Một vòng quay trò chơi có bán kính 57 m, trục quay cách mặt đất 57,5 m, quay đều mỗi vòng

Bài 47 trang 23 SBT Toán 11 Tập 1: Một vòng quay trò chơi có bán kính 57 m, trục quay cách mặt đất 57,5 m, quay đều mỗi vòng hết 15 phút. Khi vòng quay quay đều, khoảng cách h (m) từ một cabin gắn tại điểm A của vòng quay đến mặt đất được tính bởi công thức:

$h\left(t\right)=57\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+\mathrm{57,5}$

với t là thời gian quay của vòng quay tính bằng phút (t ≥ 0) (Hình 12).

a) Tính chu kì của hàm số h(t)?

b) Khi t = 0 (phút) thì khoảng cách từ cabin đến mặt đất bằng bao nhiêu?

c) Khi quay một vòng lần thứ nhất tính từ thời điểm t = 0 (phút), tại thời điểm nào của t thì cabin ở vị trí cao nhất? Ở vị trí đạt được chiều cao là 86 m?

Trả lời

a) Vì vòng quay trò chơi quay mỗi vòng hết 15 phút nên chu kì của hàm số h(t) bằng 15 phút.

b) Khi t = 0 thì $h\left(0\right)=57\sin \left(\frac{2\pi }{15}.0-\frac{\pi }{2}\right)+\mathrm{57,5}=57\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)+\mathrm{57,5}=\mathrm{0,5}$  (m).

Vậy khi đó khoảng cách từ cabin đến mặt đất bằng 0,5 m.

c)

+ Khi quay một vòng, cabin ở vị trí cao nhất khi h(t) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có $h\left(t\right)=57\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+\mathrm{57,5}$

Với mọi t ≥ 0 thì $-1\le \sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)\le 1$ , do đó h(t) đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)=1$  hay t = 7,5 (phút).

Vậy khi quay một vòng lần thứ nhất tính từ thời điểm t = 0 (phút), tại thời điểm t = 7,5 phút thì cabin ở vị trí cao nhất.

+ Ta có cabin đạt được chiều cao là 86 m khi h(t) = 86 hay $57\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)+\mathrm{57,5}=86$ , tức là $\sin \left(\frac{2\pi }{15}t-\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{2}$  hay t = 5 (phút).

Vậy cabin đạt được chiều cao là 86 m lần đầu tiên khi t = 5 (phút).