Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Gọi M(xM; yM) là trung điểm

Hoạt động khám phá 6 trang 42 Toán lớp 10 Tập 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có tọa độ ba đỉnh A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C). Gọi M(x_M; y_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB, G(x_G; y_G) là trọng tâm của tam giác ABC.

a) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{OM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$.

b) Biểu thị vectơ $\overrightarrow{OG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{OC}$.

c) Từ các kết quả trên, tìm tọa độ điểm M và G theo tọa độ của các điểm A, B, C.

Trả lời

a)

Vì M là trung điểm của AB nên ta có: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}$

⇔ $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$.

b) Ta có

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{OG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

Mà $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$

Hay $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$

c) Tọa độ của $\overrightarrow{OM}$ là tọa độ của điểm M nên $\overrightarrow{OM}$ = (x_M; y_M);

Tọa độ của $\overrightarrow{OA}$ là tọa độ của điểm A nên $\overrightarrow{OA}$ = (x_A; y_A);

Tọa độ của $\overrightarrow{OB}$ là tọa độ của điểm B nên $\overrightarrow{OB}$ = (x_B; y_B);

Vì $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$ nên ta có $x_M=\frac{x_A+x_B}{2},y_M=\frac{y_A+y_B}{2}$.

Vậy $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$.

Tọa độ của $\overrightarrow{OG}$ là tọa độ của điểm G nên $\overrightarrow{OG}$ = (x_G; y_G);

Tọa độ của $\overrightarrow{OA}$ là tọa độ của điểm A nên $\overrightarrow{OA}$ = (x_A; y_A);

Tọa độ của $\overrightarrow{OB}$ là tọa độ của điểm B nên $\overrightarrow{OB}$ = (x_B; y_B);

Tọa độ của $\overrightarrow{OC}$ là tọa độ của điểm C nên $\overrightarrow{OC}$ = (x_C; y_C);

Vì $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$ nên ta có $x_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3},y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$.

Vậy $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.

Xem thêm lời giải bài tập SGK Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Nhị thức Newton

Bài tập cuối chương 8

Bài 1: Toạ độ của vectơ

Bài 2: Đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ

Bài 3: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Bài 4: Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ