Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = 2 + 3|cosx|

Bài 1.17 trang 17 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2 + 3|cosx|;

b) y = $2\sqrt{\sin x}$  + 1;

c) y = 3 cos² x + 4 cos2x;

d) y = sin x + cos x.

Trả lời

a) Vì 0 ≤ |cos x| ≤ 1 nên 0 ≤ 3|cos x| ≤ 3, do đó 2 ≤ 2 + 3|cos x| ≤ 5 với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi

|cos x| = 1 ⇔ sin x = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi

cos x = 0 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$  + kπ (k ∈ ℤ).

b) Điều kiện sin x ≥ 0. Vì 0 ≤ $\sqrt{\sin x}$  ≤ 1 nên 0 ≤ 2 $\sqrt{\sin x}$ ≤ 2,

do đó 1 ≤ 2 $\sqrt{\sin x}$ + 1 ≤ 3 với mọi x thoả mãn 0 ≤ sin x ≤ 1.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 3, đạt được khi sin x = 1 hay $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sin x = 0 hay x = kπ (k ∈ ℤ).

c) Ta có y = 3 cos² x + 4 cos2x $=3.\frac{1+\cos 2x}{2}+4\cos 2x$$=\frac{3}{2}+\frac{11}{2}\cos 2x$ .

Vì – 1 ≤ cos2x ≤ 1 nên $-\frac{11}{2}\le \frac{11}{2}\cos 2x\le \frac{11}{2}$ ,

do đó $-4=\frac{3}{2}-\frac{11}{2}\le \frac{3}{2}+\frac{11}{2}\cos 2x\le \frac{3}{2}+\frac{11}{2}=7$  với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7, đạt được khi

cos 2x = 1 ⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 4, đạt được khi

cos 2x = – 1 ⇔ 2x = π + k2π ⇔ x = $\frac{\pi }{2}$  + kπ (k ∈ ℤ).

d) Ta có y = sin x + cos x = $\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ .

Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$  nên $-\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}$ , với mọi x ∈ ℝ.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$ , đạt được khi  $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$

$\iff x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ hay $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $-\sqrt{2}$ , đạt được khi  $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1$

$\iff x+\frac{\pi }{4}=-\frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ hay $x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$ .