Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p a) y = sin x – cos x; b) y = sin x
288
08/09/2023
Bài 1.59 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p
a) y = sin x – cos x;
b) y = sin x + sin;
c) y = sin4 x + cos4 x;
d) y = cos 2x + 2cos x – 1.
Trả lời
a) Ta có y = sin x – cos x = .
Vì nên , với mọi .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là , đạt được khi
>.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi
.
b) Ta có y = sin x + sin
.
Ta có .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi .
c) Ta có y = sin4 x + cos4 x = (sin2 x + cos2 x)2 – 2sin2 x cos2 x
= 1 – 2 (sin x cos x)2 = =
= = = .
Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên , do đó
hay .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π (k ∈ ℤ)
.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi cos 4x = – 1 ⇔ 4x = π + k2π (k ∈ ℤ)
.
d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1
= (2cos2 x – 1) + 2cos x – 1
= 2cos2 x + 2cos x – 2
= 2t2 + 2t – 2 với t = cos x ∈ [– 1; 1].
Xét hàm số y = 2t2 + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.
Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là , đạt được khi .
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:
Bài 3: Hàm số lượng giác
Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản
Bài tập cuối chương 1
Bài 5: Dãy số
Bài 6: Cấp số cộng
Bài 7: Cấp số nhân