Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p a) y = sin x – cos x; b) y = sin x

Bài 1.59 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p

a) y = sin x – cos x;

b) y = sin x + sinπ3x;

c) y = sin4 x + cos4 x;

d) y = cos 2x + 2cos x – 1.

Trả lời

a) Ta có y = sin x – cos x = 2sinxπ4.

Vì 1sinxπ41 nên 22sinxπ42, với mọi x.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi sinxπ4=1

xπ4=π2+k2π  k x=3π4+k2π  k>.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, đạt được khi sinxπ4=1

xπ4=π2+k2π  k x=π4+k2π  k.

b) Ta có y = sin x + sinπ3x =2sinx+π3x2cosxπ3+x2

=2sinπ6cosxπ6=2.12cosxπ6=cosxπ6.

Ta có 1cosxπ61  x.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cosxπ6=1xπ6=k2π  kx=π6+k2π  k và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi cosxπ6=1xπ6=π+k2π  kx=7π6+k2π  k.

c) Ta có y = sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x cos2 x

= 1 – 2 (sin x cos x)2 = 12.sin2x22112sin22x 

112.1cos4x2 = 114+14cos4x = 34+14cos4x.

Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên 1414cos4x14, do đó 341434+14cos4x34+14

hay 1234+14cos4x1   x.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π (k ∈ ℤ)

x=kπ2  k.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 12, đạt được khi cos 4x = – 1 ⇔ 4x = π + k2π (k ∈ ℤ)

x=π4+kπ2  k.

d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1

= (2cos2 x – 1) + 2cos x – 1

= 2cos2 x + 2cos x – 2

= 2t2 + 2t – 2 với t = cos x ∈ [– 1; 1].

Xét hàm số y = 2t2 + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.

 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p trang 29 SBT Toán 11

Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là 52, đạt được khi cosx=12x=±2π3+k2π  k.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Bài 5: Dãy số

Bài 6: Cấp số cộng

Bài 7: Cấp số nhân

Câu hỏi cùng chủ đề

Xem tất cả