Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau: a) y = A sin(ωx + φ) với A > 0

Bài 1.19 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) y = A sin(ωx + φ) với A > 0;

b) y = A tan(ωx + φ) với A > 0;

c) y = 3 sin 2x + 3cos 2x; 

d) $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ .

Trả lời

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Nếu kí hiệu f(x) = A sin(ωx + φ) thì với mọi x ∈ D, ta có

 $x+\frac{2\pi }{\omega }\in D,x-\frac{2\pi }{\omega }\in D$và

$f\left(x+\frac{2\pi }{\omega }\right)=A\sin \left(\omega \left(x+\frac{2\pi }{\omega }\right)+\phi \right)$= A sin(ωx + 2π + φ) = A sin(ωx + φ) = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là $\frac{2\pi }{\omega }$ .

b) Nếu kí hiệu D là tập xác định của hàm số f(x) = A tan(ωx + φ) thì với mọi x ∈ D, ta có:

$x+\frac{\pi }{\omega }\in D,x-\frac{\pi }{\omega }\in D$ và

$f\left(x+\frac{\pi }{\omega }\right)=A\tan \left(\omega \left(x+\frac{\pi }{\omega }\right)+\phi \right)$= A tan(ωx + π + φ) = A tan(ωx + φ) = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là $\frac{\pi }{\omega }$ .

c) Ta có 3sin 2x + 3cos 2x = 3(sin 2x + cos 2x) = $3\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ .

Theo câu a, ta suy ra hàm số y = 3sin 2x + 3cos 2x là hàm số tuần hoàn chu kì $\frac{2\pi }{2}=\pi$ .

d) Ta có $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$

$=3.2\sin \frac{\left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)}{2}\cos \frac{\left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)}{2}$

$=3\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{12}\right)$.

Vậy theo câu a, hàm số $y=3\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)+3\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$  là hàm số tuần hoàn chu kì $\frac{2\pi }{2}=\pi$ .