không phải là phương trình đường tròn. 

b) Ta có: x² + y² – 2x + 4y + 6 = 0

⇔ x² + y² – 2 . 1 . x – 2 . (– 2) . y + 6 = 0.

Có các hệ số a = 1, b = – 2, c = 6. 

Ta có: a² + b² – c = 1² + (– 2)² – 6 = – 1 < 0. 

Vậy phương trình b) không phải là phương trình đường tròn. 

c) x² + y² + 6x – 4y + 2 = 0

⇔ x² + y² – 2 . (– 3) . x – 2 . 2 y + 2 = 0.

Có các hệ số a = – 3, b = 2, c = 2. 

Ta có: a² + b² – c = (– 3)² + 2² – 2 = 11 > 0. 

Do đó phương trình c) là phương trình đường tròn có tâm I(– 3; 2) và bán kính R = $\sqrt{11}$. 

Luyện tập 3 trang 45 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm M(4; – 5), N(2; – 1), P(3; – 8). 

Lời giải:

Các đoạn thẳng MN, NP tương ứng có trung điểm là A(3; – 3), B$\left(\frac{5}{2};\frac{-9}{2}\right)$. Đường thẳng trung trực d₁ của đoạn thẳng MN đi qua điểm A(3; – 3) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{MN}=\left(-2;4\right)$. 

Vì $\overrightarrow{MN}=\left(-2;4\right)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$ nên d₁ cũng nhận $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$ là vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của d₁ là: 1(x – 3) – 2(y + 3) = 0 hay x – 2y – 9 = 0. 

Đường thẳng trung trực d₂ của đoạn thẳng NP đi qua B$\left(\frac{5}{2};\frac{-9}{2}\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{NP}=\left(1;-7\right)$, do đó phương trình d₂ là: $1\left(x-\frac{5}{2}\right)-7\left(y+\frac{9}{2}\right)=0$ hay x – 7y – 34 = 0. 

Tâm I của đường tròn (C) cách đều ba điểm M, N, P nên I là giao điểm của d₁ và d₂. 

Vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y-9=0\\ x-7y-34=0\end{array}\right.$. 

Suy ra I(– 1; – 5). Đường tròn (C) có bán kính là IM =$\sqrt{{\left(4-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(-5-\left(-5\right)\right)}^2}=5$.

Vậy phương trình của (C) là: (x + 1)² + (y + 5)² = 25.

Vận dụng 1 trang 45 Toán 10 Tập 2: Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H.7.15a) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy π = 3,14, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai. 

Lời giải:

Gọi bán kính của bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là x, y (m) (x, y > 0). 

Chu vi của bể hình tròn là: 2πx = 2 . 3,14 . x = 6,28x  (m).

Vì hai bể còn lại là hai bể có dạng nửa hình tròn bằng nhau nên tổng chu vi của hai bể này bằng tổng chu vi của đường tròn bán kính y (m) với 2 lần độ dài đường kính của đường tròn đó, do đó chu vi của hai bể nửa hình tròn là:

2πy + 2 . 2y = 2 . 3,14 . y + 4y = 10,28y (m).

Tổng chu vi của ba bể là 32 m nên ta có: 6,28x + 10,28y = 32 hay 1,57x + 2,57y – 8 = 0.

Diện tích của bể hình tròn là: πx² = 3,14x² (m²). 

Diện tích của hai bể nửa hình tròn là: πy² = 3,14y² (m²). 

Gọi tổng diện tích của ba bể sục là S (m²). Khi đó ta có: 

3,14x² + 3,14y² = S hay x²+ y² = $\frac{S}{\mathrm{3,14}}$. 

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn (C): x²+ y² =$\frac{S}{\mathrm{3,14}}$ có tâm O(0; 0), bán kính R =$\sqrt{\frac{S}{\mathrm{3,14}}}$ và đường thẳng ∆: 1,57x + 2,57y – 8 = 0. Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm R nhỏ nhất để (C) và ∆ ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương. 

Để (C) và ∆ có ít nhất một điểm chung thì khoảng cách từ tâm O của (C) tới ∆ phải nhỏ hơn hoặc bằng bán kính R nên ta có: d(O, ∆) ≤ R.

$\iff \frac{\left|\mathrm{1,57.0}+\mathrm{2,57.0}-8\right|}{\sqrt{{\left(\mathrm{1,57}\right)}^2+{\left(\mathrm{2,57}\right)}^2}}\le \sqrt{\frac{S}{\mathrm{3,14}}}$

$\iff \mathrm{2,66}\le \sqrt{\frac{S}{\mathrm{3,14}}}\iff \frac{S}{\mathrm{3,14}}\ge \mathrm{7,0756}\iff S\ge \mathrm{22,22}$

Giá trị nhỏ nhất của S là 22,22 m², khi đó x² + y² = 7,0756         (*). 

Từ 1,57x + 2,57y – 8 = 0 ⇒ x = $\frac{8-\mathrm{2,57}y}{\mathrm{1,57}}$ thay vào (*) ta được: 

${\left(\frac{8-\mathrm{2,57}y}{\mathrm{1,57}}\right)}^2+y^2=\mathrm{7,0756}$

⇔ (8 – 2,57y)² + (1,57)²y² = 17,44

⇔ 9,0698y² – 41,12y + 46,56 = 0 

⇔ y ≈ 2,34 hoặc y ≈ 2,2. 

Với y ≈ 2,34 suy ra x =$\frac{8-\mathrm{2,57.2,34}}{\mathrm{1,57}}$ ≈ 1,27.

Với y ≈ 2,2 suy ra x =$\frac{8-\mathrm{2,57.2,2}}{\mathrm{1,57}}$ ≈ 1,45. 

Vậy bán kính bể sục hình tròn là 1,27 m thì bể sục nửa hình tròn là 2,34 m hoặc bán kính của bể sục hình tròn là 1,45 m thì bể sục nửa hình tròn là 2,2 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2. Phương trình tiếo tuyến của đường tròn

HĐ2 trang 46 Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C): (x – 1)²+ (y – 2)² = 25 và điểm M(4; – 2).

a) Chứng minh điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C). 

b) Xác định tâm và bán kính của (C).

c) Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ (H.7.16). Từ đó, viết phương trình đường thẳng ∆.

Lời giải:

a) Thay tọa độ điểm M(4; – 2) vào phương trình đường tròn (C) ta được: 

(4 – 1)² + (– 2 – 2)² = 25 ⇔ 3² + (– 4)² = 25 ⇔ 25 = 25 (luôn đúng). 

Vậy điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C). 

b) Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = $\sqrt{25}$ = 5. 

c) Ta có: ∆ ⊥ IM tại M (bán kính đi qua tiếp điểm thì vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm đó). 

Do đó một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là vectơ $\overrightarrow{IM}=\left(4-1;-2-2\right)=\left(3;-4\right)$.

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(4; – 2) và có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IM}=\left(3;-4\right)$ nên phương trình đường thẳng ∆ là: 3(x – 4) – 4(y + 2) = 0 hay 3x – 4y – 20 = 0. 

Luyện tập 4 trang 46 Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C): x² + y² – 2x + 4y + 1 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm N(1; 0). 

Lời giải:

Ta có: x² + y² – 2x + 4y + 1 = 0 ⇔ x² + y² – 2 . 1 . x – 2 . (– 2) . y + 1 = 0 

Các hệ số: a = 1, b = – 2, c = 1. 

Khi đó đường tròn (C) có tâm I(1; – 2). 

Do 1² + 0 – 2 . 1 + 0 + 1 = 0 nên điểm N(1; 0) thuộc (C). 

Tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm N(1; 0) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IN}=\left(1-1;0-\left(-2\right)\right)=\left(0;2\right)$, nên có phương trình ∆: 0(x – 1) + 2(y – 0) = 0 hay ∆: y = 0. 

Vận dụng 2 trang 46 Toán 10 Tập 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, một vật chuyển động nhanh trên đường tròn có phương trình x² + y² = 25. Khi tới vị trí M(3; 4) thì vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngày sau đó, trong một khoảng thời gian ngắn bay theo hướng tiếp tuyến của đường tròn. Hỏi trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng, vật chuyển động trên đường thẳng nào ?

Lời giải:

Trong khoảng thời gian ngắn sau khi văng tại vị trí M(3; 4), vật chuyển động trên đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn có phương trình x² + y² = 25 tại điểm M(3; 4). 

Đường tròn (C): x² + y² = 25 có tâm O(0; 0), điểm M(3; 4) thuộc đường tròn đó (vì 3² + 4² = 25). 

Tiếp tuyến của (C) tại M(3; 4) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{OM}=\left(3-0;4-0\right)=\left(3;4\right)$, nên có phương trình: 3(x – 3) + 4(y – 4) = 0 hay 3x + 4y – 25 = 0. 

Vậy vật chuyển động trên đường thẳng có phương trình 3x + 4y – 25 = 0 trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng. 

Bài tập

Bài 7.13 trang 47 Toán 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn

(x + 3)² + (y – 3)² = 36. 

Lời giải:

Ta viết phương trình đường tròn đã cho về dạng: (x – (– 3))² + (y – 3)² = 6². 

Do đó đường tròn này có tâm I(– 3; 3) và bán kính R = 6. 

Bài 7.14 trang 47 Toán 10 Tập 2: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng. 

a) x² + y² + xy + 4x – 2 = 0; 

b) x² + y² – 2x – 4y + 5 = 0; 

c) x² + y² + 6x – 8y + 1 = 0. 

Lời giải:

a) Phương trình x² + y² + xy + 4x – 2 = 0 không có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a, b, c là các số thực nên đây không phải phương trình đường tròn. 

b) x² + y² – 2x – 4y + 5 = 0 ⇔ x² + y² – 2 . 1 . x – 2 . 2 . y + 5 = 0.

Các hệ số: a = 1, b = 2, c = 5. 

Ta có: a² + b² – c = 1² + 2² – 5 = 0 nên đây cũng không phải phương trình đường tròn. 

c) x² + y² + 6x – 8y + 1 = 0 ⇔ x² + y² – 2 . (– 3) . x – 2 . 4 . y + 1 = 0.

Các hệ số: a = – 3, b = 4, c = 1. 

Ta có: a² + b² – c = (– 3)² + 4² – 1 = 24 > 0 nên đây là phương trình đường tròn. 

Đường tròn này có tâm I(– 3; 4) và bán kính R =$\sqrt{24}$ = $2\sqrt{6}$

Bài 7.15 trang 47 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau: 

a) Có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7; 

b) Có tâm I(1; – 2) và đi qua điểm A(– 2; 2);

c) Có đường kính AB, với A(– 1; – 3), B(– 3; 5); 

d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0.

Lời giải:

a) Đường tròn có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7 có phương trình là 

(x – (–2))² + (y – 5)² = 7² hay (x + 2)² + (y – 5)² = 49. 

b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm A nên bán kính đường tròn là IA. 

Ta có: IA = $\sqrt{{\left(-2-1\right)}^2+{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2}$ = 5. 

Do đó phương trình đường tròn là: (x – 1)² + (y – (– 2))² = 5² 

Hay (x – 1)² + (y + 2)² = 25. 

c) Đường tròn có đường kính AB thì tâm của đường tròn này là trung điểm của AB.

Tọa độ trung điểm I của AB là I$\left(\frac{\left(-1\right)+\left(-3\right)}{2};\frac{\left(-3\right)+5}{2}\right)$ hay I(– 2; 1). 

Ta có: AB = $\sqrt{{\left(-3-\left(-1\right)\right)}^2+\left(5-{\left(-3\right)}^2\right)}$ = $2\sqrt{17}$. 

Khi đó phương trình đường tròn đường kính AB là: 

hay (x + 2)² + (y – 1)² = 68. 

d) Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + 2y + 3 = 0 thì khoảng cách từ tâm I đến ∆ chính bằng bán kính của (C). 

Ta có: R = d(I, ∆) = $\frac{\left|1+2.3+3\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$. 

Vậy phương trình đường tròn (C) là: 

${\left(x-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2={\left(2\sqrt{17}\right)}^2$ hay (x – 1)² + (y – 3)² = 20. 

Bài 7.16 trang 47 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC, với A(6; – 2), B(4; 2), C(5; –5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. 

Lời giải:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C. 

Các đoạn thẳng AB, BC tương ứng có trung điểm là M(5; 0), N$\left(\frac{9}{2};\frac{-3}{2}\right)$. 

Đường thẳng trung trực d₁ của đoạn thẳng AB đi qua điểm M(5; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=\left(-2;4\right)$. 

Vì $\overrightarrow{AB}=\left(-2;4\right)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$ nên d₁ cũng nhận $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$ là vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của d₁ là: 1(x – 5) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 5 = 0. 

Đường thẳng trung trực d₂ của đoạn thẳng BC đi qua N$\left(\frac{9}{2};\frac{-3}{2}\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{BC}=\left(1;-7\right)$ , do đó phương trình d₂ là:$1\left(x-\frac{9}{2}\right)-7\left(y+\frac{3}{2}\right)=0$ hay x – 7y – 15 = 0. 

Tâm I của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của d₁ và d₂. 

Vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y-5=0\\ x-7y-15=0\end{array}\right.$. 

Suy ra I(1; – 2). Đường tròn (C) có bán kính là IA = $\sqrt{{\left(6-1\right)}^2+{\left(-2-\left(-2\right)\right)}^2}=5$.

Vậy phương trình của (C) là: (x – 1)² + (y + 2)² = 25.

Bài 7.17 trang 47 Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C): x² + y²+ 2x – 4y + 4  = 0. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2).  

Lời giải:

Ta có: x² + y² + 2x – 4y + 4 = 0 ⇔ x² + y² – 2 . (– 1) . x – 2 . 2 . y + 4 = 0.

Các hệ số: a = – 1, b = 2, c = 4. 

Khi đó đường tròn (C) có tâm I(– 1; 2). 

Do 0² + 2² + 2 . 0 – 4 . 2 + 4 = 0 nên điểm M(0; 2) thuộc (C). 

Tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IM}=\left(0+1;2-2\right)=\left(1;0\right)$, nên có phương trình d: 1(x – 0) + 0(y – 2) = 0 hay d: x = 0. 

Bài 7.18 trang 47 Toán 10 Tập 2: Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 180) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sint°; 4 + cost°). 

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể. 

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể. 

Lời giải:

a) Vị trí ban đầu của vật thể là tại thời điểm t = 0, nên tọa độ của điểm ở vị trí này là: 

(2 + sin0°; 4 + cos0°) = (2; 5).

Vị trí kết thúc của vật thể là tại thời điểm t = 180, nên tọa độ của điểm ở vị trí này là: 

(2 + sin 180°; 4 + cos 180°) = (2; 3).

b) Gọi điểm M(x; y) thuộc vào quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Ta có: x = 2 + sin t°và y = 4 + cost°.

Suy ra: x – 2 = sin t° và y – 4 = cost°.

Mà sin² t° + cos² t° = 1     (0 ≤ t ≤ 180)

Do đó ta có: (x – 2)² + (y – 4)² = 1.

Vậy quỹ đạo chuyển động của vật thể là đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính R = 1.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 22: Ba đường conic

Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59

Bài 23: Quy tắc đếm

Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Bài 25: Nhị thức Newton