Giải SBT Toán 11 (Cánh diều) Bài 2: Cấp số cộng

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 2. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Bài 15 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. un = 3n.

B. un = 1 – 3n.

C. un = 3n + 1.

D. un = 3 + n2.  

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Xét từng đáp án, ta thấy dãy số ở đáp án B là cấp số cộng.

Thật vậy, ta có un – un – 1 = (1 – 3n) – [1 – 3(n – 1)] = 1 – 3n – 1 + 3n – 3 = – 3 luôn không đổi với mọi n ∈ ℕ* và u1 = 1 – 3 . 1 = – 2.

Vậy (un) với un = 1 – 3n là một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = – 2 và công sai d = – 3. 

Bài 16 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1Cho cấp số cộng (un) biết u1=13 ; u8 = 26. Công sai d của cấp số cộng đó là:

A. 113 .

B. 103 .

C. 310 .

D. 311 .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi d là công sai của cấp số cộng.

Ta có u8 = u1 + (8 – 1)d = u1 + 7d.

Mà u1=13 ; u8 = 26 nên ta có 26 = 13  + 7d, từ đó suy ra d = 113 .

Bài 17 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1Viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng. Ba số hạng đó lần lượt là:

A. 7; 12; 17.

B. 6; 10; 14.

C. 8; 13; 18.

D. 6; 12; 18.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2, công sai d, ba số hạng xen giữa 2 và 22 lần lượt là u2, u3, u4 và số hạng thứ năm là u5 = 22.

Khi đó ta có u5 = u1 + (5 – 1)d = 2 + 4d = 22, suy ra d = 5.

Do đó, u2 = u1 + d = 2 + 5 = 7; u3 = u2 + d = 7 + 5 = 12 và u4 = u3 + d = 12 + 5 = 17.

Vậy ba số hạng cần tìm là 7; 12; 17.

Bài 18 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1Cho cấp số cộng (u­n) biết u5 + u7 = 19. Giá trị của u2 + u10 là:

A. 38.

B. 29.

C. 12.

D. 19.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử d là công sai của cấp số cộng (un).

Ta có u5 + u7 = [u1 + (5 – 1)d] + [u1 + (7 – 1)d] = 2u1 + 10d.

Và u2 + u10 = (u1 + d) + [u1 + (10 – 1)d] = 2u1 + 10d.

Do đó, u2 + u10 = u5 + u7 = 19.

Bài 19 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1Cho (un) là cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2, công sai d = − 5. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó là:

A. – 410.

B. – 205.

C. 245.

D. – 230.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó là:

 Cho (un) là cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 2, công sai d = − 5. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng đó là

Bài 20 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1Cho (un) là cấp số cộng có Sn = n2 + 4n với n ∈ ℕ*. Số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng đó là:

A. u1 = 3, d = 2.

B. u1 = 5, d = 2.

C. u1 = 8, d = – 2.

D. u1 = – 5, d = 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có S1 = 12 + 4 . 1 = 5 = u1;

S2 = 22 + 4 . 2 = 12, mà S2 = u1 + u2 = 5 + u2, từ đó suy ra u2 = 12 – 5 = 7.

Do đó, công sai d của cấp số cộng là d = u2 – u1 = 7 – 5 = 2.

Vậy u1 = 5, d = 2.

Bài 21 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1Cho ba số 1b+c,1c+a,1a+b  theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số a2, b2, c2 theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:

Do ba số 1b+c,1c+a,1a+b  theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

1c+a1b+c=1a+b1c+a

2c+a=1a+b+1b+c

2c+a=b+c+a+ba+bb+c

2c+a=2b+c+aa+bb+c

⇒ 2(a + b)(b + c) = (c + a)(2b + c + a)

⇔ 2ab + 2ac + 2b2 + 2bc = 2bc + c2 + ca + 2ab + ac + a2

⇔ 2b2 = a2 + c2

⇔ b2 – a2 = c2 – b2.

Suy ra ba số a2, b2, c2 theo thứ tự cũng lập thành một cấp số cộng.

Bài 22 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1m x để ba số 10 – 3x, 2x2 + 3, 7 – 4x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Lời giải:

Ba số 10 – 3x, 2x2 + 3, 7 – 4x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi

(2x2 + 3) – (10 – 3x) = (7 – 4x) – (2x2 + 3)

⇔ 2x2 + 3 – 10 + 3x = 7 – 4x – 2x2 – 3

⇔ 4x2 + 7x – 11 = 0

 Tìm x để ba số 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Vậy Tìm x để ba số 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 23 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết:

 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết

Lời giải:

a) Ta có Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết.

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 3.

b) Ta có Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết

 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u1 = 16 và công sai d = – 3.

c) Ta có Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết

 Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng (un), biết

Vậy cấp số cộng đã cho có số hạng đầu u1 = 3 và công sai d = 3.

Bài 24 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1Cho (un) là cấp số cộng có u2 + u4 = 22, u1 . u5 = 21 và công sai d dương.

a) Tính u100, S100.

b) Tính tổng: u1 + u5 + u9 + ... + u101.  

Lời giải:

Ta có u2 + u4 = (u1 + d) + (u1 + 3d) = 2u1 + 4d = 22, suy ra 4d = 22 – 2u1.

Lại có u1 . u5 = u1 . (u1 + 4d) = u1 . (u1 + 22 – 2u1) = u1 . (22 – u1).

Mà u1 . u5 = 21, do đó u1 . (22 – u1) = 21 ⇔ 22u1 – u12 – 21 = 0 Cho (un) là cấp số cộng có u2 + u4 = 22, u1 . u5 = 21 và công sai d dương

Với u1 = 1, suy ra d=222u14=222.14=5>0  (thỏa mãn).

Với u1 = 21, suy ra d=222u14=222.214=5<0  (không thỏa mãn).

Vậy cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d = 5.

a) Ta có: u100 = u1 + (100 – 1)d = 1 + 99 . 5 = 496.

Cho (un) là cấp số cộng có u2 + u4 = 22, u1 . u5 = 21 và công sai d dương.

b) Ta có u5 – u1 = (u1 + 4d) – u1 = 4d, tương tự u9 – u5 = 4d, ...

Do đó các số u1, u5, u9, ..., u100 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1 và công sai d' = 4d = 4 . 5 = 20.

Lại có (101 – 1) : 4 + 1 = 26 nên tổng u1 + u5 + u9 + ... + u101 gồm 26 số hạng.

Do vậy, u1 + u5 + u9 + ... + u101 Cho (un) là cấp số cộng có u2 + u4 = 22, u1 . u5 = 21 và công sai d dương .

Bài 25 trang 50 SBT Toán 11 Tập 1Tìm năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng bằng 480.

Lời giải:

Gọi số hạng nhỏ nhất trong các số cần tìm là u và công sai của cấp số cộng là d.

Khi đó, năm số hạng liên tiếp là u, u + d, u + 2d, u + 3d, u + 4d.

Vì tổng của chúng bằng 40 nên u + u + d + u + 2d + u + 3d + u + 4d = 40

⇔ 5u + 10d = 40 ⇔ u + 2d = 8.

⇔ u = 8 – 2d. (1)

Lại có tổng bình phương của chúng bằng 480 nên

u2 + (u + d)2 + (u + 2d)2 + (u + 3d)2 + (u + 4d)2 = 480. (2)

Thế (1) vào (2) ta được:

(8 – 2d)2 + (8 – 2d + d)2 + (8 – 2d + 2d)2 + (8 – 2d + 3d)2 + (8 – 2d + 4d)2 = 480

⇔ (8 – 2d)2 + (8 – d)2 + 82 + (8 + d)2 + (8 + 2d)2 = 480

⇔ 64 – 32d + 4d2 + 64 – 2d + d2 + 64 + 64 + 2d + d2 + 64 + 32d + 4d2 = 480

⇔ 10d2 + 320 = 480

⇔ 10d2 = 160

⇔ d2 = 16

⇔ d = ±4

+ Với d = 4, ta có u = 8 – 2 . 4 = 0.

+ Với d = – 4, ta có u = 8 – 2 . (– 4) = 16.

Vậy năm số hạng liên tiếp cần tìm là 0, 4, 8, 12, 16.

Bài 26 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1Cho (un) là cấp số cộng có u1 + u5 + u9 + u13 + u17 + u21 = 234.

a) Tính u2 + u8 + u14 + u20.

b) Tìm u1, d, biết u10 = 37.  

Lời giải:

a) Ta có: u1 + u5 + u9 + u13 + u17 + u21

= u1 + (u1 + 4d) + (u1 + 8d) + (u1 + 12d) + (u1 + 16d) + (u1 + 20d)

= 6u1 + 60d

Mà u1 + u5 + u9 + u13 + u17 + u21 = 234 nên 6u1 + 60d = 234 ⇔ u1 + 10d = 39.

Lại có u2 + u8 + u14 + u20 = (u1 + d) + (u1 + 7d) + (u1 + 13d) + (u1 + 19d)

= 4u1 + 40d = 4(u1 + 10d) = 4 . 39 = 156. 

Vậy u2 + u8 + u14 + u20 = 156.

b) Ta có u1 + 10d = (u1 + 9d) + d = u10 + d = 39.

Mà u10 = 37 nên suy ra d = 39 – u10 = 39 – 37 = 2.

Do đó, u1 = 39 – 10d = 39 – 10 . 2 = 19.

Vậy u1 = 19 và d = 2.

Bài 27 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1Cho dãy số (un) biết u1 = – 2, un+1=un1un  với n ∈ ℕ*. Đặt vn=un+1un  với n ∈ ℕ*.

a) Chứng minh rằng dãy số (vn) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b) Tìm công thức của vn, un tính theo n.

c) Tính tổng S=1u1+1u2+1u3+...+1u20 .

Lời giải:

a) Ta có vn=un+1un=1+1un , vn+1=1+1un+1=1+1un1un=1+1unun=1un .

Khi đó, vn+1vn=1un1+1un=1  không đổi với mọi n ∈ ℕ*.

Vậy dãy số (vn) là một cấp số cộng có số hạng đầu là v1=1+1u1=1+12=12  và công sai d = – 1.

b) Ta có vn=v1+n1d=12+n1.1=12n+1=32n .

Vì vn=1+1un  nên 1+1un=32n 1un=12n un=212n .

Vậy vn=32n  và un=212n .

c) Từ vn=1+1un , suy ra 1un=vn1 .

Khi đó ta có S=1u1+1u2+1u3+...+1u20

          = (v1 – 1) + (v2 – 1) + (v3 – 1) + ... + (v20 – 1)

          = (v1 + v2 + v3 + ... + v20) – 20.

Mà v1 + v2 + v3 + ... + v20 là tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng (vn) nên

v1 + v2 + v3 + ... + v20 = Cho dãy số (un) biết u1 = – 2 trang 51 SBT Toán 11 .

Do đó, S = – 180 – 20 = – 200.

Bài 28 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1Chuông đồng hồ ở một toà tháp đánh số tiếng đúng bằng số giờ và cứ mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông. Hỏi bắt đầu từ lúc 1 giờ đêm đến 12 giờ trưa, chuông đồng hồ đó đã đánh tất cả bao nhiêu tiếng?

Lời giải:

Lúc 1 giờ đêm, toà tháp đánh 1 tiếng chuông; lúc 2 giờ đêm, toà tháp đánh 2 tiếng chuông, ...; lúc 12 giờ trưa, toà tháp đánh 12 tiếng chuông. Ngoài ra, mỗi 30 phút không phải là giờ đúng thì đánh 1 tiếng chuông (có 11 lần như thế từ 1 giờ đến 12 giờ).

Vậy tổng số tiếng chuông là:

S = (1 + 2 + 3 + ...+ 12) + 1 . 11 = 1+12.122+11  = 89 (tiếng chuông).

Bài 29 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1Các khúc gỗ được xếp như Hình 2. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc, ..., lượt trên cùng có 15 khúc. Tính tổng số khúc gỗ đã được xếp.

 Các khúc gỗ được xếp như Hình 2. Lượt thứ nhất có 21 khúc, lượt thứ hai có 20 khúc, ..., lượt trên cùng có 15 khúc

Lời giải:

Tổng số khúc gỗ được xếp là:

15 + 16 + ... + 21 = 15+21.72  = 126 (khúc gỗ).

Xem thêm lời giải bài tập SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 1

Bài 1: Dãy số

Bài 3: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bài 1: Giới hạn của dãy số

Câu hỏi liên quan

a) Từ un = 4 – 3n suy ra un + 1 = 4 – 3(n + 1) = 4 – 3n – 3 = 1 – 3n. Như vậy un + 1 – un = (1 – 3n) – (4 – 3n) = – 3 không đổi với mọi n.   Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 4 – 3 = 1 và công sai d = – 3. b) Từ un = n2 + 1 suy ra un + 1 = (n + 1)2 + 1 = n2 + 2n + 2. Như vậy un + 1 – un = (n2 + 2n + 2) – (n2 + 1) = 2n + 1, phụ thuộc vào n. Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng. c) Từ un = 2n + 5 suy ra un + 1 = 2(n + 1) + 5 = 2n + 7. Như vậy un + 1 – un = (2n + 7) – (2n + 5) = 2 không đổi với mọi n. Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 2 + 5 = 7 và công sai d = 2. d) Từ hệ thức truy hồi ta có un + 1 = un + n, suy ra un + 1 – un = n, phụ thuộc vào n. Vậy dãy số đã cho không là cấp số cộng.
Xem thêm
Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng với n = 20 và d = 3 ta có ⇔ 2u1 + 57 = 65 ⇔ u1 = 4. Vậy số hạng đầu của cấp số cộng đã cho là u1 = 4.
Xem thêm
Đáp án đúng là: B Ta có S1 = 12 + 4 . 1 = 5 = u1; S2 = 22 + 4 . 2 = 12, mà S2 = u1 + u2 = 5 + u2, từ đó suy ra u2 = 12 – 5 = 7. Do đó, công sai d của cấp số cộng là d = u2 – u1 = 7 – 5 = 2. Vậy u1 = 5, d = 2.
Xem thêm
Số ghế ở mỗi hàng của góc khán đài lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 10 và công sai d = 4. Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng với Sn = 2 040, u1 = 10, d = 4 để tìm n, ta có ⇔ n(16 + 4n) = 4 080 ⇔ 4n2 + 16n – 4 080 = 0 ⇔ n = 30 hoặc n = – 34 (loại). Suy ra n = 30, tức là góc khán đài đó có 30 hàng ghế.
Xem thêm
Lương mỗi năm của anh Nam lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1 = 35 000 và công sai d = 1 400. Áp dụng công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng với Sn = 319 200, u1 = 35 000, d = 1 400, ta có 319 200 = Sn = [2 . 35 000 + (n – 1) .1 400] ⇔ n(68 600 + 1 400n) = 638 400 ⇔ 1 400n2 + 68 600n – 638 400 = 0 Suy ra n = 8 hoặc n = – 57 (loại). Do đó n = 8. Vậy sau 8 năm làm việc thì tổng lương mà anh Nam nhận được là 319 200 đô la.
Xem thêm
Xem tất cả hỏi đáp với chuyên mục: Cấp số cộng (sbt)
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!