Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a căn 2
299
22/11/2023
Bài 40 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a√2.
a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SB.
Trả lời
![Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = acăn2](https://vietjack.com/sbt-toan-11-kn/images/bai-40-trang-72-sbt-toan-lop-11-tap-2.PNG)
a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC, BD.
Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥ (ABCD).
Xét tam giác vuông ABC vuông tại B, có AC = √AB2+BC2=√a2+a2=a√2.
Vì O là trung điểm của AC nên AO = OC = a√22.
Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ AC.
Xét tam giác SOA vuông tại O, có SO = √SA2−OA2=√2a2−a22=a√62.
Khi đó VS.ABCD=13⋅SABCD⋅SO=13⋅a2⋅a√62=a3√66.
Vậy VS.ABCD=a3√66.
b) Có ABCD là hình vuông nên AD // BC suy ra AD // (SBC).
Khi đó d(AD, SB) = d(AD, (SBC)) = d(A, (SBC)).
Đường thẳng AO cắt mặt phẳng (SBC) tại C và O là trung điểm của AC nên
d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)).
Kẻ OM ⊥ BC tại M, OH ⊥ SM tại H.
Vì BC ⊥ OM, BC ⊥ SO (do SO ⊥ (ABCD)) nên BC ⊥ (SOM), suy ra (SBC) ⊥ (SOM).
Mà OH ⊥ SM nên OH ⊥ (SBC). Do đó d(O, (SBC)) = OH.
Có OM // AB (vì cùng vuông góc với BC).
Xét tam giác ABC có O là trung điểm của AC, OM // AB nên M là trung điểm của BC, suy ra OM là đường trung bình. Do đó OM = AB2=a2.
Vì SO ⊥ (ABCD) nên SO ⊥ OM hay tam giác SOM vuông tại O.
Xét tam giác SOM vuông tại O, OH là đường cao có:
1OH2=1SO2+1OM2=46a2+4a2=143a2⇒OH=a√4214.
Vậy d(AD, SB) = 2OH = a√427.
Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: