Giải SBT Toán 11 (Kết nối tri thức) Bài 5: Dãy số

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 5. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 11 Bài 5: Dãy số

Bài 2.1 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu tiên của mỗi dãy số (un) sau:

a) un=1n1n2n1;

b) u1 = 1, un = n – un – 1 (n ≥ 2). 

Lời giải:

a) u1=10.12.11=1u2=121.22.21=23u3=131.32.31=35;

u4=141.42.41=47u5=151.52.51=59.

b) u1 = 1; u2 = 2 – u1 = 2 – 1 = 1; u3 = 3 – u2 = 3 – 1 = 2; u4 = 4 – u3 = 4 – 2 = 2;

u5 = 5 – u4 = 5 – 2 = 3.

Bài 2.2 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số sau:

a) un = n² + n + 1;

b) un=2n+5n+2;

c) un=1n1n2+1.

Lời giải:

a) Ta có un + 1 – u= [(n + 1)2 + (n + 1) + 1] – (n2 + n + 1)

                             = n2 + 2n + 1 + n + 1 + 1 – n2 – n – 1

                             = 2n + 2 > 0, ∀ n ≥ 1.

Do đó, un + 1 > un ∀ n ≥ 1. Vậy (un­) là dãy số tăng.

b) Ta có un+1un=2n+1+5n+1+22n+5n+2=2n+7n+32n+5n+2

          =2n+7n+22n+5n+3n+3n+2=1n+3n+2<0,  n1.

Do đó, un + 1 < un ∀ n ≥ 1. Vậy (un­) là dãy số giảm.

c) Ta có un+1un=1n+11n+12+11n1n2+1=1nn+12+1+1nn2+1

                            =1n1n+12+1+1n2+1.

Vì 1n+12+1+1n2+1>0  n1 nên hiệu un + 1 – un dương hay âm phụ thuộc vào n, cụ thể là dương khi n chẵn và âm khi n lẻ.

Do đó, dãy số (un) không tăng cũng không giảm.

Bài 2.3 trang 33 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) un=n2n+1;

b) un = n2 + n – 1;

c) un = – n2 + 1.

Lời giải:

a) Ta có un=n2n+113  n1.

Lại có un=n2n+1=122n+1122n+1=12122n+1=12122n+1. Suy ra un12  n1.

Do đó 13un12  n1. Vậy (un) là dãy số bị chặn.

b) Ta có n – 1 ≥ 0 với mọi n ≥ 1 và n2 ≥ 0 với mọi n.

Do đó, un = n2 + n – 1 ≥ 1.

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới bởi 1 với mọi n ≥ 1.

c) Ta có un = – n2 + 1 < 1 với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi 1 với mọi n ≥ 1.

Bài 2.4 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Để tính xấp xỉ giá trị p, người ta có thể dùng dãy số cho bởi hệ thức truy hồi sau:

u1 = k, un=12un1+pun1 với n ≥ 2,

ở đó k là một giá trị dự đoán ban đầu của p.

Sử dụng hệ thức truy hồi này, hãy tính xấp xỉ các giá trị sau bằng cách tính u5 và tính sai số tuyệt đối khi so với giá trị tính bằng máy tính cầm tay (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ năm).

a) 5 (lấy k = 3);

b) 8 (lấy k = 3).

Lời giải:

a) Với p = 5 thì 5≈ 2,23607. Nếu ta chọn u1 = 3 thì ta có:

u1 = 3

u2=12u1+5u1=123+53≈ 2,3333

u3=12u2+5u2=122,3333+52,3333≈  2,2381

u4=12u3+5u3=122,2381+52,2381≈  2,2361

u5=12u4+5u4=122,2361+52,2361≈  2,2361

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,2361 – 2,23607 = 0,00003.

b) Với p = 8 thì 8 ≈ 2,82843. Nếu ta chọn u1 = 3 thì ta có:

u1 = 3

u2=12u1+8u1=123+83≈ 2,8333

u3=12u2+8u2=122,8333+82,3333≈  2,8284

u4=12u3+8u3=122,8284+82,8284≈  2,8284

u5=12u4+8u4=122,8284+52,8284≈  2,8284

Sai số tuyệt đối xấp xỉ bằng 2,8284 – 2,82843 = 0,00003.

Bài 2.5 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (un) xác định bằng hệ thức truy hồi

u1 = 1, un + 1 = un + (n + 1).

a) Mỗi số hạng của dãy số này gọi là một số tam giác. Viết bảy số tam giác đầu.

b) Biết rằng 1 + 2 + ... + n = nn+12. Hãy chứng tỏ công thức của số hạng tổng quát là un+1=n+1n+22.

c) Chứng minh rằng un + 1 + un = (n + 1)2, tức là tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Lời giải:

a) Bảy số tam giác đầu là u1 = 1; u2 = u1 + (1 + 1) = 1 + 2 = 3;

u3 = u2 + (2 + 1) = 3 + 3 = 6; u4 = u3 + (3 + 1) = 6 + 4 = 10;

u5 = u4 + (4 + 1) = 10 + 5 = 15; u6 = u5 + (5 + 1) = 15 + 6 = 21;

u7 = u6 + (6 + 1) = 21 + 7 = 28.

b) Từ kết quả ở câu a, ta nhận thấy u1 = 1, u2 = 1 + 2, u3 = 1 + 2 + 3, u4 = 1 + 2 + 3 + 4, ...

Từ đó suy ra un + 1 = 1 + 2 + ... + n + (n + 1)

 =nn+12+n+1=nn+1+2n+12=n+1n+22.

Vậy un+1=n+1n+22.

c) Theo công thức ở câu b) ta có:

un+1+un=n+1n+22+nn+12=n+1n+2+n2=n+1.2n+12=n+12.

Vậy tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số chính phương.

Bài 2.6 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Giá của một chiếc máy photocopy lúc mới mua là 50 triệu đồng. Biết rằng giá trị của nó sau mỗi năm sử dụng chỉ còn 75% giá trị trong năm liền trước đó. Tính giá trị còn lại của chiếc máy photocopy đó sau mỗi năm, trong khoảng thời gian 5 năm kể từ khi mua.

Lời giải:

Giá trị của máy photocopy sau 1 năm sử dụng là

T1 = 50 . 75% = 37,5 (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 2 năm sử dụng là

T2 = T1 . 75% = 37,5 . 75% = 28,125 (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 3 năm sử dụng là

T3 = T2 . 75% = 28,125 .75% = 21,09375 (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 4 năm sử dụng là

T4 = T3 . 75% = 21,0375 . 75% ≈ 15,8203 (triệu đồng).

Giá trị của máy photocopy sau 5 năm sử dụng là

T5 = T4 . 75% ≈ 15,8203 . 75% ≈ 11,8652 (triệu đồng).

Tổng quát, giá trị của máy photocopy sau n năm sử dụng là

Tn = T1 . (0,75)n – 1 (triệu đồng).

Bài 2.7 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu tỉ lệ lạm phát là 3,5% mỗi năm và giá trung bình của một căn hộ chung cư mới tại thời điểm hiện tại là 2,5 tỉ đồng thì giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau n năm nữa được cho bởi công thức

An = 2,5 . (1,035)n (tỉ đồng).

Tìm giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm nữa.

Lời giải:

Giá trung bình của một căn hộ chung cư mới sau 5 năm là

A5 = 2,5 . (1,035)5 ≈ 2,9692 (tỉ đồng).

Bài 2.8 trang 34 SBT Toán 11 Tập 1: Bác An gửi tiết kiệm 200 triệu đồng kì hạn 3 tháng, với lãi suất 3% một năm. Số tiền (triệu đồng) cả vốn lẫn lãi mà bác An nhận được sau n quý (mỗi quý là 3 tháng) sẽ là

An=2001+0,034n, n = 0, 1, 2, ...

a) Viết ba số hạng đầu của dãy số.

b) Tìm số tiền bác An nhận được sau 2 năm.

Lời giải:

a) Ba số hạng đầu của dãy số là

A1=2001+0,0341=201,5

A2=2001+0,0342=203,01125

A3=2001+0,0343204,5338

b) Ta có 2 năm bằng 8 quý, tức là n = 8.

Do đó, sau 2 năm số tiền bác An nhận được là

A8=2001+0,0348212,3198

Bài 2.9 trang 35 SBT Toán 11 Tập 1: Vi khuẩn E. Coli sinh sản thông qua một quá trình gọi là quá trình phân đôi. Vi khuẩn E. Coli phân chia làm đôi cứ sau 20 phút. Giả sử tốc độ phân chia này được duy trì trong 12 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 12 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể? Giả sử có một nguồn dinh dưỡng vô hạn để vi khuẩn E. Coli duy trì tốc độ phân chia như cũ trong 48 giờ kể từ khi vi khuẩn ban đầu xâm nhập vào cơ thể. Hỏi sau 48 giờ sẽ có bao nhiêu vi khuẩn E. Coli trong cơ thể?

Lời giải:

Giả sử ban đầu có 1 vi khuẩn E. Coli.

Sau 20 phút lần một, số vi khuẩn là 1 . 2 = 2 (con).

Sau 20 phút lần hai, số vi khuẩn là 2 . 2 = 2(con).

Sau 20 phút lần ba, số vi khuẩn là 22 . 2 = 2(con).

Sau 20 phút lần bốn, số vi khuẩn là 23 . 2 = 2(con).

...

Tương tự như vậy sau 12 giờ (bằng 3 . 12 lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

23 . 12 = 236 ≈ 6,87 . 1010 (con).

Sau 48 giờ (bằng 3 . 48 lần 20 phút) thì số vi khuẩn là

23 . 48 = 2144 ≈ 2,23 . 1043 (con).

Bài 2.10 trang 35 SBT Toán 11 Tập 1: Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc mới. Một thí nghiệm bắt đầu với 1,0 × 109 vi khuẩn. Một liều thuốc được sử dụng sau mỗi bốn giờ có thể tiêu diệt 4,0 × 108 vi khuẩn. Giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên 25%.

a) Viết hệ thức truy hồi cho số lượng vi khuẩn sống trước mỗi lần sử dụng thuốc.

b) Tìm số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm.

Lời giải:

a) Gọi u1 = 1,0 . 109 là số vi khuẩn tại thời điểm ban đầu và un là số vi khuẩn trước lần dùng thuốc thứ n.

Do mỗi liều thuốc được sử dụng sau bốn giờ có thể tiêu diệt 4,0 . 108 vi khuẩn và giữa các liều thuốc, số lượng vi khuẩn tăng lên 25% nên ta có

un + 1 = (u– 4,0 . 108) + 25% . un = 1,25un – 4,0 . 108.

Ta có hệ thức truy hồi u1 = 1,0 . 109; un + 1 = 1,25un – 4,0 . 108.

b) Ta tính u5 như sau:

u1 = 1,0 . 109;

u2 = 1,25u1 – 4,0 . 108 = 1,25 . 1,0 . 109 – 4,0 . 108 = 8,5 . 108;

u3 = 1,25u2 – 4,0 . 108 = 1, 25 . 8,5 . 108 – 4,0 . 108 = 6,625 . 108;

u4 = 1,25u3 – 4,0 . 108 = 1,25 . 6,625 . 108 – 4,0 . 108 = 4,28125 . 108;

u5 = 1,25u4 – 4,0 . 108 = 1,25 . 4,28125 . 108 – 4,0 . 108 = 1,3515625 . 108 = 135 156 250;

Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm là 135 156 250 con.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Bài 6: Cấp số cộng

Bài 7: Cấp số nhân

Bài tập cuối chương 2

Bình luận (0)

Đăng nhập để có thể bình luận

Chưa có bình luận nào. Bạn hãy là người đầu tiên cho tôi biết ý kiến!