Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) y = 3sin x + 5

Bài 43 trang 23 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

a) y = 3sin x + 5; 

b) $y=\sqrt{1+\cos 2x}+3$ ;

c) y = 4 – 2sin x cos x;

d) $y=\frac{1}{4-\sin x}$ .  

Trả lời

a) y = 3sin x + 5

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin x ≤ 1. Do đó, 2 ≤ 3sin x + 5 ≤ 8.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 8 khi sin x = 1 hay $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2 khi sin x = − 1 hay $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

b) $y=\sqrt{1+\cos 2x}+3$

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ cos 2x ≤ 1 nên 0 ≤ 1 + cos 2x ≤ 2. (*)

Do đó, tập xác định của hàm số là ℝ.

Từ (*) suy ra $0\le \sqrt{1+\cos 2x}\le \sqrt{2}$  ∀x ∈ ℝ. Do đó $3\le \sqrt{1+\cos 2x}+3\le 3+\sqrt{2}$  ∀x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng $3+\sqrt{2}$  khi cos 2x = 1 hay x = kπ (k ∈ ℤ); giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi cos 2x = − 1 hay $x=\frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

c) Ta có: y = 4 – 2sin x cos x = 4 – sin 2x.

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin 2x ≤ 1. Do đó, 3 ≤ 4 – sin 2x ≤ 5.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 5 khi sin 2x = − 1 hay $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 khi sin 2x = 1 hay $x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

d) $y=\frac{1}{4-\sin x}$

Tập xác định của hàm số là ℝ.

Ta có: ∀x ∈ ℝ, thì – 1 ≤ sin x ≤ 1. Do đó, 3 ≤ 4 – sin x ≤ 5. Suy ra $\frac{1}{3}\ge \frac{1}{4-\sin x}\ge \frac{1}{5}$ .

Khi đó $\frac{1}{5}\le y\le \frac{1}{3}$  ∀x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{1}{3}$  khi sin x = 1 hay $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ ; giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{1}{5}$  khi sin x = − 1 hay $x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .