Giải SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 4. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1.25 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) 2sinx3+15°+2=0 ;

b) cos2x+π5=1 ;

c) 3tan 2x + 3  = 0;

d) cot (2x – 3) = cot 15°.

Lời giải:

a) 2sinx3+15°+2=0

sinx3+15°=22

sinx3+15°=sin45°

 Giải các phương trình sau trang 24 SBT Toán 11

 Giải các phương trình sau trang 24 SBT Toán 11

b) cos2x+π5=1

2x+π5=π+k2π  k

x=2π5+kπ  k.

c) 3tan 2x + 3  = 0

tan2x=33

tan2x=tanπ6

2x=π6+kπ   k

x=π12+kπ2  k.

d) cot (2x – 3) = cot 15°

⇔ 2x – 3 = 15° + k180°  (k ℤ)

⇔ 2x = 3 + 15° + k180°  (k ℤ)

⇔ x = 1,5 + 7,5° + k90°  (k ℤ).

Bài 1.26 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sin(2x + 15°) + cos(2x – 15°) = 0;

b) cos2x+π5+cos3xπ6=0 ;

c) tan x + cot x = 0;

d) sin x + tan x = 0.

Lời giải:

a) Ta có sin(2x + 15°) + cos(2x – 15°) = 0

⇔ sin(2x + 15°) = – cos(2x – 15°)

⇔ sin(2x + 15°) = – sin[90° – (2x – 15°)]

⇔ sin(2x + 15°) = sin[– 90° + (2x – 15°)]

⇔ sin(2x + 15°) = sin(2x – 105°)

 Giải các phương trình sau trang 24 SBT Toán 11

Không xảy ra trường hợp 120° = k360°.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 67,5° + k90° (k ∈ ℤ). 

b)cos2x+π5+cos3xπ6=0

 Giải các phương trình sau trang 24 SBT Toán 11

cos2x+π5=cos7π63x

 Giải các phương trình sau trang 24 SBT Toán 11

 Giải các phương trình sau trang 24 SBT Toán 11

c) Ta có tan x + cot x = 0

⇔ tan x = – cot x

⇔ tan x = cot(π – x)

 Giải các phương trình sau trang 24 SBT Toán 11

tanx=tanxπ2

x=xπ2+kπ   k

π2kπ=0  k. Vô lí.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

d) Điều kiện cos x ≠ 0 .

Ta có sin x + tan x = 0

sinx+sinxcosx=0

sinx1+1cosx=0

 Giải các phương trình sau trang 24 SBT Toán 11

⇔ sin x = 0  (do sin2 x + cos2 x = 1)

⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

Vì x = kπ (k ∈ ℤ) thoả mãn điều kiện cos x ≠ 0 nên nghiệm của phương trình đã cho là

x = kπ (k ∈ ℤ).

Bài 1.27 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) (2 + cos x)(3cos 2x – 1) = 0;

b) 2sin 2x – sin 4x = 0;

c) cos6 x – sin6 x = 0;

d) tan 2x cot x = 1. 

Lời giải:

a) Ta có (2 + cos x)(3cos 2x – 1) = 0

 Giải các phương trình sau trang 24 SBT Toán 11

+ Phương trình 2 + cos x = 0 vô nghiệm vì – 1 ≤ cos x ≤ 1.

+ Gọi α là góc thoả mãn cos α = 13 . Ta có

3cos 2x – 1 = 0 ⇔ cos 2x = cos α ⇔ 2x = ± α + k2π (k ∈ ℤ) ⇔ x = ±α2  + kπ (k ∈ ℤ).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = ±α2  + kπ (k ∈ ℤ) với cos α = 13 .

b) Ta có 2sin 2x – sin 4x = 0

⇔ 2sin 2x – 2sin 2x cos 2x = 0

⇔ 2sin 2x(1 – cos2x) = 0

 Giải các phương trình sau trang 24 SBT Toán 11

Do sin2 2x + cos2 2x = 1 nên cos 2x = 1 kéo theo sin 2x = 0, do đó phương trình đã cho tương đương với

sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ (k ∈ ℤ) x=kπ2  k .

c) Ta có cos6 x – sin6 x = 0

⇔ cos6 x = sin6 x

⇔ (cos2 x)3 = (sin2 x)3

⇔ cos2 x = sin2 x

⇔ cos2 x – sin2 x = 0

⇔ cos 2x = 0

Từ đó ta được 2x = π2  + kπ (k ∈ ℤ) hay x=π4+kπ2  k .

d) Điều kiện sin x ≠ 0 và cos 2x ≠ 0.

Ta có tan 2x cot x = 1

tan2x=1cotx

⇔ tan 2x = tan x

⇔ 2x = x + kπ   (k ∈ ℤ)

⇔ x = kπ   (k ∈ ℤ).

Ta thấy x = kπ (k ∈ ℤ) không thoả mãn điều kiện sin x ≠ 0.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 1.28 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm các giá trị của x để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau:

a) y=cos2xπ3  và y=cosxπ4 ;

b)  y=sin3xπ4và y=sinxπ6 .

Lời giải:

a) Giá trị tương ứng của hai hàm số y=cos2xπ3  và y=cosxπ4  bằng nhau nếu cos2xπ3=cosxπ4

 Tìm các giá trị của x để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau

b) Giá trị tương ứng của hai hàm số y=sin3xπ4  và y=sinxπ6  bằng nhau nếu sin3xπ4=sinxπ6

 Tìm các giá trị của x để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau

Bài 1.29 trang 24 SBT Toán 11 Tập 1: Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m (hình bên). Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) tính từ một chiếc gầu gắn tại điểm A trên guồng đến mặt nước là h = |y| trong đó

y=2+2,5sin2πx14

với x là thời gian quay của guồng (x ≥ 0), tính bằng phút; ta quy ước rằng y > 0 khi gầu ở trên mặt nước và y < 0 khi gầu ở dưới mặt nước.

a) Khi nào chiếc gầu ở vị trí cao nhất? Thấp nhất?

b) Chiếc gầu cách mặt nước 2 mét lần đầu tiên khi nào?

 Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m

Lời giải:

a) Vì 1sin2πx141  nên 2,52,5sin2πx142,5  và do đó ta có 22,52+2,5sin2πx142+2,5

hay 0,52+2,5sin2πx144,5  x .

Suy ra, gầu ở vị trí cao nhất khi sin2πx14=1 2πx14=π2+k2π  k

x=12+k  k. Do x ≥ 0 nên x=12+k  k .

Vậy gầu ở vị trí cao nhất tại các thời điểm 12,  32,  52,...  phút.

Tương tự, gầu ở vị trí thấp nhất khi sin2πx14=1

2πx14=π2+k2π  k

x=k  k. Do x ≥ 0 nên x=k  k .

Vậy gàu ở vị trí thấp nhất tại các thời điểm 0, 1, 2, 3, ... phút.

b) Gầu cách mặt nước 2 m khi 2+2,5sin2πx14=2

sin2πx14=0

2πx14=kπ   k

x=14+k2  k

Do x ≥ 0 nên x=14+k2  k .

Vậy chiếc gầu cách mặt nước 2 m lần đầu tiên tại thời điểm x=14  phút.

Bài 1.30 trang 25 SBT Toán 11 Tập 1: Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t (ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng) của một năm không nhuận được mô hình hóa bởi hàm số

Lt=12+2,83sin2π365t80 với t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365.

a) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất?

b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất?

c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời?

Lời giải:

Vì 1sin2π365t801  nên 2,832,83sin2π365t802,83 , do đó 122,8312+2,83sin2π365t8012+2,83

hay 9,1712+2,83sin2π365t8014,83   t .

a) Ngày thành phố A có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với

sin2π365t80=1

2π365t80=π2+k2π  k

t=454+365k  k

Vì 0 < t ≤ 365 nên k = 1 suy ra t = 454  + 365 = 353,75.

Như vậy, vào ngày thứ 353 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 12 thì thành phố A sẽ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.

b) Ngày thành phố A có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất ứng với  

sin2π365t80=1

2π365t80=π2+k2π  k

t=6854+365k  k

Vì 0 < t ≤ 365 nên k = 0 suy ra t = 6854  = 171,25.

Như vậy, vào ngày thứ 171 của năm, tức là khoảng ngày 20 tháng 6 thì thành phố A sẽ có nhiều giờ ánh sáng mặt trời nhất.

c) Thành phố A có khoảng 10 giờ ánh sáng mặt trời trong ngày nếu

 12+2,83sin2π365t80=10

sin2π365t80=200283

 Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng

Từ đó ta được  Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A trong ngày thứ t ở đây t là số ngày tính từ ngày 1 tháng giêng .

Vì 0 < t ≤ 365 nên k = 0 suy ra t ≈ 34,69 hoặc t ≈ 308,3.

Như vậy, vào khoảng ngày thứ 34 của năm, tức là ngày 3 tháng 2 và ngày thứ 308 của năm, tức là ngày 4 tháng 11 thành phố A sẽ có 10 giờ ánh sáng mặt trời.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài tập cuối chương 1

Bài 5: Dãy số

Bài 6: Cấp số cộng

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!