Giải SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 2: Công thức lượng giác

Giải SBT Toán lớp 11 Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 1.10 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc 105°.

Lời giải:

cos 105° = cos(60° + 45°) = cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45°

                                     $=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°

                                     $=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ .

Do đó, $\tan 105°=\frac{\sin 105°}{\cos 105°}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{2}-\sqrt{6}},\cot 105°=\frac{1}{\tan 105°}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$ .

Bài 1.11 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos 2x = $-\frac{4}{5}$  với $\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}$ . Tính sin x, cos x, $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ , $\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ .

Lời giải:

Vì $\frac{\pi }{4}$  < x < $\frac{\pi }{2}$  nên sin x > 0, cos x > 0. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có

${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}=\frac{9}{10}$⇒ sin x = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ .

${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1+\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}=\frac{1}{10}$⇒ cos x = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ .

Theo công thức nhân đôi, ta có sin 2x = 2 sin x cos x = $2.\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ 

Theo công thức cộng, ta có

$$\begin{gathered} \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3} \\ =\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{10}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{10}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos 2x\cos \frac{\pi }{4}+\sin 2x\sin \frac{\pi }{4} \\ =\left(-\frac{4}{5}\right).\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10} \end{gathered}$$

Bài 1.12 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau

${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$.

Lời giải:

sin⁴ a + cos⁴ a = (sin² a + cos² a)² – 2sin² a cos² a

= 1 – 2 . (sin a cos a)²

=$1-2.{\left(\frac{\sin 2a}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a$

$=1-\frac{1}{2}.\frac{1-\cos 4a}{2}=1-\frac{1-\cos 4a}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$ 

Vậy ${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$ .

Bài 1.13 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\sin \frac{\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}$ ;

b) B = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°.

Lời giải:

a) $A=\sin \frac{\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}$

$=\left(\sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}\right)-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=2\sin \frac{\frac{\pi }{9}+\frac{7\pi }{9}}{2}.\cos \frac{\frac{\pi }{9}-\frac{7\pi }{9}}{2}-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=2\sin \frac{4\pi }{9}.\cos \frac{\pi }{3}-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=\sin \frac{4\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=\sin \left(\pi -\frac{4\pi }{9}\right)-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=\sin \frac{5\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}=0$.

Vậy A = 0.

b) Vì sin 78° = cos 12°; sin 66° = cos 24°; sin 42° = cos 48° nên

B = sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°.

Nhân hai vế với cos 6° và áp dụng công thức góc nhân đôi, ta được:

cos 6° . B = cos 6° sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°

      = $\frac{1}{2}\sin 12°$  cos 12° cos 24° cos 48°

      = $\frac{1}{4}$  sin 24° cos 24° cos 48°

      = $\frac{1}{8}$  sin 48° cos 48°

      = $\frac{1}{16}$  sin 96°

      = $\frac{1}{16}$  sin(90° + 6°) = $\frac{1}{16}$ cos 6°.

Vậy B = $\frac{1}{16}$ .

Bài 1.14 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) $\cos a-\sin a=\sqrt{2}\cos \left(a+\frac{\pi }{4}\right)$ ;

b) $\sin a+\sqrt{3}\cos a=2\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)$ .

Lời giải:

a)$VP=\sqrt{2}\cos \left(a+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos a\cos \frac{\pi }{4}-\sin a\sin \frac{\pi }{4}\right)$ 

$=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a\right)$

$=\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos a-\sin a\right)=\cos a-\sin a=VT$.

b) $VP=2\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\sin a\cos \frac{\pi }{3}+\cos a\sin \frac{\pi }{3}\right)$

$=2\left(\frac{1}{2}\sin a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a\right)$$=\sin a+\sqrt{3}\cos a=VT$.

Bài 1.15 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin A + sin B + sin C = $4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$ .

Lời giải:

$VT=\sin A+\sin B+\sin C=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$.

Mặt khác, trong tam giác ABC, ta có A + B + C = π nên $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$ .

Từ đó suy ra: $\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2},\sin \frac{C}{2}=\cos \frac{A+B}{2}$ .

Vậy $VT=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$

$=2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{C}{2}$

$=2\cos \frac{C}{2}\left(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2}\right)$

$=2\cos \frac{C}{2}.2\cos \frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\cos \frac{\frac{A-B}{2}-\frac{A+B}{2}}{2}$

$=4\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \left(-\frac{B}{2}\right)$

$=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}=VP$ (điều phải chứng minh).