Cho phương trình dao động x(t) = 10cos(2pi/5 t + pi/3), ở đây li độ x tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây

Bài 36 trang 71 SBT Toán 11 Tập 2: Cho phương trình dao động x(t) = 10cos$\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)$, ở đây li độ x tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây.

a) Tìm thời điểm đầu tiên để vật có li độ lớn nhất.

b) Tìm thời điểm đầu tiên để vật có vận tốc bằng 0.

c) Tìm thời điểm đầu tiên để vật có gia tốc bằng 0.

Trả lời

a) Vì $-1\le cos\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ với mọi t.

Do đó, vật có li độ lớn nhất khi $10cos\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)=10$$\iff cos\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)=1$

$\iff \frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}=k2\pi$$\iff \frac{2\pi }{5}t=-\frac{\pi }{3}+k2\pi$$\iff t=-\frac{5}{6}+5k,k\in \mathbb{Z}$.

Do t $\ge$ 0 nên thời điểm đầu tiên vật có li độ lớn nhất tương ứng với k = 1, tức là tại thời điểm $t=-\frac{5}{6}+5=\frac{25}{6}$ (giây).

Vậy thời điểm đầu tiên vật có li độ lớn nhất là $\frac{25}{6}$ giây.

b) Ta có v(t) = x'(t) = $=-10\sin \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right){\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}$

$=-4\pi \sin \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)$.

Vận tốc bằng 0 tức là $-4\pi \sin \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)=0$$\iff \frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}=k\pi$

$\iff \frac{2\pi }{5}t=-\frac{\pi }{3}+k\pi$

$\iff t=-\frac{5}{6}+\frac{5}{2}k,k\in \mathbb{Z}$.

Do t $\ge$ 0 nên thời điểm đầu tiên vật có vận tốc bằng 0 tương ứng với k = 1, tức là tại thời điểm $t=-\frac{5}{6}+\frac{5}{2}=\frac{5}{3}$ (giây).

Vậy thời điểm đầu tiên để vật có vận tốc bằng 0 là $\frac{5}{3}$ giây.

c) Ta có a(t) = v'(t) = 

$=-4\pi \cos \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right){\left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)}^{\text{'}}$

$=-\frac{8}{5}{\pi }^2\cos \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)$.

Gia tốc bằng 0 tức là $-\frac{8}{5}{\pi }^2\cos \left(\frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}\right)=0$$\iff \frac{2\pi }{5}t+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff \frac{2\pi }{5}t=\frac{\pi }{6}+k\pi$$\iff t=\frac{5}{12}+\frac{5}{2}k,k\in \mathbb{Z}$.

Do t $\ge$ 0 nên thời điểm đầu tiên vật có gia tốc bằng 0 tương ứng với k = 0, tức là tại thời điểm $t=\frac{5}{12}$ (giây).

Vậy thời điểm đầu tiên để vật có gia tốc bằng 0 là $\frac{5}{12}$ giây.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: