Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị
Bài 31 trang 21 SBT Toán 11 Tập 1: Tập xác định của hàm số là:
A. ∅.
B. ℝ.
C. [– 1; + ∞).
D.
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Biểu thức có nghĩa khi 1 + cos 2x ≥ 0.
Mà cos 2x ∈ [– 1; 1] nên 1 + cos 2x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Do đó, hàm số xác định với mọi x ∈ ℝ.
Bài 32 trang 21 SBT Toán 11 Tập 1: Tập xác định của hàm số là:
A. ℝ.
B. ∅.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Biểu thức có nghĩa khi
Do cos x ∈ [– 1; 1] nên 1 – cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Và sin x ∈ [– 1; 1] nên 1 + sin x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Do đó để thì 1 + sin x ≠ 0 hay sin x ≠ – 1, khi đó .
Vậy tập xác định của hàm số là
Bài 33 trang 22 SBT Toán 11 Tập 1: Tập xác định của hàm số là:
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Biểu thức có nghĩa khi cos x ≠ 0 hay .
Vậy tập xác định của hàm số là D =
Bài 34 trang 22 SBT Toán 11 Tập 1: Tập xác định của hàm số là:
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Hàm số xác định khi tan x và cot x xác định (do 1 + cot2 x > 0 với mọi x khi cot x xác định).
Mà tan x xác định khi , cot x xác định khi x ≠ kπ, k ∈ ℤ.
Do đó hàm số xác định khi .
Vậy tập xác định của hàm số là
Bài 35 trang 22 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A. y = – 2cos x.
B. y = – 2sin x.
C. y = tan x – cos x.
D. y = – 2 sin x + 2.
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Xét hàm số y = – 2sin x, ta có:
+ Tập xác định: D = ℝ.
+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = – 2sin(– x) = – 2 . (– sin x) = 2 sin x = – f(x).
Do đó, hàm số y = – 2sin x là hàm số lẻ.
Bài 36 trang 22 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y = cos x + 5.
B. y = tan x + cot x.
C. y = sin(– x).
D. y = sin x – cos x.
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Xét hàm số y = cos x + 5, ta có:
+ Tập xác định: D = ℝ.
+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = cos(– x) + 5 = cos x + 5 = f(x).
Do đó, hàm số y = cos x + 5 là hàm số chẵn.
Bài 37 trang 22 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng:
A. (0; π).
B. (π; 2π).
C. .
D. (– π; 0).
Lời giải:
Đáp án đúng là: A
Hàm số y = cos x nghịch biến trên mỗi khoảng (k2π; π + k2π).
Do đó hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (0; π).
Bài 38 trang 22 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số nào trong các hàm số sau đồng biến trên khoảng ?
A. y = sin x.
B. y = cos x.
C. y = tan x.
D. y = cot x.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: .
Do hàm số y = tan x đồng biến trên khoảng nên hàm số đó cũng đồng biến trên khoảng .
Bài 39 trang 22 SBT Toán 11 Tập 1: Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng:
A. .
B. .
C. (10π; 11π).
D. (9π; 10π).
Lời giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: .
Do hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nên hàm số đó cũng đồng biến trên khoảng .
Bài 40 trang 22 SBT Toán 11 Tập 1: Số giá trị α ∈ [− π; 2π] sao cho là:
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Xét đồ thị hàm số y = cos x trên [− π; 2π] và đường thẳng y = .
Ta thấy đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số y = cos x trên [− π; 2π] tại 3 điểm.
Khi đó có 3 giá trị của x ∈ [− π; 2π] để hay có 3 giá trị của α ∈ [− π; 2π] để .
Bài 41 trang 22 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số:
a) ;
b) ;
c) .
d) ;
e) ;
g) .
Lời giải:
a) Vì sin 3x ∈ [− 1; 1] nên 1 + sin 3x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Do đó biểu thức có nghĩa với mọi x ∈ ℝ.
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.
b) Vì cos x ∈ [− 1; 1] nên 1 – cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Nên biểu thức có nghĩa khi 1 – cos x ≠ 0 hay cos x ≠ 1, tức là x ≠ k2π, k ∈ ℤ.
Vậy tập xác định của hàm số là
c) Biểu thức có nghĩa khi
Mà cos 2x ∈ [− 1; 1] nên 1 + cos 2x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Và sin x ≠ 0 khi .
Vậy tập xác định của hàm số là
d) Biểu thức có nghĩa khi sin x + cos x ≠ 0
⇔ sin x ≠ – cos x ⇔ tan x ≠ – 1.
Mà tan x ≠ – 1 khi .
Vậy tập xác định của hàm số là
e) Ta có: 1 + sin x cos x = .
Vì – 1 ≤ sin 2x ≤ 1 nên với mọi x ∈ ℝ.
Do đó 1 + sin x cos x > 0 với mọi x ∈ ℝ.
Khi đó biểu thức có nghĩa với mọi x ∈ ℝ.
Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ.
g) Biểu thức có nghĩa khi cos x – 1 ≥ 0 hay cos x ≥ 1.
Mà cos x ∈ [− 1; 1] với mọi x ∈ ℝ.
Do đó, biểu thức có nghĩa khi cos x = 1, tức là x = k2π, k ∈ ℤ.
Vậy tập xác định của hàm số là D = {k2π| k ∈ ℤ}.
Bài 42 trang 23 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số:
a) y = sin 2x;
b) y = |sin x|;
c) y = tan2 x;
d) ;
e) y = tan x + cot x;
g) y = sin x . cos 3x.
Lời giải:
a) Hàm số y = sin 2x có:
+ Tập xác định: D = ℝ.
+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = sin(– 2x) = – sin 2x = – f(x).
Do đó, hàm số y = sin 2x là hàm số lẻ.
b) Hàm số y = |sin x| có:
+ Tập xác định: D = ℝ.
+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = |sin(– x)| = |– sin x| = |sin x| = f(x).
Do đó, hàm số y = |sin x| là hàm số chẵn.
c) Hàm số y = tan2 x có:
+ Tập xác định:
+ Với x ∈ D thì – x ∈ D và f(– x) = tan2 (– x) = (– tan x)2 = tan2 x = f(x).
Do đó, hàm số y = tan2 x là hàm số chẵn.
d) Vì cos x ∈ [− 1; 1] nên 1 – cos x ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ.
Hàm số có:
+ Tập xác định: D = ℝ.
+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và .
Do đó, hàm số là hàm số chẵn.
e) Hàm số y = tan x + cot x có:
+ Tập xác định:
+ Với x ∈ D thì – x ∈ D và f(– x) = tan(– x) + cot(– x) = – tan x – cot x = – (tan x + cot x) = – f(x).
Do đó, hàm số y = tan x + cot x là hàm số lẻ.
g) Hàm số y = sin x . cos 3x có:
+ Tập xác định: D = ℝ.
+ Với x ∈ ℝ thì – x ∈ ℝ và f(– x) = sin(– x) . cos(– 3x) = – sin x . cos 3x = – f(x).
Do đó, hàm số y = sin x . cos 3x là hàm số lẻ.
Bài 43 trang 23 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a) y = 3sin x + 5;
b) ;
c) y = 4 – 2sin x cos x;
d) .
Lời giải:
a) y = 3sin x + 5
Tập xác định của hàm số là ℝ.
Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin x ≤ 1. Do đó, 2 ≤ 3sin x + 5 ≤ 8.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 khi sin x = 1 hay ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi sin x = − 1 hay .
b)
Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ cos 2x ≤ 1 nên 0 ≤ 1 + cos 2x ≤ 2. (*)
Do đó, tập xác định của hàm số là ℝ.
Từ (*) suy ra ∀x ∈ ℝ. Do đó ∀x ∈ ℝ.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng khi cos 2x = 1 hay x = kπ (k ∈ ℤ); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi cos 2x = − 1 hay .
c) Ta có: y = 4 – 2sin x cos x = 4 – sin 2x.
Tập xác định của hàm số là ℝ.
Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin 2x ≤ 1. Do đó, 3 ≤ 4 – sin 2x ≤ 5.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi sin 2x = − 1 hay ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi sin 2x = 1 hay .
d)
Tập xác định của hàm số là ℝ.
Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin x ≤ 1. Do đó, 3 ≤ 4 – sin x ≤ 5. Suy ra .
Khi đó ∀x ∈ ℝ.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng khi sin x = 1 hay ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng khi sin x = − 1 hay .
Bài 44 trang 23 SBT Toán 11 Tập 1: Xét sự biến thiên của mỗi hàm số sau trên các khoảng tương ứng:
a) y = sin x trên khoảng ;
b) y = cosx trên khoảng (19π; 20π), (– 30π; – 29π).
Lời giải:
a)
+ Ta có: .
Do hàm số y = sin x nghịch biến trên khoảng nên hàm số đó cũng nghịch biến trên khoảng .
+ Ta có: .
Do hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nên hàm số đó cũng đồng biến trên khoảng .
b)
+ Ta có: (19π; 20π) = (– π + 20π; 0 + 20π).
Do hàm số y = cos x đồng biến trên khoảng (– π; 0) nên hàm số đó cũng đồng biến trên khoảng (19π; 20π).
+ Ta có: (– 30π; – 29π) = (0 – 30π; π – 30π).
Do hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng (0; π) nên hàm số đó cũng nghịch biến trên khoảng (– 30π; – 29π).
Bài 45 trang 23 SBT Toán 11 Tập 1: Từ đồ thị hàm số y = cos x, cho biết:
a) Có bao nhiêu giá trị của x trên đoạn [ – 5π; 0] để cos x = 1;
b) Có bao nhiêu giá trị của x trên khoảng để cos x = 0.
Lời giải:
Xét đồ thị hàm số y = cos x:
a) Trên đoạn [ – 5π; 0], hàm số y = cos x nhận giá trị bằng 1 với x ∈ {– 4π; – 2π; 0}.
Vậy có 3 giá trị của x trên đoạn [ – 5π; 0] để cos x = 1.
b) Trên khoảng , hàm số y = cos x nhận giá trị bằng 0 với
Vậy có 2 giá trị của x trên khoảng để cos x = 0.
Bài 46 trang 23 SBT Toán 11 Tập 1: Từ đồ thị hàm số y = sin x, tìm:
a) Các giá trị của x để sin x = ;
b) Các khoảng giá trị của x để hàm số y = sin x nhận giá trị dương.
Lời giải:
a) Xét đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = .
Giá trị của x để sin x = là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = sin x và đường thẳng y = .
Dựa vào đồ thị, ta có sin x = khi và với k ∈ ℤ.
b) Xét đồ thị hàm số y = sin x:
Hàm số y = sin x nhận giá trị dương tương ứng với phần đồ thị hàm số đó nằm phía trên trục hoành. Dựa vào đồ thị ở hình vẽ trên, ta suy ra hàm số y = sin x nhận giá trị dương khi x ∈ (k2π; π + k2π) với k ∈ ℤ.
với t là thời gian quay của vòng quay tính bằng phút (t ≥ 0) (Hình 12).
a) Tính chu kì của hàm số h(t)?
b) Khi t = 0 (phút) thì khoảng cách từ cabin đến mặt đất bằng bao nhiêu?
c) Khi quay một vòng lần thứ nhất tính từ thời điểm t = 0 (phút), tại thời điểm nào của t thì cabin ở vị trí cao nhất? Ở vị trí đạt được chiều cao là 86 m?
Lời giải:
a) Vì vòng quay trò chơi quay mỗi vòng hết 15 phút nên chu kì của hàm số h(t) bằng 15 phút.
b) Khi t = 0 thì (m).
Vậy khi đó khoảng cách từ cabin đến mặt đất bằng 0,5 m.
c)
+ Khi quay một vòng, cabin ở vị trí cao nhất khi h(t) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có
Với mọi t ≥ 0 thì , do đó h(t) đạt giá trị lớn nhất khi hay t = 7,5 (phút).
Vậy khi quay một vòng lần thứ nhất tính từ thời điểm t = 0 (phút), tại thời điểm t = 7,5 phút thì cabin ở vị trí cao nhất.
+ Ta có cabin đạt được chiều cao là 86 m khi h(t) = 86 hay , tức là hay t = 5 (phút).
Vậy cabin đạt được chiều cao là 86 m lần đầu tiên khi t = 5 (phút).
Xem thêm lời giải bài tập SBT Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác