Giải SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 3: Hàm số lượng giác

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 3. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 11 Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài 1.16 trang 17 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) y = cot 3x;

b) y=1cos4x ;

c) y=cos2xsin2xcos2x ;

d) y=1+cos2x1sin2x .

Lời giải:

a) Biểu thức cot 3x có nghĩa khi sin 3x ≠ 0 hay 3xkπ,k  hay xkπ3,k .

Vậy tập xác định của hàm số là Tìm tập xác định của các hàm số sau trang 17 SBT Toán 11 .

b) Biểu thức 1cos4x có nghĩa với mọi x vì cos 4x ≤ 1 với mọi x hay 1 – cos 4x ≥ 0 với mọi x.

Vậy tập xác định của hàm số là ℝ.

c) Biểu thức cos2xsin2xcos2x=cos2xcos2xsin2x=cos2xcos2x  có nghĩa khi

cos 2x ≠ 0 hay 2xπ2+kπ,  k , tức là xπ4+kπ2,  k .

Vậy tập xác định của hàm số là Tìm tập xác định của các hàm số sau trang 17 SBT Toán 11 .

d) Ta có cos 2x ≥ – 1 nên 1 + cos 2x ≥ 0 với mọi x.

sin 2x ≤ 1 nên 1 – sin 2x ≥ 0 với mọi x.

Do đó, biểu thức 1+cos2x1sin2x  có nghĩa khi sin 2x ≠ 1 hay  2xπ2+k2π,k, tức là xπ4+kπ,k .

Vậy tập xác định của hàm số là Tìm tập xác định của các hàm số sau trang 17 SBT Toán 11 .

Bài 1.17 trang 17 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2 + 3|cosx|;

b) y = 2sinx  + 1;

c) y = 3 cos2 x + 4 cos2x;

d) y = sin x + cos x.

Lời giải:

a) Vì 0 ≤ |cos x| ≤ 1 nên 0 ≤ 3|cos x| ≤ 3, do đó 2 ≤ 2 + 3|cos x| ≤ 5 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi

|cos x| = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi

cos x = 0 ⇔ x = π2  + kπ (k ∈ ℤ).

b) Điều kiện sin x ≥ 0. Vì 0 ≤ sinx  ≤ 1 nên 0 ≤ 2 sinx ≤ 2,

do đó 1 ≤ 2 sinx + 1 ≤ 3 với mọi x thoả mãn 0 ≤ sin x ≤ 1.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi sin x = 1 hay x=π2+k2π  k .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sin x = 0 hay x = kπ (k ∈ ℤ).

c) Ta có y = 3 cos2 x + 4 cos2x =3.1+cos2x2+4cos2x=32+112cos2x .

Vì – 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên 112112cos2x112 ,

do đó 4=3211232+112cos2x32+112=7  với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi

cos 2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 4, đạt được khi

cos 2x = – 1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = π2  + kπ (k ∈ ℤ).

d) Ta có y = sin x + cos x = 2sinx+π4 .

Vì 1sinx+π41  nên 22sinx+π42 , với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 , đạt được khi  sinx+π4=1

x+π4=π2+k2π   k hay x=π4+k2π  k .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 , đạt được khi  sinx+π4=1

x+π4=π2+k2π   k hay x=3π4+k2π  k .

Bài 1.18 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y=cos2xx3 ;

b) y = x – sin 3x;

c) y=1+cosx ;

d) y=1+cosxsin3π22x .

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {0}. Nếu kí hiệu f(x) = cos2xx3  thì với mọi x ∈ D, ta có – x ∈ D và f(– x) = cos2xx2=cos2xx3=cos2xx3=fx .

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b) Tập xác định của hàm số là D = ℝ. Nếu kí hiệu f(x) = x – sin 3x thì với mọi x ∈ D, ta có – x ∈ D và f(– x) = (– x) – sin 3(– x) = – x + sin 3x = – (x – sin 3x) = – f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. 

c) Tập xác định của hàm số là D = ℝ. Nếu kí hiệu f(x) = 1+cosx  thì với mọi x ∈ D, ta có – x ∈ D và f(– x) = 1+cosx=1+cosx=fx .

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

d) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Ta có y=1+cosxsin3π22x

=1+cosxsin3π2cos2xcos3π2sin2x

=1cosxcos2x.

Nếu kí hiệu f(x) = 1 – cos x cos 2x  thì với mọi x ∈ D, ta có – x ∈ D và

f(– x) = 1 – cos (– x) cos (– 2x) = 1 – cos x cos 2x = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn.

Bài 1.19 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tuần hoàn của các hàm số sau:

a) y = A sin(ωx + φ) với A > 0;

b) y = A tan(ωx + φ) với A > 0;

c) y = 3 sin 2x + 3cos 2x; 

d) y=3sin2x+π6+3sin2xπ3 .

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Nếu kí hiệu f(x) = A sin(ωx + φ) thì với mọi x ∈ D, ta có

 x+2πωD,  x2πωD

fx+2πω=Asinωx+2πω+φ= A sin(ωx + 2π + φ) = A sin(ωx + φ) = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là 2πω .

b) Nếu kí hiệu D là tập xác định của hàm số f(x) = A tan(ωx + φ) thì với mọi x ∈ D, ta có:

x+πωD,  xπωD và

fx+πω=Atanωx+πω+φ= A tan(ωx + π + φ) = A tan(ωx + φ) = f(x).

Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn, chu kì của hàm số này là πω .

c) Ta có 3sin 2x + 3cos 2x = 3(sin 2x + cos 2x) = 32sin2x+π4 .

Theo câu a, ta suy ra hàm số y = 3sin 2x + 3cos 2x là hàm số tuần hoàn chu kì 2π2=π .

d) Ta có y=3sin2x+π6+3sin2xπ3

=3.2sin2x+π6+2xπ32cos2x+π62xπ32

=32sin2xπ12.

Vậy theo câu a, hàm số y=3sin2x+π6+3sin2xπ3  là hàm số tuần hoàn chu kì 2π2=π .

Bài 1.20 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng?

a) tan x cot x = 1;

b) 1 + tan2 x = 1cos2x ;

c) 1 + cot2 x = 1sin2x ;

d) tan x + cot x = 2sin2x .

Lời giải:

a) Đẳng thức tan x cot x = 1 đúng với mọi x khi tan x và cot x có nghĩa, tức là

Với giá trị nào của x mỗi đẳng thức sau đúng? ⇔ 2sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ (k ∈ ℤ) xkπ2  k .

b) Đẳng thức 1 + tan2 x = 1cos2x  đúng với mọi x khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ π2  + kπ (k ∈ ℤ).

c) Đẳng thức 1 + cot2 x = 1sin2x  đúng với mọi x khi sinx ≠ 0, tức là x ≠ kπ (k ∈ ℤ). 

d) Đẳng thức tan x + cot x = 2sin2x  đúng với mọi x khi

Với giá trị nào của x mỗi đẳng thức sau đúng? ⇔ 2sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ (k ∈ ℤ) 

xkπ2  k .

Bài 1.21 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Từ đồ thị hàm số y = cos x, hãy vẽ các đồ thị hàm số sau:

a) y = – cos x;

b) y = |cos x|;

c) y = cos x + 1;

d) y=cosx+π2 .

Lời giải:

a) Lấy đối xứng đồ thị hàm số y = cos x qua trục hoành ta được đồ thị hàm số y = – cos x.

 Từ đồ thị hàm số y = cos x hãy vẽ các đồ thị hàm số sau

Trong hình trên, đồ thị hàm số y = cos x là đường nét đứt còn đồ thị hàm số y = – cos x là đường nét liền.

b) Ta có Từ đồ thị hàm số y = cos x hãy vẽ các đồ thị hàm số sau

Từ đó, để vẽ đồ thị hàm số y = |cos x| đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y = cos x, sau đó giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = cos x ở phía trên trục Ox và lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị hàm số y = cos x ở phía dưới trục Ox.

Trong hình dưới đây, đồ thị hàm số y = |cos x| là đường nét liền.

 Từ đồ thị hàm số y = cos x hãy vẽ các đồ thị hàm số sau

c) Để vẽ đồ thị hàm số y = cos x + 1, đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y = cos x, sau đó dịch chuyển đồ thị này dọc theo trục Oy lên phía trên 1 đơn vị, ta được đồ thị hàm số y = cosx + 1. Trong hình dưới đây, đồ thị hàm số y = cos x + 1 là đường nét liền.

 Từ đồ thị hàm số y = cos x hãy vẽ các đồ thị hàm số sau

d) Để vẽ đồ thị hàm số y=cosx+π2  đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số y = cos x, sau đó dịch chuyển đồ thị này dọc theo trục Ox sang bên trái π2  đơn vị ta sẽ được đồ thị hàm số y=cosx+π2 . Trong hình vẽ dưới đây đồ thị hàm số y=cosx+π2  là đường nét liền.

 Từ đồ thị hàm số y = cos x hãy vẽ các đồ thị hàm số sau

Chú ý rằng cosx+π2=sinx  nên đồ thị hàm số y=cosx+π2  cũng có thể có được bằng cách lấy đối xứng đồ thị hàm số y = sin x qua trục Ox.

Bài 1.22 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Từ đồ thị hàm số y = sin x, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn Từ đồ thị hàm số y = sin x hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [-3π/2 ; 5π/2 ]  sao cho  sao cho:

a) sin x = 0;                                       b) sin x > 0. 

Lời giải:

 Từ đồ thị hàm số y = sin x hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [-3π/2 ; 5π/2 ]  sao cho

a) Trên đoạn Từ đồ thị hàm số y = sin x hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [-3π/2 ; 5π/2 ]  sao cho, đồ thị hàm số y = sinx cắt trục Ox tại bốn điểm x = − π, x = 0, x = π và x = 2π. Suy ra có bốn giá trị của x để sin x = 0 trên đoạn Từ đồ thị hàm số y = sin x hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [-3π/2 ; 5π/2 ]  sao cho  là x = − π, x = 0, x = π và x = 2π.

b) Giải bất phương trình sinx > 0 là tìm những khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = sinx nằm phía trên trục Ox. Từ đó, ta được tập nghiệm của bất phương trình sinx > 0 trên đoạn Từ đồ thị hàm số y = sin x hãy xác định các giá trị của x trên đoạn [-3π/2 ; 5π/2 ]  sao cho  là S=3π2;π0;  π2π;  5π2 .

Bài 1.23 trang 18 SBT Toán 11 Tập 1: Một con lắc lò xo dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng theo phương trình y = 25 sin 4πt ở đó y được tính bằng centimét còn thời gian t được tính bằng giây.

a) Tìm chu kì dao động của con lắc lò xo.

b) Tìm tần số dao động của con lắc, tức là số lần dao động trong một giây.

c) Tìm khoảng cách giữa điểm cao nhất và thấp nhất của con lắc.

 Một con lắc lò xo dao động điều hoà quanh vị trí cân bằng theo phương trình y = 25 sin 4πt

Lời giải:

a) Hàm số y = 25 sin 4πt tuần hoàn với chu kì T = 2π4π=12 .

Suy ra chu kì dao động của con lắc lò xo (tức là khoảng thời gian để con lắc thực hiện được một dao động toàn phần) là T = 12  giây.

b) Vì chu kì dao động của con lắc là T = 12  giây nên trong 1 giây con lắc thực hiện được 2 dao động, tức là tần số dao động của con lắc là f=1T = 2 Hz.

c) Vì phương trình dao động của con lắc là y = 25 sin 4πt nên biên độ dao động của nó là A = 25 cm. Từ đó suy ra, khoảng cách giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của con lắc là 2A = 50 cm.

Bài 1.24 trang 19 SBT Toán 11 Tập 1: Hằng ngày, Mặt Trời chiếu sáng, bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất, độ dài bóng của toà nhà này được tính bằng công thức

 Hằng ngày Mặt Trời chiếu sáng bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất

ở đó S được tính bằng mét, còn t là số giờ tính từ 6 giờ sáng.

a) Tìm độ dài bóng của toà nhà tại các thời điểm 8 giờ sáng, 12 giờ trưa, 2 giờ chiều và 5 giờ 45 phút chiều.

b) Tại thời điểm nào thì độ dài bóng của toà nhà bằng chiều cao toà nhà?

c) Bóng toà nhà sẽ như thế nào khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối?

Lời giải:

a) - Tại thời điểm 8 giờ sáng ta có t = 8 – 6 = 2. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 8 giờ sáng là

 Hằng ngày Mặt Trời chiếu sáng bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất

- Tại thời điểm 12 giờ trưa ta có t = 12 – 6 = 6. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 12 giờ trưa là 

 Hằng ngày Mặt Trời chiếu sáng bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất

Tại thời điểm 12 giờ trưa, Mặt Trời chiếu thẳng đứng từ trên đầu xuống nên toàn bộ toà nhà được chiếu xuống móng của toà nhà.

- Tại thời điểm 2 giờ chiều ta có t = 14 – 6 = 8. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là

 Hằng ngày Mặt Trời chiếu sáng bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất

- Tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối, ta có t = 17+346=394. Vậy độ dài bóng của toà nhà tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối là 

 Hằng ngày Mặt Trời chiếu sáng bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất

b) Độ dài bóng của toà nhà bằng chiều cao tòa nhà khi

S(t) = 40 Hằng ngày Mặt Trời chiếu sáng bóng của một toà chung cư cao 40 m in trên mặt đất

π12t=±π4+kπ   k⇔ t = ±3 + 12k (k ∈ ℤ).

Vì 0 ≤ t ≤ 12 nên t = 3 hoặc t = 9, tức là tại thời điểm 9 giờ sáng hoặc 3 giờ chiều thì bóng của toà nhà dài bằng chiều cao của toà nhà.

c) Khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối thì t → 12, vì vậy π12tπ, do đó cosπ12t.

Như vậy, bóng của toà nhà sẽ tiến ra vô cùng.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Bài 5: Dãy số

 
Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!