Giải SBT Toán lớp 11 Bài 5: Dãy số
Bài 2.1 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số (un) sau:
a) ;
b) u1 = 1, un = n – un – 1 (n ≥ 2).
Lời giải:
a) ; ; ;
; .
b) u1 = 1; u2 = 2 – u1 = 2 – 1 = 1; u3 = 3 – u2 = 3 – 1 = 2; u4 = 4 – u3 = 4 – 2 = 2;
u5 = 5 – u4 = 5 – 2 = 3.
Bài 2.2 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau:
a) un = n² + n + 1;
b) ;
c) .
Lời giải:
a) Ta có un + 1 – un = [(n + 1)2 + (n + 1) + 1] – (n2 + n + 1)
= n2 + 2n + 1 + n + 1 + 1 – n2 – n – 1
= 2n + 2 > 0, ∀ n ≥ 1.
Do đó, un + 1 > un ∀ n ≥ 1. Vậy (un) là dãy số tăng.
b) Ta có
.
Do đó, un + 1 < un ∀ n ≥ 1. Vậy (un) là dãy số giảm.
c) Ta có
.
Vì nên hiệu un + 1 – un dương hay âm phụ thuộc vào n, cụ thể là dương khi n chẵn và âm khi n lẻ.
Do đó, dãy số (un) không tăng cũng không giảm.
Bài 2.3 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) ;
b) un = n2 + n – 1;
c) un = – n2 + 1.
Lời giải:
a) Ta có .
Lại có . Suy ra .
Do đó . Vậy (un) là dãy số bị chặn.
b) Ta có n – 1 ≥ 0 với mọi n ≥ 1 và n2 ≥ 0 với mọi n.
Do đó, un = n2 + n – 1 ≥ 1.
Vậy dãy số (un) bị chặn dưới bởi 1 với mọi n ≥ 1.
c) Ta có un = – n2 + 1 < 1 với mọi n ≥ 1.
Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi 1 với mọi n ≥ 1.
u1 = k, với n ≥ 2,
ở đó k là một giá trị dự đoán ban đầu của .
Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính u5 và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị tính bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm).
a) (lấy k = 3);
b) (lấy k = 3).
Lời giải:
a) Với p = 5 thì ≈ 2,23607. Nếu ta chọn u1 = 3 thì ta có:
u1 = 3
≈ 2,3333
≈ 2,2381
≈ 2,2361
≈ 2,2361
Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,2361 – 2,23607 = 0,00003.
b) Với p = 8 thì ≈ 2,82843. Nếu ta chọn u1 = 3 thì ta có:
u1 = 3
≈ 2,8333
≈ 2,8284
≈ 2,8284
≈ 2,8284
Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,8284 – 2,82843 = 0,00003.
Bài 2.5 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) xác định bằng hệ thức truy hồi
u1 = 1, un + 1 = un + (n + 1).
a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.
b) Biết rằng 1 + 2 + ... + n = . Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là .
c) Chứng minh rằng un + 1 + un = (n + 1)2, tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.
Lời giải:
a) Bảy số tam giác đầu là u1 = 1; u2 = u1 + (1 + 1) = 1 + 2 = 3;
u3 = u2 + (2 + 1) = 3 + 3 = 6; u4 = u3 + (3 + 1) = 6 + 4 = 10;
u5 = u4 + (4 + 1) = 10 + 5 = 15; u6 = u5 + (5 + 1) = 15 + 6 = 21;
u7 = u6 + (6 + 1) = 21 + 7 = 28.
b) Từ kết quả ở câu a, ta nhận thấy u1 = 1, u2 = 1 + 2, u3 = 1 + 2 + 3, u4 = 1 + 2 + 3 + 4, ...
Từ đó suy ra un + 1 = 1 + 2 + ... + n + (n + 1)
.
Vậy .
c) Theo công thức ở câu b) ta có:
.
Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.
Lời giải:
Giá trị của máy photocopy sau 1 năm sử dụng là
T1 = 50 . 75% = 37,5 (triệu đồng).
Giá trị của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là
T2 = T1 . 75% = 37,5 . 75% = 28,125 (triệu đồng).
Giá trị của máy photocopy sau 3 năm sử dụng là
T3 = T2 . 75% = 28,125 .75% = 21,09375 (triệu đồng).
Giá trị của máy photocopy sau 4 năm sử dụng là
T4 = T3 . 75% = 21,0375 . 75% ≈ 15,8203 (triệu đồng).
Giá trị của máy photocopy sau 5 năm sử dụng là
T5 = T4 . 75% ≈ 15,8203 . 75% ≈ 11,8652 (triệu đồng).
Tổng quát, giá trị của máy photocopy sau n năm sử dụng là
Tn = T1 . (0,75)n – 1 (triệu đồng).
An = 2,5 . (1,035)n (tỉ đồng).
Tìm giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm nữa.
Lời giải:
Giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm là
A5 = 2,5 . (1,035)5 ≈ 2,9692 (tỉ đồng).
, n = 0, 1, 2, ...
a) Viết ba số hạng đầu của dãy số.
b) Tìm số tiền bác An nhận được sau 2 năm.
Lời giải:
a) Ba số hạng đầu của dãy số là
b) Ta có 2 năm bằng 8 quý, tức là n = 8.
Do đó, sau 2 năm số tiền bác An nhận được là
Lời giải:
Giả sử ban đầu có 1 vi khuẩn E. Coli.
Sau 20 phút lần một, số vi khuẩn là 1 . 2 = 2 (con).
Sau 20 phút lần hai, số vi khuẩn là 2 . 2 = 22 (con).
Sau 20 phút lần ba, số vi khuẩn là 22 . 2 = 23 (con).
Sau 20 phút lần bốn, số vi khuẩn là 23 . 2 = 24 (con).
...
Tương tự như vậy sau 12 giờ (bằng 3 . 12 lần 20 phút) thì số vi khuẩn là
23 . 12 = 236 ≈ 6,87 . 1010 (con).
Sau 48 giờ (bằng 3 . 48 lần 20 phút) thì số vi khuẩn là
23 . 48 = 2144 ≈ 2,23 . 1043 (con).
a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng thuốc.
b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm.
Lời giải:
a) Gọi u1 = 1,0 . 109 là số vi khuẩn tại thời điểm ban đầu và un là số vi khuẩn trước lần dùng thuốc thứ n.
Do mỗi liều thuốc được sử dụng sau bốn giờ có thể tiêu diệt 4,0 . 108 vi khuẩn và giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên 25% nên ta có
un + 1 = (un – 4,0 . 108) + 25% . un = 1,25un – 4,0 . 108.
Ta có hệ thức truy hồi u1 = 1,0 . 109; un + 1 = 1,25un – 4,0 . 108.
b) Ta tính u5 như sau:
u1 = 1,0 . 109;
u2 = 1,25u1 – 4,0 . 108 = 1,25 . 1,0 . 109 – 4,0 . 108 = 8,5 . 108;
u3 = 1,25u2 – 4,0 . 108 = 1, 25 . 8,5 . 108 – 4,0 . 108 = 6,625 . 108;
u4 = 1,25u3 – 4,0 . 108 = 1,25 . 6,625 . 108 – 4,0 . 108 = 4,28125 . 108;
u5 = 1,25u4 – 4,0 . 108 = 1,25 . 4,28125 . 108 – 4,0 . 108 = 1,3515625 . 108 = 135 156 250;
Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm là 135 156 250 con.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: