(Phương trình đoạn chắn của đường thẳng). Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 (H.7.3)

Bài 7.5 trang 34 Toán 10 Tập 2: (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng) 

Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 (H.7.3) có phương trình là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. 

Trả lời

Ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(0-a;b-0\right)=\left(-a;b\right)$. 

Suy ra đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(-a;b\right)$ nên nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(b;a\right)$. 

Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng AB đi qua điểm A và nhận $\overrightarrow{n}$ làm vectơ pháp tuyến là: b(x – a) + a(y – 0) = 0 hay bx + ay – ab = 0   (1). 

Do ab ≠ 0 nên ta chia cả hai vế của (1) cho ab, ta được: 

$\frac{bx}{ab}+\frac{ay}{ab}-\frac{ab}{ab}=\frac{0}{ab}$

$\iff \frac{x}{a}+\frac{y}{b}-1=0$

$\iff \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$

Vậy đường thẳng đi qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) với ab ≠ 0 có phương trình là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.